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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Annyy |
| Aufgabe | | Definition: ist die von (X,||.||) erzeugte Metrik vollständig, so heißt der normierte Raum Banachraum. |
Hallo!
Bin grad dabei, mein Ana2-Skriptum durchzuarbeiten und hab leider mein Ana1-Skript nicht bei mir, und jetzt häng ich schon bei einfachsten Definitionen.
Also:
Definition: ist die von (X,||.||) erzeugte Metrik vollständig, so heißt der normierte Raum Banachraum.
Was ist nun die genaue Definition einer vollständigen Metrik und was unterscheidet sie von einer unvollständigen Metrik?
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Hallo Annyy,
> Definition: ist die von (X,||.||) erzeugte Metrik
> vollständig, so heißt der normierte Raum Banachraum.
> Hallo!
> Bin grad dabei, mein Ana2-Skriptum durchzuarbeiten und hab
> leider mein Ana1-Skript nicht bei mir, und jetzt häng ich
> schon bei einfachsten Definitionen.
> Also:
> Definition: ist die von (X,||.||) erzeugte Metrik
> vollständig, so heißt der normierte Raum Banachraum.
>
> Was ist nun die genaue Definition einer vollständigen
> Metrik und was unterscheidet sie von einer unvollständigen Metrik?
Eine Metrik d bzw. ein mit der Metrik d versehener Raum X heißt vollständig genau dann, wenn jede Cauchyfolge in X bezüglich der Metrik d gegen ein Element [mm] x\in [/mm] X konvergiert.
Beispiele (vollständige Räume): [mm] \IR, \IC, \IR^n [/mm] mit euklidischer Metrik, [mm] \ldots
[/mm]
Beispiele (unvollständige Räume): das Intervall (0,1) mit euklidischer Metrik, [mm] \IR [/mm] mit Metrik [mm] d(x,y):=|\arctan(x)-\arctan(y)|.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Annyy |
danke für die rasche antwort!
diese definition kommt mir bekannt vor :)
jedoch hab ich ein verständnisproblem, wie eine cauchyfolge bezüglich einer metrik konvergieren kann? für eine metrik brauch ich ja immer 2 elemente, zb bei der euklidischen metrik [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{p}|xj-yj|^{2} }
[/mm]
ein vollständiger raum ist ja, wenn jede cauchyfolge gegen ein element des raums konvergiert.
wie kann ich mir das vorstellen, dass eine cauchyfolge bzgl einer metrik konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Fr 16.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für die rasche antwort!
> diese definition kommt mir bekannt vor :)
> jedoch hab ich ein verständnisproblem, wie eine
> cauchyfolge bezüglich einer metrik konvergieren kann? für
> eine metrik brauch ich ja immer 2 elemente, zb bei der
> euklidischen metrik [mm]\wurzel{\summe_{j=1}^{p}|xj-yj|^{2} }[/mm]
Ja, so steht es auch in der Definition der Konvergenz in metrischen Räumen: eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert bezüglich der Metrik d gegen x, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] d(x_n,x) < \varepsilon [/mm] für alle $n >N$.
Wenn die Metrik von einer Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] induziert wird, so ist [mm] $d(x_n,x) [/mm] = [mm] \|x_n-x\|$ [/mm] .
> ein vollständiger raum ist ja, wenn jede cauchyfolge gegen
> ein element des raums konvergiert.
> wie kann ich mir das vorstellen, dass eine cauchyfolge
> bzgl einer metrik konvergiert?
Für eine Cauchyfolge gilt, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] d(x_n,x_m)< \varepsilon [/mm] für alle $n,m >N$.
Die Metrik in einem Banachraum ist per Definition von einer Norm induziert, sodass du dort immer $d(x,y) [mm] =\|x-y\|$ [/mm] schreiben kannst.
Viele Grüße
Rainer
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