www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - Banachscher Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Banachscher Fixpunktsatz: Korrektur/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Sa 28.04.2018
Autor: Noya


Aufgabe
Zeige: Die Behauptung des Banach’schen Fixpunktsatzes gilt auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass nicht f, aber für ein m [mm] \in \IN [/mm] die m-te Iteration [mm] f^m [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f eine strikte Kontraktion ist.



Hallo ihr Lieben,
zuerst unsere Definitonen aus dem Skript:

Banachscher Fixpunktsatz(aus Skript):
Sei [mm] A\subset [/mm] X eine nichtleere, abgeschlossene Menge eines vollständigen metrischen Raumes (M,d) und sei f : A [mm] \subset [/mm] X [mm] \to [/mm] A eine strikt kontraktive Selbstabbildung. Dann gilt:

(i) Die Gleichung f(x)=x, x [mm] \in [/mm] A hat genau eine Lösung x [mm] \in [/mm] A, d.h. f hat genau einen Fixpunkt in A.
(ii) Die durch [mm] x_0 \in [/mm] A, [mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] f(x_n) [/mm] ,n=0 ,1,2,... definierte Folge [mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen die Lösung x für alle Startwerte [mm] x_0 \in [/mm] A.

Strikt kontraktiv(aus Skript):
Eine Abbildung f : X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen (M1,d1) und (M,d2) heißt kontrahierend oder strikt-kontraktiv, wenn es ein k [mm] \in [/mm] ]0,1[ gibt, so dass für alle [mm] x_1,x_2 \in M_1 [/mm]
[mm] d_2(f(x_1),f(x_2) \le k*d_1(x_1,x_2). [/mm] Die Zahl k heißt auch ein Kontraktionsmodul von f.



Der Beweis des BFS läuft ja eigentlich in drei Schritten. Man zeigt, dass [mm] f(x_n)=x_{n+1} [/mm] einen Grenzwert besitzt, dann dass dieser ein Fixpunkt der Kontraktion ist und dann, dass der Fixpunkt eindeutig ist.

so. Hier in meinem fall brauch f keine Kontraktion sein, aber [mm] f^{m}=f \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f soll Kontraktion sein.

Meine Idee :
Nach BFS hat [mm] f^{m} [/mm] genau einen Fixpunkt : Es gibt also genau ein [mm] x\in [/mm] M mit [mm] f^{m}(x)=x. [/mm]
wende nun auf beiden Seiten f an :
f [mm] \circ f^{m}(x)= [/mm] f(x) [mm] \gdw f^{m}(f(x))=f(x) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) auch Fixpunkt von [mm] f^{m}(x). [/mm]
Da fixpunkt aber eindeutig [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=x
[mm] \Rightarrow [/mm] jeder Fixpunkt von f auch Fixpunkt von [mm] f^{m}, [/mm] also hat f genau einen Fixpunkt

Ist das soweit richtig?
jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm] x_0 \in [/mm] M und [mm] x_n+1 =f(x_n) [/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da bin ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm] f^{m} [/mm] anwenden. also ein [mm] y_0 \in [/mm] M und [mm] y_{n+1}=f^{m}(y_n) [/mm] was auch gegen den Fixpunkt x konvergieren muss. Aber an der Stelle weiß ich leider nicht mehr weiter und hätte gerne einen Tipp.


Liebe grüße und vielen Dank
Noya


        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Idee :
> Nach BFS hat [mm]f^{m}[/mm] genau einen Fixpunkt : Es gibt also
> genau ein [mm]x\in[/mm] M mit [mm]f^{m}(x)=x.[/mm]
>  wende nun auf beiden Seiten f an :
>  f [mm]\circ f^{m}(x)=[/mm] f(x) [mm]\gdw f^{m}(f(x))=f(x)[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> f(x) auch Fixpunkt von [mm]f^{m}(x).[/mm]
>  Da fixpunkt aber eindeutig [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=x
>  [mm]\Rightarrow[/mm] jeder Fixpunkt von f auch Fixpunkt von [mm]f^{m},[/mm]
> also hat f genau einen Fixpunkt

[ok]

> Ist das soweit richtig?
>  jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm]x_0 \in[/mm] M und
> [mm]x_{n+1} =f(x_n)[/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da bin
> ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm]f^{m}[/mm]
> anwenden.

