Banachraum Supremumsnorm < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Raum (C[a,b], [mm] \|\cdot\|_\infty) [/mm] ein Banachraum ist. |
Hallo,
Ich hab Probleme einen vernünftigen Ansatz zu finden. Ein Banachraum zeichnet sich ja dadurch aus, dass in ihm jede Cauchyfolge konvergiert. Bei Wiki steht bei Banachraum ein ähnliches, vielleicht sogar dasselbe Beispiel und dort wird argumentiert, dass es sich um stetige Funktionen handelt und dass diese auf einem kompakten Intervall, wie hier gegeben, beschränkt sind. In einem anderen Thread hier hab ich gelesen, dass man dann noch zeigen muss, dass die Supremumsnorm kleiner als [mm] \infty [/mm] ist. Die meisten Sätze zur Stetigkeit in metrischen Räumen aus unserer Vorlesung beziehen sich auf [mm] \IR, [/mm] ich weiß nicht ob ich die hier verwenden darf.
Also nach 2 Stunden rumsuchen, bin ich letztlich auch nicht viel schlauer, wär nett wenn mir jemand die Vorgehensweise nennen könnte, ich bin mir bei diesen metrischen Räumen und Normen oft noch zu unsicher für einen Ansatz.
Gruß Karsten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass der Raum (C[a,b], [mm]\|\cdot\|_\infty)[/mm] ein
> Banachraum ist.
Ein
> Banachraum zeichnet sich ja dadurch aus, dass in ihm jede
> Cauchyfolge konvergiert.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Genau. Und damit weißt Du (im Prinzip) auch schon, was zu tun ist.
Du hast es hier mit dem C[a,b] zu tun, welcher alle Funktionen enthält, die auf dem Intervall [a,b] stetig sind.
Die Elemente des Raumes sind also gewisse stetige Funktionen.
Und weil das so ist, sind die Folgenglieder der Cauchyfolgen auf [a,b] stetige Funktionen.
Ich würde mir jetzt erstmal aufschreiben, was das bedeutet, also
Sei [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchyfolge in C[a,b]. Das bedeutet ...
> Bei Wiki steht bei Banachraum ein
> ähnliches, vielleicht sogar dasselbe Beispiel und dort wird
> argumentiert, dass es sich um stetige Funktionen handelt
> und dass diese auf einem kompakten Intervall, wie hier
> gegeben, beschränkt sind.
Ja, dieser Satz war in der Vorlesung dran. (Gewiß hast Du Dir gemerkt: stetige Funktionen auf kompakten Intervallen nehmen ihr Minimum und Maximum an. Wenn Du's Dir nicht gemerkt hast, merk's Dir jetzt.)
> In einem anderen Thread hier hab
> ich gelesen, dass man dann noch zeigen muss, dass die
> Supremumsnorm kleiner als [mm]\infty[/mm] ist.
Von was?
> Die meisten Sätze zur
> Stetigkeit in metrischen Räumen aus unserer Vorlesung
> beziehen sich auf [mm]\IR,[/mm] ich weiß nicht ob ich die hier
> verwenden darf.
Ich weiß nicht genau, auf welche Sätze Du abziehlst, aber immerhin ist [a,b] eine Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Du mußt halt die Voraussetzungen der Sätze gut anschauen.
Wichtig ist hier erstmal, daß Du Dir die Definition für die Cauchyfolge für [mm] (f_n) [/mm] und die verwendete Norm aufschreibst.
Fürs weitere mag Nachdenken über punktweise und gleichmäßige Konvergenz hilfreich sein. Was weißt Du denn, wenn eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert?
Nun versuch mal ein bißchen.
Gruß v. Angela
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Vielen dank für die schnelle und ausführliche Hilfe, ich hab mich noch mal rangesetzt und habe versucht deine Anmerkungen einzuarbeiten. Ich hab jetzt auch ne genauere Idee was ich zeigen muss, aber zufrieden bin ich mit meiner Vorgehensweise immer noch nicht, werd mich jetzt aber anderen Aufgaben zuwenden. Hab mich lange genug in den Beweis verbissen. Aber ich hoffe, dass ich ihn dann bei der Lösung in der Übungsgruppe am Montag in 8 Tagen nachvollziehen kann. Hier noch mal mein derzeitiger Lösungsweg.
