Axiome eines Ringes Beweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 25.10.2014 | | Autor: | maba |
| Aufgabe | Es sei R = [mm] Abb(\IZ;\IZ) [/mm] = {f : [mm] \IZ \to \IZ} [/mm] mit Addition
(f + g)(z) := f(z) + g(z) (z [mm] \in \IZ) [/mm] und Multiplikation [mm] \circ [/mm] (Hintereinanderausführung von
Abbildungen). Zeigen Sie, dass [mm] (R;+;\circ) [/mm] alle Axiome eines Ringes erfüllt bis auf eines
der Distributivgesetze. Welches? |
Hallo,
leider haben wir keine Idee wie wir hier vorgehen müssen
könnte uns jemand einen Tipp geben?
Wir haben gedacht wir müssen die Axiome beweisen nur wie?
Viele Grüße
maba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei R = [mm]Abb(\IZ;\IZ) = \{f : \IZ \to \IZ\}[/mm] mit Addition
> (f + g)(z) := f(z) + g(z) (z [mm]\in \IZ)[/mm] und Multiplikation
> [mm]\circ[/mm] (Hintereinanderausführung von
> Abbildungen). Zeigen Sie, dass [mm](R;+;\circ)[/mm] alle Axiome
> eines Ringes erfüllt bis auf eines
> der Distributivgesetze. Welches?
> Hallo,
>
> leider haben wir keine Idee wie wir hier vorgehen müssen
> könnte uns jemand einen Tipp geben?
>
> Wir haben gedacht wir müssen die Axiome beweisen nur wie?
Axiome sind nicht beweisbar. Aber ihr sollt nachweisen, dass in [mm] $(R,+,\circ)$ [/mm] die
Axiome "erfüllt" sind.
Okay, dazu erstmal folgendes: Ich zeige, dass
$(R, [mm] \circ)$
[/mm]
eine Halbgruppe ist. Insbesondere bedeutet dies, dass man sich die
sogenannte "Abgeschlossenheit" von [mm] $\circ$ [/mm] bewußt machen muss, und zudem,
dass hier das Assoziativgesetz gilt.
Zur Abgeschlossenheit:
Zu zeigen ist: Sind $f,g [mm] \in Abb(\IZ,\IZ)\,,$ [/mm] so folgt auch
$f [mm] \circ [/mm] g [mm] \in Abb(\IZ,\IZ)\,.$
[/mm]
Beweis: Aus $f,g [mm] \in Abb(\IZ,\IZ)$ [/mm] folgt, dass
$f,g [mm] \colon \IZ \to \IZ$
[/mm]
Abbildungen sind. Generell gilt für die Hintereinanderausführung
$k [mm] \circ \ell$ [/mm] (beachte: hier ist das [mm] $\circ$ [/mm] nicht notwendig nur bzgl. [mm] $Abb(\IZ,\IZ)$ [/mm] gemeint!)
von Abbildungen $k [mm] \colon [/mm] N [mm] \to [/mm] P$ und [mm] $\ell \colon [/mm] M [mm] \to N\,,$ [/mm] dass
$k [mm] \circ \ell \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] P$ (mit $(k [mm] \circ \ell)(m):=k(\ell(m))$ [/mm] für alle $m [mm] \in [/mm] M$)
ist. Also ist
$f [mm] \circ [/mm] g [mm] \colon \IZ \to \IZ\,,$
[/mm]
$f [mm] \circ [/mm] g$ ist eine Abbildung und damit ist auch
$f [mm] \circ [/mm] g [mm] \in Abb(\IZ,\IZ)$
[/mm]
klar. [mm] $\Box$
[/mm]
Eigentlich ist das recht harmlos, aber da stecken schon Gedankengänge
dahinter, die man sich klarmachen sollte.
Nun noch die Assoziativität:
Wir haben für (beliebig, aber fest gewählte)
[mm] $f\,, g\,, [/mm] h [mm] \in Abb(\IZ,\IZ)$
[/mm]
zu zeigen:
$(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h=f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ h)\,.$
[/mm]
Mach' Dir erstmal klar, dass in der Tat
$(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h [mm] \colon \IZ \to \IZ$
[/mm]
und auch
$f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h) [mm] \colon \IZ \to \IZ\,,$
[/mm]
beides sind zudem Abbildungen.
Nun ist noch zu zeigen:
[mm] $(f\circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h))(z)=((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h)(z)$
gilt für alle $z [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Das kann man etwa so beginnen: Für beliebiges, aber festes, $z [mm] \in \IZ$ [/mm] ist
einerseits
[mm] $(f\circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h))(z)=f((g [mm] \circ h)(z))=f(g(h(z)))\,,$
[/mm]
und auch andererseits
$((f [mm] \circ g)\circ [/mm] h)(z)=(f [mm] \circ g)(h(z))=f(g(h(z)))\,.$
[/mm]
Also?
So: Ist jetzt klar, wie man vorgeht, wenn man sich die Gültigkeit anderer
Axiome anschauen will?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 25.10.2014 | | Autor: | maba |
Hallo,
danke für die Erklärung, dass hat geholfen.
Allerdings fragen wir uns jetzt noch wie wir zeigen das
Null und Eins Elemente von R sind.
Gibt es da einen Tipp wie man da ran geht?
Viele Grüße
Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die Erklärung, dass hat geholfen.
>
> Allerdings fragen wir uns jetzt noch wie wir zeigen das
> Null und Eins Elemente von R sind.
>
> Gibt es da einen Tipp wie man da ran geht?
zeigt erstmal, dass
$Null [mm] \colon \IZ \to \IZ$ [/mm] mit [mm] $Null(z):=0\,$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IZ$
[/mm]
neutral bzgl. der Addition ist.
Dann zeigt, dass
[mm] $Eins:=\text{id}_{\IZ} \colon \IZ \to \IZ$ [/mm] mit [mm] $Eins(z):=\text{id}_{\IZ}(z):=z$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IZ$
[/mm]
neutral bzgl. der "Multiplikation" [mm] $\circ$ [/mm] ist.
Dann denkt drüber nach, was ihr über "Eindeutigkeit" *der* neutralen
Elemente gelernt habt (wenn ihr unbedingt jeweils von DER [mm] $Null\,$ [/mm] bzw.
von DER [mm] $Eins\,$ [/mm] reden wollt).
Nebenbei: Habt ihr eine Idee, wie ich auf diese Kandidaten gekommen bin?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 29.10.2014 | | Autor: | maba |
Hej,
danke erstmal für die Hilfe, wir haben die Übung abgegeben jetzt werden wir sehen.
Und das was du geschrieben hast werden wir am Wochenende nochmal versuchen zu verdeutlichen, bisher ist es aber noch etwas abstrakt.
Gruß
maba
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