Bahnenraum einer Operation < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Di 23.06.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Sei k ein Körper. Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung eine
Gruppenoperation definiert:
[mm] GL(n;k)\times M_n(k) \to M_n(k):(A,M)\mapsto AMA^{-1}
[/mm]
Sei k nun algebraisch abgeschlossen. Wir bezeichnen mit X die Menge aller endlichen Multimengen von Paaren aus [mm] N_{\le 1}\times [/mm] k, deren erste Komponenten sich zu n aufaddieren. Dabei ist eine Multimenge eine Menge in der jedes Element mit einer bestimmten Vielfachheit auftritt.
Zeigen Sie, dass es eine Bijektion vom Bahnenraum der Operation auf die Menge X gibt.
Hinweis: Jordan-Normalform
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Ich habe so einen Verdacht, aber noch keinen wirklichen Ansatz:
Die Definition der Gruppenoperation entspricht fast genau der der Jordan-Noralform, nur dass das Inverse nicht an der richtigen Stelle steht also:
[mm] Z=A^{-1}MA, [/mm] wobei M die Matrix in Jordan-Normalform ist.
Die angegebene Menge X entspricht irgendwie dem Verhalten von Matrizen, bestehend aus Jordanblöcken, also Matrizen mit [mm] n\times [/mm] n Matrizen auf der Diagonalen. Das heißt, ein Element dieser Multimenge X wäre genau eine Matrix M in Jordan-Normalform, wobei zum Beispiel [mm] M={(1,\lambda),(1,\lambda),(1,\lambda)} [/mm] mit n=3.und n entspricht dem größtmöglichen Rang eines Jordanblockes. Da Matrizen in Jordan-Normalform eindeutig, bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke, würde das ja auch so hinhauen?
Kann mir jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Pfad bin? Mir ist allerdigns völlig rätselhaft, wie ich den Bahnenraum der Jordannormalform finden, bzw. mir vorstellen soll???
Danke, die für Hinweise.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Di 23.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Die Definition der Gruppenoperation entspricht fast genau
> der der Jordan-Noralform, nur dass das Inverse nicht an der
> richtigen Stelle steht also:
>
> [mm]Z=A^{-1}MA,[/mm] wobei M die Matrix in Jordan-Normalform ist.
Das ist irgendwie falsch, auch wenn du vielleicht das richtige meinst. Zwei Matrizen liegen genau dann in der gleichen Bahn, wenn sie ähnlich sind. Du hast also auf [mm] $M_n(\IK)$ [/mm] eine Äquivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] gegeben durch [mm] $A\sim B\gdw_\text{Def.} \exists T\in GL(n,\IK): A=TBT^{-1}$ [/mm] und die Menge der Äquivalenzklassen [mm] $M_n(\IK)/\sim$ [/mm] ist der Bahnenraum der Gruppenoperation. Zum Beispiel gibt es die einelementige Bahn [mm] $[\mathbb{E}]=\{\mathbb{E}\}$ [/mm] der Einheitsmatrix, allgemeiner: die einelementigen Bahnen sind genau die Bahnen von Matrizen der Form [mm] $\lambda\cdot\mathbb{E}$.
[/mm]
Da nun [mm] \IK [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, weißt du dass jede Bahn eine (i.A. natürlich mehrere) Matrix in JNF enthält. Die JNF-Matrizen aus ein und derselben Bahn unterscheiden sich nur hinsichtlich der Reihenfolge ihrer Jordanblöcke.
> Die angegebene Menge X entspricht irgendwie dem Verhalten
> von Matrizen, bestehend aus Jordanblöcken, also Matrizen
> mit [mm]n\times[/mm] n Matrizen auf der Diagonalen.
Ziemlich schwammig...
> Das heißt, ein
> Element dieser Multimenge X wäre genau eine Matrix M in
> Jordan-Normalform, wobei zum Beispiel
> [mm]M={(1,\lambda),(1,\lambda),(1,\lambda)}[/mm] mit n=3.und n
> entspricht dem größtmöglichen Rang eines Jordanblockes. Da
> Matrizen in Jordan-Normalform eindeutig, bis auf
> Reihenfolge der Jordanblöcke, würde das ja auch so
> hinhauen?
Ja das ist schon genau die richtige Idee. Jedem [mm]x\in X[/mm] ordnest du auf diese Weise eine Matrix in JNF zu, d.h. du hast eine Abbildung [mm] $\varphi:X\to M_n(\IK)$ [/mm] mit [mm] $\varphi(x)$ [/mm] hat JNF für alle [mm] $x\in [/mm] X$. Daraus gewinnst du im nächsten Schritt die Abbildung [mm] $\Phi:X\ni x\mapsto [\varphi(x)]\in M_n(\IK)/\sim$ [/mm] und musst nun nur noch zeigen, dass diese auch bijektiv ist, was mit meinen obigen Bemerkungen eigentlich machbar sein dürfte. Mit [mm] [\varphi(x)] [/mm] meine ich übrigens die Bahn, also die Äquivalenzklasse, von [mm] $\varphi(x)$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mi 24.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Danke!, der Hinweis sich Bahnen als Äquivalenzklassen vorzustellen hat mir geholfen erstmal die ganze Sache mit den Bahnen zu verstehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 24.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Für den ersten Teil der Aufgabe muss ich also die Axiome für Gruppenoperatoren nach rechnen.
Für (e,M)=M mit e:=Einheitsmatrix und M [mm] \in M_n(k) [/mm] gehts einfach,
aber mit ((AB),M)=(A,(B,M)) komme ich gar nicht zurecht:
Sei [mm] A,B\in [/mm] GL(n;k) und [mm] M\in M_n(k), [/mm] dann
[mm] ((AB),M)=ABMA^{-1}B^{-1}=A(BMB^{-1})(BA^{-1}B^{-1})=A(B,M)(B,A^{-1})
[/mm]
Aus (B,M) und [mm] (B,A^{-1}) [/mm] schließe ich, das [mm] A^{-1}\equiv [/mm] M, also [mm] A^{-1} [/mm] und M der selben Bahn angehören.
Hier hörts aber schon auf.
Danke, wenn jemand noch eine Idee haben sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Do 25.06.2009 | | Autor: | tux23 |
ohhhh gott wie peinlich, [mm] (A\times B)^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}, [/mm] das hatte ich nicht gewusst.
Damit ist der erste Teil natürlich klar.
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