Sei [mm] (f_n)_n\in\IN [/mm] eine Cauchy-Folge in C[a,b] bzgl. der [mm] \|\cdot\|_\infty, [/mm] dann gilt [mm] \forall \varepsilon > 0\quad \exists\; N\in\IN\quad \forall k,m \ge N : |f_n(x) - f_m(x)| <\varepsilon [/mm]. Für jedes feste [mm] x\in\C[a,b] [/mm] konvergiert die zugehörige Cauchy-Folge [mm] (f_n)_n\in\IN [/mm] punktweise gegen ihren Limes. Der puntkweise Limes existiert, da C[a,b] eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] (oder [mm] \IR^n) [/mm] ist und [mm] \IR [/mm] vollständig ist. Lassen wir [mm] m [/mm] von [mm] f_m [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] laufen, so ergibt sich [mm] |f_n - f| < \varepsilon [/mm]. Dies bedeutet gerade, dass [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert [das hab ich vom matheplanet, da war fast der gleiche Beweis, aber ich hab das Problem damit, das [mm] f_n [/mm] jetzt ja nicht mehr unabhängig von x ist, was ja die Bedingung für gleichmässige Konvergenz ist. Ich weiß aber auch nicht wie ich die gleichmässige Konvergenz zeigen soll] . Nun muss noch gezeigt werden, dass f existiert.
Folgen in C[a,b] sind stetig [kann ich das belegen] . Nach dem Satz von Weierstraß sind reelwertige Funktionen, die auf einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] stetig sind, beschränkt und nehmen ihr Minimum und Maximum an. [mm] f[a,b] \rightarrow \IR [/mm] stetig, so gibt es Stellen [mm] t,h \in [a,b], [/mm], so dass [mm] f(t) \le f(x) \le f(h) \forall x\in\ [a,b] [/mm] gilt. Hieraus folgt, dass f existiert und somit ist C[a,b] ein Banachraum.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der puntkweise Limes existiert, da C[a,b] eine Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] (oder [mm]\IR^n)[/mm] ist und [mm]\IR[/mm] vollständig ist
ist das ein Verschreiber? [mm] $C[a,b]=\{f: [a,b] \to \IR:\;f \text{ ist stetig }\}\,.$ [/mm] Eine Klasse von Funktionen [mm] ($C[a,b]\,$ [/mm] ist die Klasse (notfalls kannst Du auch Menge sagen!) aller Funktionen, die von [mm] $[a,b]\,$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden und zudem stetig sind (auf [mm] $[a,b]\,$)) [/mm] ist sicher sicher keine Teilmenge von [mm] $\IR\,,$ [/mm] auch nicht von [mm] $\IR^n\,;$ [/mm] man kann höchstens sagen:
$$C[a,b] [mm] \subset \IR^{[a,b]}:=\{f: [a,b] \to \IR:\; f \text{ ist Abbildung}\}\,.$$
[/mm]
Bitte Vorsicht!
P.S.:
Dass [mm] $C[a,b]\,$ [/mm] die Klasse aller (auf [mm] $[a,b]\,$) [/mm] stetigen Funktionen sind, die nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden, habe ich jetzt hier mehr oder minder so festgelegt; es kann durchaus auch sein, dass [mm] $C[a,b]\,$ [/mm] eine Klasse auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] stetiger Abbildungen ist, die in einen topologischen Raum (oder metrischen oder normierten Raum) abbilden; evtl. bei Euch auch [mm] $\IK^n$ [/mm] (mit [mm] $\IK=\IR$ [/mm] oder [mm] $\IK=\IC$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen dank für die schnelle und ausführliche Hilfe, ich
> hab mich noch mal rangesetzt und habe versucht deine
> Anmerkungen einzuarbeiten. Ich hab jetzt auch ne genauere
> Idee was ich zeigen muss, aber zufrieden bin ich mit meiner
> Vorgehensweise immer noch nicht, werd mich jetzt aber
> anderen Aufgaben zuwenden. Hab mich lange genug in den
> Beweis verbissen. Aber ich hoffe, dass ich ihn dann bei der
> Lösung in der Übungsgruppe am Montag in 8 Tagen
> nachvollziehen kann. Hier noch mal mein derzeitiger
> Lösungsweg.
