Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 08.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,d_{x}) [/mm] ein metrischer Raum und [mm] (Y,\parallel \parallel_{y}) [/mm] ein Banachraum. Zeige, dass dann auch der Vektorraum [mm] C_{b}(X,Y) [/mm] vollständig bzgl. der Norm:
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] (x\in [/mm] X)sup [mm] \parallel [/mm] f(x) [mm] \parallel{y} [/mm] für [mm] f\in C_{b}(X,Y) [/mm] |
Hallo.
Es gilt:
1. [mm] C_{b}(X,Y) [/mm] = { f: X --> Y | f stetig und beschränkt}
2. jede Cauchyfolge aus [mm] C_{b}(X,Y) [/mm] konvergiert bzgl der Metrik [mm] d_{C_{b}(X,Y)}(x,y) \gdw C_{b}(X,Y) [/mm] vollständig
Ich glaube mein Beweis ist falsch. Ich benutze nirgendwo die Eigenschaften von [mm] C_{b}(X,Y)... [/mm] Kann mir jemand sagen was ich falsch mache?
Der "Beweis":
Sei [mm] f_{n}(x) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] C_{b}(X,Y).
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] m,n > [mm] n_{0}
[/mm]
[mm] d_{C_{b}(X,Y)}(f_{m}(x),f_{n}(x))<\varepsilon [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (x\in X)sup\parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \forall x\in [/mm] X [mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists n_{0} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] m,n > [mm] n_{0}: [/mm]
[mm] \parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y}<(x\in X)sup\parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n}(x) [/mm] ist Cauchyfolge in Y
Y Banachraum [mm] \Rightarrow f_{n}(x) [/mm] konvergiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=:f
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \forall x\in [/mm] X:
[mm] \parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}< \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow(insbesondere)
[/mm]
[mm] (x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow C_{b}(X,Y) [/mm] ist Vollständig.
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> Sei [mm](X,d_{x})[/mm] ein metrischer Raum und [mm](Y,\parallel \parallel_{y})[/mm]
> ein Banachraum. Zeige, dass dann auch der Vektorraum
> [mm]C_{b}(X,Y)[/mm] vollständig bzgl. der Norm:
>
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{\infty}[/mm] = [mm](x\in[/mm] X)sup [mm]\parallel[/mm] f(x)
> [mm]\parallel{y}[/mm] für [mm]f\in C_{b}(X,Y)[/mm]
> Hallo.
>
> Es gilt:
>
> 1. [mm]C_{b}(X,Y)[/mm] = { f: X --> Y | f stetig und beschränkt}
> 2. jede Cauchyfolge aus [mm]C_{b}(X,Y)[/mm] konvergiert bzgl der
> Metrik [mm]d_{C_{b}(X,Y)}(x,y) \gdw C_{b}(X,Y)[/mm] vollständig
>
> Ich glaube mein Beweis ist falsch. Ich benutze nirgendwo
> die Eigenschaften von [mm]C_{b}(X,Y)...[/mm] Kann mir jemand sagen
> was ich falsch mache?
>
> Der "Beweis":
>
> Sei [mm]f_{n}(x)[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]C_{b}(X,Y).[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN[/mm] :
> [mm]\forall[/mm] m,n > [mm]n_{0}[/mm]
> [mm]d_{C_{b}(X,Y)}(f_{m}(x),f_{n}(x))<\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm](x\in X)sup\parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y}[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\forall x\in[/mm] X [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists n_{0} \in \IN[/mm]
> : [mm]\forall[/mm] m,n > [mm]n_{0}:[/mm]
> [mm]\parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y}<(x\in X)sup\parallel f_{m}(x)-f_{n}(x) \parallel_{y}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow f_{n}(x)[/mm] ist Cauchyfolge in Y
> Y Banachraum [mm]\Rightarrow f_{n}(x)[/mm] konvergiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=:f[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\forall x\in[/mm] X:
> [mm]\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}< \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow(insbesondere)[/mm]
> [mm](x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow C_{b}(X,Y)[/mm] ist Vollständig.
