Banach-Steinhaus < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Fr 14.01.2011 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei [mm] (\mu_{k})_{k\in\IN} [/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der Eigenschaft, dass
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}<\infty [/mm] für jedes [mm] x=(\xi_{k})_{k\in\IN}\in l_{2}.
[/mm]
Man zeige,dass [mm] y=(\mu_{k})_{k\in\IN} [/mm] zu [mm] l_{2} [/mm] gehört.
Hinweis: Banach-Steinhaus auf die Folge der durch [mm] y_{n}=(\mu_{1}; \mu_{2}; [/mm] ... ; [mm] \mu_{n}; [/mm] 0; 0; ... ) erzeugten Funktionale anwenden. |
Hallo,
mit der Hölderungleichung erhalte ich:
[mm] |\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\sum_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}||\bar\mu_{k}|\le\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}*\|x\|_{l_{2}}.
[/mm]
Mit Banach-Steinhaus bekomme ich, dass die Operatornorm der Summe endlich ist und [mm] |\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\|f\|\|x\|_{l_{2}}.
[/mm]
Doch wie erhalte ich: [mm] \left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}=\|f\|?
[/mm]
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Gruß
DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Fr 14.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](\mu_{k})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge komplexer Zahlen mit der
> Eigenschaft, dass
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}<\infty[/mm] für jedes
> [mm]x=(\xi_{k})_{k\in\IN}\in l_{2}.[/mm]
>
> Man zeige,dass [mm]y=(\mu_{k})_{k\in\IN}[/mm] zu [mm]l_{2}[/mm] gehört.
>
> Hinweis: Banach-Steinhaus auf die Folge der durch
> [mm]y_{n}=(\mu_{1}; \mu_{2};[/mm] ... ; [mm]\mu_{n};[/mm] 0; 0; ... )
> erzeugten Funktionale anwenden.
> Hallo,
>
> mit der Hölderungleichung erhalte ich:
>
> [mm]|\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\sum_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}||\bar\mu_{k}|\le\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}*\|x\|_{l_{2}}.[/mm]
Das: [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2} [/mm] kannst Du so nicht schreiben !
Richtig:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}|\mu_{k}|^{2} [/mm]
>
> Mit Banach-Steinhaus bekomme ich, dass die Operatornorm der
> Summe endlich ist und
> [mm]|\sum_{k=1}^{\infty}\xi_{k}\bar\mu_{k}|\le\|f\|\|x\|_{l_{2}}.[/mm]
>
> Doch wie erhalte ich:
> [mm]\left(\sum_{k=1}^{\infty}\bar\mu_{k}^{2}\right)^{0,5}=\|f\|?[/mm]
>
> Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Diese Aufgabe ist viel zu schwer für eine Übungsaufgabe, sag das mal Deinem Übungsleiter.
Deshalb:
schau nach in : H.Heuser: Funktionalanalysis 46.1, I)
FRED
>
> Gruß
> DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Fr 14.01.2011 | | Autor: | DerGraf |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe. Das Buch habe ich hier und die Lösung sieht verständlich aus :)
Lieben Gruß
DerGraf
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