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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:24 Mi 26.11.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Wir betrachten die folgenden Funktionen [mm] f_i [/mm] definiert auf [mm] D_i:#
[/mm]
[mm] f_1:[0,\infty)\to\IR, f_1(x)=x+e^{-x}
[/mm]
[mm] f_2:[0,1]\to\IR, f_2(x)=\bruch{1}{4}x^2+1
[/mm]
[mm] f_3:(z\in\IC;\parallel z\parallel \le [/mm] 1) [mm] \to \IC, f_3(z)=\bruch{1}{2}(z^2+i)
[/mm]
[mm] f_4:C([0,1])\toC([0,1]), (f_4(x))(t)=\bruch{1}{2}x(t^2)+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f_5:C([0,1])\toC([0,1]), (f_5(x))(t)=x(t^2)
[/mm]
Dabei sei [mm] \IR [/mm] mit dem Betrag als Norm [mm] ,\IC [/mm] mit dem komplexen Betrag und C([0,1]) mit der [mm] \parallel.\parallel_{\infty}-Norm [/mm] versehen. Beantworten Sie mit Beweis jeweils folgende Fragen:
1. Gilt [mm] \parallel f_i(x)-f_i(y)\parallel<\parallel x-y\parallel [/mm] für alle [mm] x,y\in D_i [/mm] mit [mm] x\not=y?
[/mm]
2. Gibt es ein [mm] L\in(0,1), [/mm] so dass [mm] \parallel f_i(x)-f_i(y)\parallel \le L\parallel x-y\parallel [/mm] gilt für alle x,y [mm] \in D_i?
[/mm]
3. Ist der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar?
4.Wie viele Fixpunkte hat [mm] f_i? [/mm] |
Für die erste Frage habe ich [mm] f_1,f_2 [/mm] und [mm] f_4. [/mm] Für die habe ich es auch gezeigt. Mein Problem liegt da bei den Gegenbeispielen für [mm] f_3, f_5
[/mm]
Für die zweite Frage habe ich ein Problem. Wenn die Ableitung beschränkt ist, dann ist ihr supremum dieses L, wenn jetzt die Ableitung nicht innerhalb (0,1) liegt oder nicht beschränkt ist reicht dass dann als Gegenbeweis?
Ich habe hier dass es für [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] gilt.
Für die dritte Frage muss man gucken ob jede Cauchy-Folge konvergiert,oder, damit es ein Banachraum ist aber ich denke das kann man einfach so sagen, ohne Beweis, dann braucht man, dass es eine Kontraktion ist aber dafür haben wir ja schon Teil 2, wenn der stimmt dann gilt das ganze ja schon und wenn nciht dann nicht und dann muss das Bild noch im Urbild liegen.
Die vierte Frage ist wohl mit dem Banachschen Fixpunktsatz dann zu beantworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 28.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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