Mich erstaunt nicht, dass Du Dich mit Deinem Beweis nicht so recht wohl fühlst. Die Hauptlinie Deiner Argumentation kommt irgendwie nicht richtig zur Geltung. Zuerst zeigst Du, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ die Folge der [mm] $y_n [/mm] := [mm] f_n(x)$ [/mm] eine Cauchy-Folge in $Y$ ist und daher in $Y$ konvergent, so dass man zumindest mittels $f(x) := [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)$ [/mm] den punktweisen Limes als Funktion [mm] $f:\; X\rightarrow [/mm] Y$ definieren kann.
Als nächstes musst Du zeigen, und dies scheint mir in Deiner Argumentation nicht klar genug zu sein, dass dieser punktweise Limes [mm] $f;\; X\rightarrow [/mm] Y$ tatsächlich in [mm] $\mathcal{C}_b(X,Y)$ [/mm] liegt. Du musst also zeigen: 1. $f$ ist stetig und 2. $f$ ist beschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 08.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Danke für die schnelle Antwort!
Also ist dieser Beweis totaler schrott? Denn daraus kann man ja überhaupt nichts sagen über f(x), oder?
Ich hab folgenden Satz aus der VL gefunden
1. [mm] (X,d_{x}),(Y,d_{y}) [/mm] metr.Räume und [mm] f_{n}: [/mm] X [mm] \to [/mm] Y stetige Abbildungen, und [mm] f_{n} [/mm] konvergiert glm. gegen f
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig.
Dass [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig gegen f in [mm] C_{b}(X.Y) [/mm] konvergiert, besagt doch grade $ [mm] (x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon [/mm] $.
Aber dann ist ja dieser Schritt falsch:
> $ [mm] \forall x\in [/mm] $ X:
> $ [mm] \parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}< \varepsilon [/mm] $
>
> $ [mm] \Rightarrow(insbesondere) [/mm] $
> $ [mm] (x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon [/mm] $
denn dann würde ja Allgemein gelten, dass jede punktweise konvergenz auch gleichmäßige konvergenz impliziert. Oder gilt die Aussage für beschränkte Funktionen?
Oje :D
PS: Beschränktheit folgt doch automatisch, da [mm] f_{n}(x) [/mm] beschränkt ist, oder?
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> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Also ist dieser Beweis totaler schrott? Denn daraus kann
> man ja überhaupt nichts sagen über f(x), oder?
>
> Ich hab folgenden Satz aus der VL gefunden
>
> 1. [mm](X,d_{x}),(Y,d_{y})[/mm] metr.Räume und [mm]f_{n}:[/mm] X [mm]\to[/mm] Y
> stetige Abbildungen, und [mm]f_{n}[/mm] konvergiert glm. gegen f
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig.
>
> Dass [mm]f_{n}[/mm] gleichmäßig gegen f in [mm]C_{b}(X.Y)[/mm] konvergiert,
> besagt doch grade [mm](x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon [/mm].
Gut, dann hast Du's einfach: Du kannst Dich unmittelbar auf diesen Satz stützen um zeigen zu können, dass aus gleichmässiger Konvergenz der stetigen [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ folgt, dass $f$ stetig ist. Aber zuerst musst Du, nachdem Du die punktweise Konvergenz der [mm] $f_n(x)\rightarrow [/mm] f(x)$, für [mm] $n\rightarrow \infty$, [/mm] gezeigt hast, zeigen, dass die [mm] $f_n$ [/mm] in der [mm] $\parallel\;\;\parallel_{\infty}$-Norm [/mm] gegen $f$ konvergieren (siehe unten).
>
> Aber dann ist ja dieser Schritt falsch:
> > [mm]\forall x\in[/mm] X:
> > [mm]\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}< \varepsilon[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow(insbesondere)[/mm]
> > [mm](x\in X)sup\parallel f_{n}(x) -f(x)\parallel_{y}\le \varepsilon[/mm]
> denn dann würde ja Allgemein gelten, dass jede punktweise
> konvergenz auch gleichmäßige konvergenz impliziert. Oder
> gilt die Aussage für beschränkte Funktionen?
