B-adisches System < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 23.05.2014 | | Autor: | MissJule |
| Aufgabe | Seien B, k [mm] \in \IN, [/mm] B [mm] \ge [/mm] 2, k [mm] \ge [/mm] 1. Schreiben Sie die Zahlen
(a) [mm] \bruch{1}{B^{k}}
[/mm]
(b) [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1}
[/mm]
(c) [mm] \bruch{1}{B^{k} + 1}
[/mm]
(d) [mm] \bruch{1}{\summe_{i=0}^{k} B^{i}}
[/mm]
im B-adischen System.
Hinweis: Ein Taschenrechner könnte nützlich zur Ideenfindung sein; für das Basteln eines Beweises könnten die geometrische Summe / Reihe von Nutzen sein. Oder Sie nutzen die geometrische Summe / Reihe direkt zum Finden eines Beweises. |
Hallo,
ich stehe bei Aufgabenteil c an.
Was ich bereits habe:
Teil a) [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] ist in B-adischer Darstellung
0.0....01, wobei die 1 k Stellen rechts neben dem Komma steht, dies folgt direkt aus dem Bildungsgesetz der B-adischen Zahlen.
Teil b) Ideenfindung im Binärsystem:
[mm] \bruch{1}{2^{1} - 1} [/mm] = 1.0
[mm] \bruch{1}{2^{2} - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] 0.\overline{01}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{3} - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7} [/mm] = [mm] 0.\overline{001}
[/mm]
usw.
Behauptung: [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm] ist die Zahl, bei der jeweils die i * b-te Stelle nach dem Komma gleich 1 ist und alle anderen Stellen 0 sind, wobei i [mm] \in \IN [/mm] alle Werte von 1 bis unendlich annimmt.
Beweis:
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B})^{i}
[/mm]
wobei [mm] a_{i} [/mm] = 1 für alle [mm] a_{i} [/mm] teilbar durch k gilt, für alle anderen [mm] a_{i} [/mm] ist B = 0
es folgt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{k*i} [/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B^{k}})^{i}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B^{k}})^{i-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B^{k}})^{i}
[/mm]
mit der geometrischen Summenformel folgt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} - 1} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{B^{k}}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k}} [/mm] * [mm] \bruch{B^{k}}{B^{k} - 1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{B^{k} - 1}
[/mm]
Soweit so gut, hoffe das passt so in der Art.
Teil c) Da habe ich bis jetzt folgendes:
Ideenfindung im Binärsystem:
[mm] \bruch{1}{2^{1} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] 0.\overline{01}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{2} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] 0.\overline{0011}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{3} + 1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] 0.\overline{000111}
[/mm]
Ich versuche zu beweisen:
Es gilt:
[mm] \bruch{1}{B^{k} + 1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_{i} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{B})^{i}
[/mm]
wobei [mm] a_{i} [/mm] = 1 für alle [mm] a_{i} \in \{ i * ((k+1), ...., 2k) \}, [/mm] für alle anderen [mm] a_{i} [/mm] ist B = 0
Hier hätte ich die Gleichung: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (k+1)} [/mm] + ... [mm] +\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (2k)}
[/mm]
Jetzt stehe ich vor dem Problem, dass ich hier nicht sehe, wo ich die geometrische Reihe einsetzen kann, denn ich sollte jetzt wohl aus jeder einzelnen Summe [mm] (\bruch{1}{B})^{irgendwas} [/mm] herausheben, finde aber keine sinnvolle Möglichkeit, dies nicht in Abhängigkeit von i zu tun. Wobei: eventuell kann ich ja jede Summe für sich betrachten... hmm muss ich noch probieren.
Hat jemand einen Tipp für mich?
liebe Grüße,
MissJule
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Fr 23.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Seien B, k [mm]\in \IN,[/mm] B [mm]\ge[/mm] 2, k [mm]\ge[/mm] 1. Schreiben Sie die
> Zahlen
> (a) [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm]
> (b) [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> (c) [mm]\bruch{1}{B^{k} + 1}[/mm]
> (d)
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=0}^{k} B^{i}}[/mm]
> im B-adischen System.
