Banachraum + abgeschl. Kugeln < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 11.04.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Sei [mm] (B_{n}) [/mm] eine Folge abgeschlossener Kugeln in einem Banachraum mit [mm] B_{1} \supset B_{2} \supset B_{3} \supset [/mm] ... Folgt dann [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n} \not= \emptyset?
[/mm]
(Hinweis: Falls B(x,r) [mm] \subset [/mm] B(y,s), was kann man dann über [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] sagen?) |
Hallo!
Diese Aufgabe habe ich für den vollständigen metrischen Raum gelöst. Hier beim Banachraum habe ich einfach Schwierigkeiten. Kann mir jemand helfen?
Danke und lg
dena
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Hallo dena!
Wenn du diese Aufgabe für vollständige metrische Räume bereits gelöst hast, sollte dir der Banachraum eigentlich keine Probleme bereiten: Ein Banachraum ist ja auch ein vollständiger metrische Raum mit der Metrik [mm] $d(x,y)=\|x-y\|$.
[/mm]
Kommst du jetzt mit der Aufgabe zurecht?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 12.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo banachella!
genau das ist ja mein Problem.. ich sehe hier nicht wirklich einen Unterschied.. ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum, den Beweis habe ich für einen vollständigen metrischen Raum, aber ??? Ich sehe es nicht :-(
lg dena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Do 12.04.2007 | | Autor: | dena |
Könntest du mir die Augen öffnen? 
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Do 12.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du den Beweis für vollständige metrische Räume hast, dann verfährst du doch einfach so:
In einem Banachraum (vollständiger metrischer Raum) hast du eine Norm [mm] \parallel \parallel, [/mm] die durch [mm] \parallel x-y\parallel [/mm] eine Metrik induziert. Also ist ein Banachraum ein vollständiger metrischer Raum. Fertig!
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Di 17.04.2007 | | Autor: | dena |
hallo!
nein, ich komme immer noch nicht damit zurecht.. ich stehe auf der Leitung!!!
Der Banachraum ist ein vollständiger NORMIERTER Raum und da die Norm eine Metrik induziert ist er auch ein vollständiger metrischer Raum. das wusste ich bereits. Reicht dieser Schluss aus um zu zeigen, dass
[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ist?
uiuiui.. und danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Mi 18.04.2007 | | Autor: | dena |
oder fehlt noch mehr?
danke!
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Hallo dena,
auch wenn es jetzt schon ein paar mal hier gesagt worden ist:
wenn du weisst, dass eine aussage fuer einen vollstaendigen metrischen raum gilt (so wie die aussage, die in deiner aufgabe zu beweisen ist), so gilt sie automatisch auch fuer banachraeume. Denn banachraeume sind per definitionem vollstaendig bezueglich der durch ihre norm induzierten metrik [mm] $d(x,y)=\|x-y\|$, [/mm] also auch vollstaendige metrische raeume. Wenn du so argumentierst, ist die aufgabe erledigt!
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mi 25.04.2007 | | Autor: | dena |
super! so wollt ich es eigentlich auch machen..
danke, matthias!
lg
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