Du musst hier nochmals die Cauchy-Eigenschaft der [mm] $f_n$ [/mm] bezüglich der [mm] $\infty$-Norm [/mm] verwenden: denn wenn für alle [mm] $n,m\geq n_0$ [/mm] gilt, dass (für alle [mm] $x\in [/mm] X$):
[mm]\parallel f_n(x)-f_m(x)\parallel_Y\leq \parallel f_n-f_m\parallel_\infty <\varepsilon[/mm]
so erhält man, indem man [mm] $m\rightarrow \infty$ [/mm] gehen lässt, dass (für alle [mm] $x\in [/mm] X$):
[mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y \leq \varepsilon[/mm]
Also, da [mm] $x\in [/mm] X$ beliebig war, ist [mm] $\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon$. [/mm] Insgesamt folgt gleichmässige Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ (den punktweisen Limes).
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> Oje :D
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> PS: Beschränktheit folgt doch automatisch, da [mm]f_{n}(x)[/mm]
> beschränkt ist, oder?
Beschränktheit folgt aus der Cauchy-Eigenschaft der [mm] $f_n$ [/mm] (bzw. auch aus der gleichmässigen Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$), denn es ist
[mm]\parallel f_n\parallel_\infty =\parallel f_n-f_{n_0}+f_{n_0}\parallel_\infty \leq \parallel f_n-f_{n_0}\parallel_\infty +\parallel f_{n_0}\parallel_\infty < \varepsilon + \parallel f_{n_0}\parallel_\infty[/mm]
Für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] kann man ja ein solches [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt [mm] $\parallel f_n-f_{n_0}\parallel_\infty<\varepsilon$ [/mm] (Cauchy). Insgesamt folgt, nach [mm] $n\rightarrow \infty$, [/mm] dass [mm] $\parallel f\parallel_\infty \leq \varepsilon+\parallel f_{n_0}\parallel_\infty$, [/mm] d.h. $f$ ist beschränkt.
Ein Problem beim ganzen Beweis ist die Reihenfolge der Schritte nicht durcheinander zu bringen: so dass bei jedem Schritt nur Eigenschaften von $f$ verwendet werden, die bereits bewiesen wurden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 08.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Super! Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
Trotzdem hab ich noch 1 Frage zu deiner Argumentationstechnik.
1.
> Du musst hier nochmals die Cauchy-Eigenschaft der [mm]f_n[/mm]
> bezüglich der [mm]\infty[/mm]-Norm verwenden: denn wenn für alle
> [mm]n,m\geq n_0[/mm] gilt, dass (für alle [mm]x\in X[/mm]):
>
> [mm]\parallel f_n(x)-f_m(x)\parallel_Y\leq \parallel f_n-f_m\parallel_\infty <\varepsilon[/mm]
>
> so erhält man, indem man [mm]m\rightarrow \infty[/mm] gehen lässt,
> dass (für alle [mm]x\in X[/mm]):
>
> [mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y \leq \varepsilon[/mm]
>
> Also, da [mm]x\in X[/mm] beliebig war, ist [mm]\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon[/mm].
> Insgesamt folgt gleichmässige Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f[/mm]
> (den punktweisen Limes).
Wie meinst du das m [mm] \to \infty [/mm] ?
Das:
> [mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y \leq \varepsilon[/mm]
weiß man doch schon weil Y Banachraum ist und mit der obigen Gleichung gezeigt wurde, dass es bzgl. $ [mm] ||.||_{y} [/mm] $ eine Cauchyfolge ist.
Ich verstehe nicht wieso du das folgende sagen kannst:
> $ [mm] \parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon [/mm] $
(das ist ja der Knackpunkt, wir wollen zeigen es konvergiert gleichmäßig bzgl $ [mm] ||.||_{\infty} [/mm] $,
wo machst du das?)
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> Super! Vielen Dank für die ausführlichen Antworten!
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> Trotzdem hab ich noch 1 Frage zu deiner
> Argumentationstechnik.
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> 1.