Wie habt ihr das denn gezeigt für den Fall, dass $f$ bereits eine Kontraktion ist?
Schreib den Beweis hier mal auf, den kann man minimal modifizieren um das dann auch unter den gegebenen Umständen zu zeigen.

edit: Das sollte in etwa so ablaufen (was auch hier funktioniert):
Zeige zuerst, dass [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist. Da wir einen vollständigen Raum haben, konvergiert die Folge. Da wir den Grenzwert einer Teilfolge von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] bereits kennen, konvergiert die gesamte Folge gegen diesen Grenzwert.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 So 29.04.2018
Autor: Noya


> > Ist das soweit richtig?
>  >  jetzt muss ich noch zeigen, dass die durch [mm]x_0 \in[/mm] M
> und
> > [mm]x_{n+1} =f(x_n)[/mm] def. Folge gegen Fixpunkt konvergiert. Da
> bin
> > ich gerade etwas ratlos. Spontan würde ich BFS auf [mm]f^{m}[/mm]
> > anwenden.

> Wie habt ihr das denn gezeigt für den Fall, dass [mm]f[/mm] bereits
> eine Kontraktion ist?
>   Schreib den Beweis hier mal auf, den kann man minimal
> modifizieren um das dann auch unter den gegebenen
> Umständen zu zeigen.

> edit: Das sollte in etwa so ablaufen (was auch hier
> funktioniert):
>  Zeige zuerst, dass [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
> Da wir einen vollständigen Raum haben, konvergiert die
> Folge. Da wir den Grenzwert einer Teilfolge von
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] bereits kennen, konvergiert die gesamte
> Folge gegen diesen Grenzwert.

Cauchyfolgen-Kriterium: Sei [mm] (x_k)_k \in \IN [/mm] eine Folge im metrischen Raum (M,d). Setze [mm] a_k [/mm] := [mm] d(x_k,x_{k+1}). [/mm] Ist [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] konvergent so ist [mm] (a_k)_k [/mm] eine Cauchyfolge.

so unser Beweis des BFS läuft wie folgt:
1. Eindeutigkeit : also angenommen 2 Lösungen x,y, ... , dann muss x=y sein.
2.Existenz:
Seien also [mm] x_0 \in [/mm] A und [mm] (x_n)_n [/mm] definiert wie im Satz. Wir werden zeigen, dass [mm] (x_n)_n \in \IN [/mm] eine Cauchyfolge ist. Zunächst ist [mm] d(x_n,x_{n+1})\le kd(x_{n-1},x_n) \le k^2 d(x_{n-2},x_{n-1})\le...\le k^n d(x_0,x_1). [/mm]
Wegen k [mm] \in [/mm] ]0,1[ konvergiert die Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty} k^n d(x_0,x_1) [/mm] und nach dem Cauchykriterium ist [mm] (x_n)_n [/mm] eine Cauchyfolge.
Da X vollständig und M abgeschlossen ist, ist M auch vollständig. Daher konvergiert die Folge [mm] (x_n)_n [/mm] gegen ein [mm] x^{\*} \in [/mm] M.
Es bleibt zu zeigen, dass [mm] x^{\*} [/mm] ein Fixpunkt von f ist.
Aber nun gilt für alle n [mm] d(f(x^{\*}),x^{\*})\le d(f(x^{\*}),x_{n+1})+d(x_{n+1},x^{\*})=d(f(x^{\*}),f(x_n))+d(x_{n+1},x^{\*}) \le kd(x^{\*},x_n) +d(x_{n+1},x^{\*}). [/mm] Es folgt schließlich [mm] d(f(x^{\*}),x^{\*}) [/mm] = 0, also [mm] f(x^{\*})=x^{\*}. [/mm]



so also nehme ich mir jetzt ein [mm] y_0 \in [/mm] M und [mm] y_{n+1}=f^{m}(y_n) [/mm] und wende darauf den BFS an. also konv. [mm] (y_n)_n [/mm] gegen den Fixpunkt x=f(x).

Ich möchte jetzt, dass irgendwie [mm] y_n [/mm] (oder ähnliches) Teilfolge von [mm] x_n [/mm] ist. aber wie kann ich mir so ein [mm] y_n [/mm] definieren?

Bezug
                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wir werden zeigen, dass [mm](x_n)_n \in \IN[/mm] eine Cauchyfolge
> ist. Zunächst ist [mm]d(x_n,x_{n+1})\le kd(x_{n-1},x_n) \le k^2 d(x_{n-2},x_{n-1})\le...\le k^n d(x_0,x_1).[/mm]

Die Art abzuschätzen merken wir uns mal.

>
> so also nehme ich mir jetzt ein [mm]y_0 \in[/mm] M und
> [mm]y_{n+1}=f^{m}(y_n)[/mm] und wende darauf den BFS an. also konv.
> [mm](y_n)_n[/mm] gegen den Fixpunkt x=f(x).

[ok]

> Ich möchte jetzt, dass irgendwie [mm]y_n[/mm] (oder ähnliches)
> Teilfolge von [mm]x_n[/mm] ist. aber wie kann ich mir so ein [mm]y_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

definieren?