>
> Sei [mm](f_n)_n\in\IN[/mm] eine Cauchy-Folge in C[a,b] bzgl. der
> [mm]\|\cdot\|_\infty,[/mm] dann gilt [mm]\forall \varepsilon > 0\quad \exists\; N\in\IN\quad \forall k,m \ge N : |f_n(x) - f_m(x)| <\varepsilon [/mm].
> Für jedes feste [mm]x\in\C[a,b][/mm] konvergiert die zugehörige
> Cauchy-Folge [mm](f_n)_n\in\IN[/mm] punktweise gegen ihren Limes.
> Der puntkweise Limes existiert, da C[a,b] eine Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] (oder [mm]\IR^n)[/mm] ist und [mm]\IR[/mm] vollständig ist. Lassen
> wir [mm]m[/mm] von [mm]f_m[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen, so ergibt sich [mm]|f_n - f| < \varepsilon [/mm].
> Dies bedeutet gerade, dass [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen f
> konvergiert [das hab ich vom matheplanet, da war fast der
> gleiche Beweis, aber ich hab das Problem damit, das [mm]f_n[/mm]
> jetzt ja nicht mehr unabhängig von x ist, was ja die
> Bedingung für gleichmässige Konvergenz ist. Ich weiß aber
> auch nicht wie ich die gleichmässige Konvergenz zeigen
> soll] . Nun muss noch gezeigt werden, dass f existiert.
> Folgen in C[a,b] sind stetig [kann ich das belegen] . Nach
> dem Satz von Weierstraß sind reelwertige Funktionen, die
> auf einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge von
> [mm]\IR^n[/mm] stetig sind, beschränkt und nehmen ihr Minimum und
> Maximum an. [mm]f[a,b] \rightarrow \IR[/mm] stetig, so gibt es
> Stellen [mm]t,h \in [a,b], [/mm], so dass [mm]f(t) \le f(x) \le f(h) \forall x\in\ [a,b][/mm]
> gilt. Hieraus folgt, dass f existiert und somit ist C[a,b]
> ein Banachraum.
irgendwie ist das alles etwas merkwürdig; vll. liegt's auch teilweise nur an Deinen Formulierungen:
Sei [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $(C[a,b],\,\|.\|_\infty)\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $f_n \in [/mm] C[a,b]$ für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] also hier hast Du schonmal, dass jedes [mm] $f_n$ [/mm] stetig ist.
Jetzt gibt es zwei Schritte:
1. Man definiert $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] (wie gesagt: sofern es oben um [mm] $\IR$-wertige [/mm] Funktionen geht) durch
[mm] $$(\star)\;\;\;f(x):=\lim_{n \to \infty} f_n(x)\;\;\;(x \in [a,b])\,.$$
[/mm]
Dazu braucht man natürlich, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} f_n(x)$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ existiert (und wenn er existiert, ist er auch eindeutig, also ist dann [mm] $f\,$ [/mm] auch wirklich eine auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] definierte Funktion). Dazu braucht man ein Argument:
[mm] $(f_n)_n$ [/mm] ist bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] Cauchyfolge. Wegen [mm] $|f_n(x)-f_m(x)| \le \|f_n-f_m\|_\infty$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [a,b]$) erhält man daraus, dass für jedes (beliebige, aber feste) $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ auch die Folge [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}$ [/mm] Cauchyfolge in [mm] $(\IR,\,|.|)$ [/mm] ist. Wegen der Vollständigkeit von [mm] $(\IR,\,|.|)$ [/mm] konvergiert daher - für jedes (beliebige, aber feste) $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ - somit die Folge [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}\,.$ [/mm] Dies zeigt, dass vermittels [mm] $(\star)$ [/mm] wirklich auch etwas sinniges definiert ist, nämlich eine Funktion auf [mm] $[a,b]\,.$ [/mm]
2. Zu zeigen ist nun noch, dass die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (aus 1.)) auch zu [mm] $C[a,b]\,$ [/mm] gehört. Nun ja:
Offenbar konvergiert [mm] $(f_n)_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] (definiert durch [mm] $(\star)$), [/mm] d.h. es gilt [mm] $\|f_n-f\|_\infty \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Dies ist aber gleichbedeutend damit (und impliziert daher insbesondere), dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert. Es gilt aber allgemein (Analysis I oder II):
Wenn eine Folge stetiger Funktionen [mm] $(g_n)_n$ [/mm] glm. gegen eine Funktion [mm] $g\,$ [/mm] konvergiert, dann ist auch [mm] $g\,$ [/mm] stetig.
