Banchscher Fixpunktsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
ich weiß nicht genau wie ich bei
[mm]f(x)= \bruch{1}{2} * arctanx + \bruch{1}{4}x + 1[/mm]
zeige, dass f einen eindeutigen fixpunkt hat.
Ich würde wahrscheinlich versuchen zu zeigen das es zwei fixpunkte geben müsste; mit zum beispiel x[mm] \not= [/mm]y. Und stelle dann irgendwie wohl fest das [mm] x=y [/mm] und [mm] f(x)=f(y) [/mm].
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Hallo Milan,
die Aufgabe ist eine Anwendung vom Banachschen Fixpunktsatz. Wir versuchen, die Voraussetzungen von diesem zu beweisen, d.h. wir suchen [mm]k < 1 \forall x,y \in \IR: |f(x)-f(y)| \le k*|x-y|[/mm]. Also los:
Seien [mm]x,y \in \IR[/mm](o.B.d.A. sei [mm]x < y[/mm], sonst vertauschen).
[mm]|f(x)-f(y)| = |1/2*\arctan(x) +1/4*x - 1/2*\arctan(y) - 1/4*y|=1/4*|2*(\arctan(x)-\arctan(y))+x-y|[/mm]
Es folgt [mm]\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=1/4*|\bruch{2*(\arctan(x)-\arctan(y))}{x-y}+1|[/mm] Das ist aber (Dreiecksungleichung) [mm]\le 1/2*|\bruch{\arctan(x)-\arctan(y)}{x-y}|+1/4[/mm] Jetzt kommt 1. Mittelwertsatz Diff'rechnung: es gibt ein [mm]c \in ]x,y[ [/mm] mit [mm]\bruch{\arctan(x)-\arctan(y)}{x-y}=\arctan'(c)=\bruch{1}{1+c^2}[/mm] Also geht es in der Rechnung weiter:
[mm]=1/2*|\bruch{1}{1+c^2}|+1/4 \le 1/2+1/4 = 3/4 := k[/mm], da der Bruch immer kleiner 1 ist . Wir haben also ein entsprechendes k gefunden, sodass Banachscher Fixpunktsatz anwendbar ist, er liefert genau einen Fixpunkt.
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> die Aufgabe ist eine Anwendung vom Banachschen
> Fixpunktsatz. Wir versuchen, die Voraussetzungen von diesem
> zu beweisen, d.h. wir suchen [mm]k < 1 \forall x,y \in \IR: |f(x)-f(y)| \le k*|x-y|[/mm].
Dein Vorgehen ist zwar prinzipiell richtig (hab jetzt nicht alles überprüft), aber es geht halt einfach leichter mit dem Schrankensatz bzw. einfach den MWS anwednen: die Ableitung von f ist [m]f'(x)=\bruch{1}{2} \bruch{1}{1+x^2}+\bruch{1}{4}<1[/m], also sind die Vorraussetzungen des Fixpunktsatzes schon erfüllt -das erspart einem einen umständliche Rechnung.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Fusioner |
Danke euch!
Hallo SEcki,
es reicht also generell zur Überprüfung der Existenz eines eindeutigen Fixpunktes die erste Ableitung zu bilden und zu schauen ob sie kleiner 1 ist. und größer 0
Wegen [mm]0 \le c < 1[/mm] nach defi. mit Fixpunkt c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 23.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> es reicht also generell zur Überprüfung der Existenz eines
> eindeutigen Fixpunktes die erste Ableitung zu bilden und zu
> schauen ob sie kleiner 1 ist. und größer 0
> Wegen [mm]0 \le c < 1[/mm] nach defi. mit Fixpunkt c
Es ist in einem banachraum (wo der Banachsche Fixpunktsatz gilt) hinreichend zu testen, ob die Ableitung vom Betrag her kleiner 1 ist - dann sind nämlich die Vorraussetzungen vom Fixpunktsatz erfüllt, dass es nämlich eine Kontraktion ist: [m]|f(x)-f(y)|\le ||f'||*|x-y|[/m], wobei [m]||f'||[/m] das Supremum (Maximum) über den Betrag aller Ableitungen ist. Diese Formel ist der Schrankensatz - der gilt in knovexen, offenen Urbildern, das hier ja gegeben ist.
SEcki
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Hallo SEcki,
jepp, so gehts direkt. Im Endeffekt hab ich ja das gleiche gemacht (Diff'quotient vereinfacht), nur ein bisschen "ausführlicher"... Schrankensatz sagt mir aber leider nix.
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Sa 24.09.2005 | | Autor: | mickrau133 |
Der Schrankensatz ist eine direkte Folgerung aus dem Mittelwertsatz. Man erhält ihn, indem man [mm] $f'(\xi)$ [/mm] durch die Supremumsnorm von $f'$ ersetzt, [mm] $|f(x+h)-f(x)|\leq \|f'\|_\infty \|h\|$.
[/mm]
Wenn man den Mittelwertsatz auf Vektorwertige Funktionen erweitert, dann ist es sinnvoll ihn in der Form des Schrankensatzes zu schreiben, d.h. [mm] $|f(x+h)-f(x)|\leq [/mm] S [mm] \|h\|$. [/mm] In diesem Fall sei [mm] $S_i$ [/mm] eine obere Schranke der Norm des Gradienten der i-ten Komponentenfunktion [mm] $f_i$ [/mm] von $f$:
[mm] $S_i \geq \| \mbox{grad} f_i(x+th)\|$, [/mm] für alle $0<t<1$. $S$ ist dann das Supremum der [mm] $S_i\, [/mm] $, bzw. die Summe der [mm] $S_i$.
[/mm]
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