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Hallo zusammen,
(a)
in einem Banachraum ist ja stets die Norm definiert als
|| x || = ( [mm] \summe_{i}^{} (x_{i}^2 [/mm] ) ^{1/2}
oder
|| x || = [mm] (\integral_{}^{}{x^2 dt} [/mm] ) ^{1/2}
In einem Hilbertraum ist stets gegeben:
<f, g> = [mm] \integral_{}^{}{ \overline{f} g}
[/mm]
Könnte man nun nicht von Banach ausgehend sagen: "Dort gibts ein Integral über die Norm, über welches ich auf das Integral vom Hilbertraum aufsetze und so zu einem Skalarprodukt komme"? Oder sind das einfach zwei verschiedene Integrale, die es in beiden Räumen einfach geben darf?
(Nachfrage: Ist denn die Norm STETS über das Integral gegeben, oder wie ist die Norm allgemein(st) in normierten Räumen definiert?)
(b)
Bezüglich der Fourierreihen in vollständigen (unitären) Räumen ist mir auch noch etwas unklar.
Wieso summiere ich bei einigen Dingen die Fourierkoeffizienten bis ins unendliche, Beispiel:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] | [mm] a_k (v)|^2 \le ||v||^2 [/mm] (v [mm] \in [/mm] unitärer Raum V) (Bessel-Ungleichung)
oder
[mm] ||v||^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] | [mm] a_k (v)|^2 [/mm] (Parceval)
obwohl mein Raum doch nicht zwingend, wie etwa der [mm] L^2, [/mm] unendlich dimensioniert sein muss, sondern, wie der [mm] \IC^n [/mm] beispielsweise, endlicher Dimension sein kann?
(c)
Ich habe noch die Bemerkung gefunden, dass in einem Hilbertraum die Fourierreihe S(v) stets existiert (also nicht die Partialsumme [mm] S_n [/mm] f ). Anderswo aber, dass ein ON-System in einem Hilbertraum vollständig heisst, wenn S(v) = v ist (für alle v [mm] \in [/mm] V).
Folgt nun nicht: Hilbertraum [mm] \Rightarrow [/mm] ONS vollständig? Sonst kann die erste Aussage ja nicht stimmen, dass die Fourierreihe die Funktion exakt darstellt?!
Grüße,
Willkommen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 So 01.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Normen die du aufgezählt hast sind spezielle Normen. Die allgemeine Definition findest du z.B. bei wikipedia unter normierter Raum.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 02.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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