Also wir definieren $x_{n+1} :=  f(x_n)$ mit einem Startwert $x_0$.
Dann hast du bereits gezeigt, dass die Folge $(y_n)_{n \in \IN}$ definiert über $y_{n+1} = f^m(y_n)$ mit $y_0 = x_0$ konvergiert und $(y_n)_{n \in \IN}$ ist eine Teilfolge von $(x_n)_{n \in \IN}$ und konvergiert gegen den Fixpunkt. (ist dir das klar?)

Bleibt also zu zeigen: $(x_n)_{n \in \IN}$ ist eine Cauchy-Folge.

Zeige dafür:
$d(x_{n+1}, x_n) \le k^{\lfloor\frac{n}{m}\rfloor} d\left(x_{n+1 \text{ mod } m}},x_{n \text{ mod } m}}\right)$

Das sieht nun zwar uuuunglaublich kompliziert aus, ist es aber eigentlich gar nicht, wenn man verstanden hat, wieso das rauskommt.

Nimm dafür mal testweise an: m=5 und n=33 und zeige

$d(x_{34},x_{33}) = k^6 d(x_4,x_3)$

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 So 29.04.2018
Autor: Noya


> Bleibt also zu zeigen: [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] ist eine
> Cauchy-Folge.
>  
> Zeige dafür:
>  [mm]d(x_{n+1}, x_n) \le k^{\lfloor\frac{n}{m}\rfloor} d\left(x_{n+1 \text{ mod } m}},x_{n \text{ mod } m}}\right)[/mm]

Wie zum teufel kommst du denn da drauf? Das musst du mir bitte erklären.

> Das sieht nun zwar uuuunglaublich kompliziert aus, ist es
> aber eigentlich gar nicht, wenn man verstanden hat, wieso
> das rauskommt.

ich habe mir jetzt unabhängig von deiner Idee was anderes überlegt. Und zwar:

setze ich :
[mm] y^{l}_0 [/mm] = [mm] x_l [/mm] für l [mm] \in \{0,...,m-1\} [/mm]
Nun:
[mm] y^{l}_0 [/mm] = [mm] x_l [/mm]
[mm] y^{l}_1 [/mm] = [mm] f^{m}(y^{l}_0)=f^{m}(x_l)=f(x_l) \circ f^{m-1} =f^{m-1}(f(x_l))=f^{m-1}(x_{l+1})=f(x_{l+1}) \circ f^{m-2} =f^{m-2}(f(x_{l+2}))=f^{m-2}(x_{l+2})=...=x_{l+m} [/mm]
...
usw...
[mm] y^{l}_{n}=x_{nm+l} [/mm]

Daher ist  [mm] y_n^{l} [/mm] eine Teilfolge von [mm] x_n [/mm] und jedes [mm] x_n [/mm] ist in einer der Teilfolgen [mm] y_n^{l} [/mm] enthalten und weil diese ja nach Voraussetzung gegen den Fixpunkt x konv. Rightarrow [mm] x_n [/mm] konv. gegen x.



Bezug
                                        
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 29.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
>  
> ich habe mir jetzt unabhängig von deiner Idee was anderes
> überlegt. Und zwar:

So unabhängig ist das gar nicht.

>  usw...
>  [mm]y^{l}_{n}=x_{nm+l}[/mm]
>  
> Daher ist  [mm]y_n^{l}[/mm] eine Teilfolge von [mm]x_n[/mm] und jedes [mm]x_n[/mm] ist
> in einer der Teilfolgen [mm]y_n^{l}[/mm] enthalten und weil diese ja
> nach Voraussetzung gegen den Fixpunkt x konv. Rightarrow
> [mm]x_n[/mm] konv. gegen x.

[ok]

Und wenn du das jetzt mit der "mod"-Notation aufschreibst, kommt das obige raus, was ich hingeschrieben hab. :-)

Um deins mal in anderen Worten auszudrücken:

[mm] $y_l$ [/mm] ist dein Startwert für jedes Folgenglied [mm] $x_k$, [/mm] wobei $k= l [mm] \text{ mod } [/mm] m$ gilt :-)

aber $k = l [mm] \text{ mod } [/mm] m$ bedeutet nix anderes als $l = nm + l$ für geeignetes m… das meinte ich mit "Die Notation sieht kompliziert aus, ist es aber gar nicht"

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Banachscher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Mo 30.04.2018
Autor: Noya

Vielen lieben Dank! :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 1h 38m 4. Gonozal_IX
UAnaR1Funk/L Beweis ohne Logarithmusdef.
Status vor 2h 03m 5. Siebenstein
UElek/Leitungsumrechnung
Status vor 4h 06m 1. Kian
USons/Punktwolken vergleichen?
Status vor 5h 16m 2. Diophant
ZahlTheo/Diophantische Gleichung 3 Var
Status vor 6h 33m 7. Annkristin
IntTheo/mehrdim. part. Int., Doppelint
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de