Oben gilt daher:
Weil alle [mm] $f_n \in [/mm] C[a,b]$ nach Definition von $C[a,b]$ stetig auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] sind und weil die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] (definiert durch [mm] $(\star)$)) [/mm] konvergiert - d.h. m.a.W.: [mm] $f_n \to [/mm] f$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] mit gleichmäßiger Konvergenz - ist somit auch $f [mm] \in C[a,b]\,.$
[/mm]
Das war zu zeigen!
Das ganze kannst Du nun noch vll. etwas schöner mit [mm] $\epsilon$'s [/mm] etc. aufschreiben, damit auch wirklich alles formal sauber da steht, aber hier steht nun eigentlich wirklich der ganze Beweis.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:37 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
> Sei [mm](f_n)_n\in\IN[/mm] eine Cauchy-Folge in C[a,b] bzgl. der
> [mm]\|\cdot\|_\infty,[/mm] dann gilt [mm]\forall \varepsilon > 0\quad \exists\; N\in\IN\quad \forall k,m \ge N : |f_n(x) - f_m(x)| <\varepsilon [/mm].
Die Indizes passen nicht: [mm] $\red{k}$ [/mm] taucht rechterhand nirgends auf, dafür aber [mm] $\blue{n}$.
[/mm]
> Für jedes feste [mm]x\in\C[a,b][/mm] konvergiert die zugehörige
> Cauchy-Folge [mm](f_n)_n\in\IN[/mm] punktweise gegen ihren Limes.
> Der puntkweise Limes existiert, da C[a,b] eine Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] (oder [mm]\IR^n)[/mm] ist und [mm]\IR[/mm] vollständig ist. Lassen
> wir [mm]m[/mm] von [mm]f_m[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen, so ergibt sich [mm]|f_n - f| < \varepsilon [/mm].
Wenn ich mich gerade nicht ganz vertue, sollte da eher am Ende [mm] $\blue{\le} \; \varepsilon$ [/mm] stehen. Aber das reicht ja auch!
> Dies bedeutet gerade, dass [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen f
> konvergiert [das hab ich vom matheplanet, da war fast der
> gleiche Beweis, aber ich hab das Problem damit, das [mm]f_n[/mm]
> jetzt ja nicht mehr unabhängig von x ist, was ja die
> Bedingung für gleichmässige Konvergenz ist. Ich weiß aber
> auch nicht wie ich die gleichmässige Konvergenz zeigen
> soll] .
Das ist doch das Argument:
Wissen: Es existiert [mm] $\lim_{m \to \infty} f_m(x)\,$ [/mm] (siehe die andere Antwort meinerseits). Es gilt zudem
[mm] $$|f_n(x)-f_m(x)| \le \|f_n-f_m\|_\infty [/mm] < [mm] \varepsilon\;\;\;\text{ für alle }x \in [a,b]\,.$$
[/mm]
Daraus folgt (wegen der Stetigkeit des Betrages und "Rechenregeln für Konvergenz")
[mm] $$|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-\lim_{m \to \infty}f_m(x)|=\Big|\lim_{m \to \infty}\big(f_n(x)-f_m(x)\big)\Big|\;\;\blue{=}\;\;\lim_{m \to \infty} \underbrace{|f_n(x)-f_m(x)|}_{\substack{< \varepsilon\\\text{da o.E. }m \ge N\\ \text{angenommen werden darf!}}}\;\, \le\;\, \varepsilon \;\;\text{ für jedes }x \in [/mm] [a,b] [mm] \text{ und jedes }n \ge N\,.$$
[/mm]
Das zeigt die glm. Kgz. von [mm] $(f_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $f\,$ [/mm] (wie in [mm] $(\star)$ [/mm] - aus der anderen Antwort - definiert).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mo 01.06.2009 | | Autor: | schotti |
im wesentlichen geht es ja darum zu zeigen, dass die grenzfunktion von einer (cauchy-)folge stetiger funktionen wiederum stetig ist. das wäre bei nur punktweiser konvergenz ja bekanntlich nicht zwingend der fall; bei gleichmässiger konvergenz auf dem intervall [a,b] hingegen schon. überlege dir, was die supremumsnorm mit gleichmässiger konvergenz zu tun hat...
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