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Forum "Algebra" - Bahngleichung & Vertretersyst.
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Bahngleichung & Vertretersyst.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:15 Mo 25.05.2020
Autor: teskiro

Aufgabe
Die Gruppe $G$ operiere auf der endlichen Menge [mm] $\Omega$. [/mm] Dann gilt für [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm]


[mm] $\vert [/mm] G: [mm] G_{\omega} \vert [/mm] = [mm] \vert \omega^{G} \vert$ [/mm]

und es gibt ein Vertretersystem [mm] $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n} \in \Omega$, [/mm] so dass


[mm] $\vert \Omega \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert \omega_{i}^{G} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert [/mm] G : [mm] G_{\omega_{i}} \vert$ [/mm]

Morgen!

Ich soll die obige Gleichung beweisen. Ich denke, das ist mir ganz gut gelungen, aber ich habe noch Fragen zu meinem Beweis.



Ansatz:



Betrachte die Abbildung [mm] $\beta: G/g_{\omega} \rightarrow \omega^{G}, [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} \mapsto [/mm] g [mm] \* \omega$ [/mm]

Ich möchte zeigen, dass [mm] $\beta$ [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist.




Seien $g,  h [mm] \in [/mm] G$.

Angenommen, es gelte $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega$. [/mm]

Durch Äquivalenzumformung erhalten wir


$g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega\quad \vert\quad \* h^{- 1}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow [/mm] $ [mm] $h^{- 1} \* [/mm] ( g [mm] \* \omega) [/mm] = [mm] h^{- 1} \* [/mm] (h [mm] \* \omega) [/mm] = [mm] (h^{- 1} \cdot [/mm] h) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] e_{G} \* \omega [/mm] = [mm] \omega$ [/mm]


Es gilt aber auch [mm] $h^{- 1} \* [/mm] ( g [mm] \* \omega) [/mm]  = [mm] (h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega$. [/mm]

Also gilt [mm] $(h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] \omega$ [/mm]


Es ist $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftrightarrow (h^{- 1} \cdot [/mm] g ) [mm] \* \omega [/mm] = [mm] \omega \Leftrightarrow h^{- 1} \cdot [/mm] g [mm] \in G_{\omega} \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$. [/mm]



Wir haben also $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$. [/mm]


Die Rückrichtung $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Leftarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] zeigt die Wohldefiniertheit von [mm] $\beta$. [/mm]

Die Hinrichtung $g [mm] \* \omega [/mm] = h [mm] \* \omega \Rightarrow [/mm] g [mm] \cdot G_{\omega} [/mm] = h [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] zeigt die Injektivität von [mm] $\beta$. [/mm]


Die Surjektivität von [mm] $\beta$ [/mm] ist klar, da die Linksnebenklasse $g [mm] \cdot G_{\omega}$ [/mm] ein Urbild von $g [mm] \* \omega \in \omega^{G}$ [/mm] unter [mm] $\beta$ [/mm] ist.


Also ist [mm] $\beta$ [/mm] bijektiv und es gilt [mm] $\vert [/mm] G : [mm] G_{\omega} \vert [/mm] = [mm] \vert \omega^{G} \vert$. [/mm]



Nun ist [mm] $\Omega$ [/mm] die disjunkte Vereinigung der Bahnen unter $G$.

Wählen wir ein Vertretersystem [mm] $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ [/mm] für die Bahnen (es gibt immer ein Vertretersystem für die Bahnen einer Gruppe, da $G$ mindestens die Bahn [mm] $e^{G} [/mm] = G$ besitzt ), so gilt

[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \dot{\bigcup\limits_{i = 1}^{n} \omega_{i}^{G}}$, [/mm] woraus dann die Gleichheit

[mm] $\vert \Omega \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert \omega_{i}^{G} \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} \vert [/mm] G : [mm] G_{\omega_{i}} \vert$ [/mm] folgt.




Stimmt mein Beweis so ? Oder habe ich an einer Stelle nicht ausreichend genug argumentiert ?

Zudem wollte ich noch fragen, ob ein Vertretersystem immer existiert (nicht nur in Bezug auf Bahnen) ?


Dass das Vertretersystem der Bahnen endlich ist, sprich wir haben endlich viele Bahnen, liegt einfach nur daran, dass [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist, oder ?


Wäre [mm] $\Omega$ [/mm] unendlich, dann hätten wir endlich viele Bahnen mit jeweils unendlich vielen Elementen, unendlich viele Bahnen mit jeweils endlich vielen Elementen oder unendlich viele Bahnen mit jeweils unendlich vielen Elementen.

Wenn also [mm] $\Omega$ [/mm] nicht endlich wäre, dann kann das Vertretersystem der Bahnen endlich oder nicht endlich sein. Stimmt das so ?


Freue mich auf eine Antwort!

lg, Tim

        
Bezug
Bahngleichung & Vertretersyst.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 31.05.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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