> Hinweis: Ein Taschenrechner könnte nützlich zur
> Ideenfindung sein; für das Basteln eines Beweises könnten
> die geometrische Summe / Reihe von Nutzen sein. Oder Sie
> nutzen die geometrische Summe / Reihe direkt zum Finden
> eines Beweises.
>
>
>
> Hallo,
>
> ich stehe bei Aufgabenteil c an.
>
> Was ich bereits habe:
>
> Teil a) [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] ist in B-adischer Darstellung
> 0.0....01, wobei die 1 k Stellen rechts neben dem Komma
> steht, dies folgt direkt aus dem Bildungsgesetz der
> B-adischen Zahlen.
>
> Teil b) Ideenfindung im Binärsystem:
> [mm]\bruch{1}{2^{1} - 1}[/mm] = 1.0
> [mm]\bruch{1}{2^{2} - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]0.\overline{01}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{3} - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{7}[/mm] = [mm]0.\overline{001}[/mm]
> usw.
> Behauptung: [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm] ist die Zahl, bei der
> jeweils die i * b-te Stelle nach dem Komma gleich 1 ist und
> alle anderen Stellen 0 sind, wobei i [mm]\in \IN[/mm] alle Werte von
> 1 bis unendlich annimmt.
>
> Beweis:
> Es gilt:
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B})^{i}[/mm]
> wobei [mm]a_{i}[/mm] = 1 für alle [mm]a_{i}[/mm] teilbar durch k gilt, für
> alle anderen [mm]a_{i}[/mm] ist B = 0
>
> es folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{k*i}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B^{k}})^{i}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=1}^{\infty}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B^{k}})^{i-1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}} \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B^{k}})^{i}[/mm]
>
> mit der geometrischen Summenformel folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{B^{k}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{B^{k}}[/mm] * [mm]\bruch{B^{k}}{B^{k} - 1}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{B^{k} - 1}[/mm]
>
> Soweit so gut, hoffe das passt so in der Art.
>
> Teil c) Da habe ich bis jetzt folgendes:
> Ideenfindung im Binärsystem:
> [mm]\bruch{1}{2^{1} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]0.\overline{01}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{2} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]0.\overline{0011}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2^{3} + 1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] =
> [mm]0.\overline{000111}[/mm]
>
> Ich versuche zu beweisen:
> Es gilt:
> [mm]\bruch{1}{B^{k} + 1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_{i}[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{B})^{i}[/mm]
> wobei [mm]a_{i}[/mm] = 1 für alle [mm]a_{i} \in \{ i * ((k+1), ...., 2k) \},[/mm]
> für alle anderen [mm]a_{i}[/mm] ist B = 0
>
> Hier hätte ich die Gleichung: [mm]\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (k+1)}[/mm]
> + ... [mm]+\summe_{i=1}^{\infty} (\bruch{1}{B})^{i* (2k)}[/mm]
>
> Jetzt stehe ich vor dem Problem, dass ich hier nicht sehe,
> wo ich die geometrische Reihe einsetzen kann, denn ich
> sollte jetzt wohl aus jeder einzelnen Summe
> [mm](\bruch{1}{B})^{irgendwas}[/mm] herausheben, finde aber keine
> sinnvolle Möglichkeit, dies nicht in Abhängigkeit von i
> zu tun. Wobei: eventuell kann ich ja jede Summe für sich
> betrachten... hmm muss ich noch probieren.
>
> Hat jemand einen Tipp für mich?
Hallo,
durch Erweitern erhält man [mm] \frac{1}{B^k+1}= \frac{B^k-1}{B^{2k}-1}=(B^k-1)\frac{1}{B^{2k}-1}[/mm].
Hilft das vielleicht?
(Bin mir selbst nicht sicher.)
Gruß Abakus
>
> liebe Grüße,
> MissJule
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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