> > Du musst hier nochmals die Cauchy-Eigenschaft der [mm]f_n[/mm]
> > bezüglich der [mm]\infty[/mm]-Norm verwenden: denn wenn für alle
> > [mm]n,m\geq n_0[/mm] gilt, dass (für alle [mm]x\in X[/mm]):
> >
> > [mm]\parallel f_n(x)-f_m(x)\parallel_Y\leq \parallel f_n-f_m\parallel_\infty <\varepsilon[/mm]
>
> >
> > so erhält man, indem man [mm]m\rightarrow \infty[/mm] gehen lässt,
> > dass (für alle [mm]x\in X[/mm]):
> >
> > [mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y \leq \varepsilon[/mm]
> >
> > Also, da [mm]x\in X[/mm] beliebig war, ist [mm]\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon[/mm].
> > Insgesamt folgt gleichmässige Konvergenz der [mm]f_n[/mm] gegen [mm]f[/mm]
> > (den punktweisen Limes).
>
> Wie meinst du das m [mm]\to \infty[/mm] ?
> Das:
> > [mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y \leq \varepsilon[/mm]
>
> weiß man doch schon weil Y Banachraum ist
Dies ist richtig, solange Du Dich nur für die punktweise Konvergenz interessierst.
> und mit der
> obigen Gleichung gezeigt wurde, dass es bzgl. [mm]||.||_{y}[/mm]
> eine Cauchyfolge ist.
> Ich verstehe nicht wieso du das folgende sagen kannst:
> > [mm]\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon[/mm]
Weil, wie gesagt, für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und für alle [mm] $x\in [/mm] X$ es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n,m\geq n_0$ [/mm] die Ungleichung
[mm]\parallel f_n(x)-f_m(x)\parallel_Y <\varepsilon[/mm]
gilt, und weil schon die punktweise Konvergenz (aber immer nur für ein konkretes $x$) von [mm] $f_m(x)$ [/mm] gegen $f(x)$ gezeigt worden ist, können wir schliesen, dass für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und für alle [mm] $x\in [/mm] X$ es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] die Ungleichung
[mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y\leq \varepsilon[/mm]
gilt (denn wenn [mm] $f_m(x)\rightarrow [/mm] f(x)$ dann auch [mm] $f_n(x)-f_m(x)\rightarrow f_n(x)-f(x)$, [/mm] die [mm] $\parallel\;\;\parallel_Y$-Norm [/mm] ist stetig, also gilt die obige Ungleichung auch für den Limes [mm] $m\rightarrow\infty$ [/mm] von [mm] $f_n(x)-f_m(x)$ [/mm] d.h. für [mm] $f_n(x)-f(x)$).
[/mm]
Da [mm] $x\in [/mm] X$ in dieser Ungleichung beliebig (und unabhängig von $n$) ist, folgt insbesondere
[mm]\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon[/mm]
Da auch [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ beliebig ist, folgt gleichmässige Konvergenz von [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ in der [mm] $\parallel\;\;\parallel_\infty$-Norm.
[/mm]
> (das ist ja der Knackpunkt, wir wollen zeigen es
> konvergiert gleichmäßig bzgl [mm]||.||_{\infty} [/mm],
> wo machst du das?)
Eben hier (bzw. oben).
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:50 Do 28.05.2009 | | Autor: | heh204 |
Guten Tag, mein erster Versuch. Mein Problem: der Übergang von punktweiser zu gleichmäßiger Konvergenz. Zitat:
können wir schliesen, dass für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und für alle [mm]x\in X[/mm] es ein [mm]n_0[/mm] gibt, so dass
> für alle [mm]n\geq n_0[/mm] die Ungleichung
>
> [mm]\parallel f_n(x)-f(x)\parallel_Y\leq \varepsilon[/mm]
> gilt
Zitat Ende. Anmerkung: n0 hängt von epsilon und x ab !!! (Punktweise Konvergenz). Zu jedem x gibt es ein solches n0, das also von x abhängt (und epsilon). Zitat 2:
>
> Da [mm]x\in X[/mm] in dieser Ungleichung beliebig (und unabhängig
> von [mm]n[/mm]) ist, folgt insbesondere
>
> [mm]\parallel f_n-f\parallel_\infty\leq \varepsilon[/mm]
Zitat Ende. Anmerkung: da ist die Supremumsbildung schon gelaufen und n0 ist plötzlich nur noch von epsilon, nicht mehr von x abhängig.
Das verstehe ich nicht. Ansonsten ein schöner Beitrag. Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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