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Banachraum: Korrektur + Rückfragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Mo 23.05.2011
Autor: Sprudel

Aufgabe
Zeigen Sie, dass der Raum [mm] C^{(1)}([a, [/mm] b]) mit der Norm
[mm] ||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty} [/mm] + [mm] ||f´||_{\infty} [/mm] , f [mm] \in C^{(1)}([a, [/mm] b]),
ein Banachraum ist.

Also ich habe zunächst gezeigt, dass es ein nomierter Raum ist :

Es sei |||f|||=0. Dann gilt 0= [mm] inf_{C \in \IR}|||f+c|||=inf_{C \in \IR max x \in [a,b]} [/mm]

|f´(x)|= [mm] max_{x \in [a,b]} [/mm] |f´(x)| also ist f konstant, d.h. [mm] f\in [/mm] [0] und damit f=[0]
Die Homogenität und die Dreiecksungleichung folgen mit
[mm] |||[\lambda [/mm] f|||= inf max [mm] |(\lambda [/mm] f +c)´ (x)|
[mm] =|\lambda| [/mm] max |f´(x)|
= [mm] |\lambda||||[f]||| [/mm]

und

|||f+g||| = inf max |(f+g+c)´ (x)|
=max|f´(x) + g´(x)|
[mm] \le [/mm] max (|f´(x)| + |g´(x)|)
[mm] \le [/mm] max (|f´(x)| + max |g´(x)|)
=|||[f]||| + |||[g]|||

Also es ist nomiert.

Muss ich jetzt noch die Vollständigkeit zeigen ????
Und ist mein aufgeführter Beweis richtig ???
Vielen Dank schon mal....

        
Bezug
Banachraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mo 23.05.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass der Raum [mm]C^{(1)}([a,[/mm] b]) mit der Norm
>  [mm]||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty}[/mm] + [mm]||f´||_{\infty}[/mm]

Das soll wohl

                           [mm]||f||_{C^{(1)}([a,b])}:= ||f||_{\infty}[/mm] + [mm]||f'||_{\infty}[/mm]

lauten.

> , f [mm]\in C^{(1)}([a,[/mm] b]),
>  ein Banachraum ist.
>  Also ich habe zunächst gezeigt, dass es ein nomierter
> Raum ist :

nomiert oder nominiert oder normiert ?


>  
> Es sei |||f|||=0. Dann gilt 0= [mm]inf_{C \in \IR}|||f+c|||=inf_{C \in \IR max x \in [a,b]}[/mm]

Was  machst Du da ? Das ist ja völlig verquer !

>  
> |f´(x)|= [mm]max_{x \in [a,b]}[/mm] |f´(x)| also ist f konstant,
> d.h. [mm]f\in[/mm] [0] und damit f=[0]
>  Die Homogenität und die Dreiecksungleichung folgen mit
> [mm]|||[\lambda[/mm] f|||= inf max [mm]|(\lambda[/mm] f +c)´ (x)|
>  [mm]=|\lambda|[/mm] max |f´(x)|
>  = [mm]|\lambda||||[f]|||[/mm]

Dem kann ich nicht folgen. Was soll das c ?  Was soll das inf ???


>  
> und
>
> |||f+g||| = inf max |(f+g+c)´ (x)|
>  =max|f´(x) + g´(x)|
>  [mm]\le[/mm] max (|f´(x)| + |g´(x)|)
>  [mm]\le[/mm] max (|f´(x)| + max |g´(x)|)
>  =|||[f]||| + |||[g]|||


S.o.   ????????????????????

>  
> Also es ist nomiert.

   normiert


>
> Muss ich jetzt noch die Vollständigkeit zeigen ????#


Ja


>  Und ist mein aufgeführter Beweis richtig ???

Nein.

FRED

>  Vielen Dank schon mal....


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