Banditen Problem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 04.10.2009 | | Autor: | blubb_ |
| Aufgabe | Eine Gruppe von n Banditen versteckt sich in den n Häusern einer Geisterstadt.
Jeder Bandit wählt unabhängig von den anderen eines der Häuser als Versteck,wobei jedes Haus mit derselben Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Dabei kann es vorkommen, dass mehrere Banditen dasselbe Haus als Versteck wählen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in mindestens einem Haus kein Bandit verbirgt? |
Jeder Bandit hat ja n Möglichkeitenein Haus zu wählen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit der Wahl eines hauses für einen Banditen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] . Also ist die Wkt, dass dieses Haus leer bleibt [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] . Wählt nun ein weiterer Bandit dieses Haus beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Haus leer bleibt [mm] 1-2*\bruch{1}{n} [/mm] usw.
Für n weitere Banditen bedeutet das: Die Wkt dass das Haus leer bleibt ist [mm] 1-n*\bruch{1}{n} [/mm]
Aber dadurch steigt ja auch die Wkt, dass andere Häuser leer bleiben und zwar genau um [mm] +\bruch{1}{n} [/mm] für jeden, der das erste Haus wählt.
Mir ist jedoch nicht klar, wie ich das beweisen soll. Eigentlich is es ja ein Experiment ungeordnet ohne Zurücklegen. Das würde ja bedeuten, es gibt [mm] \vektor{n+k-1 \\ k}=\vektor{2n-1 \\ n} [/mm] (da n (Banditen)= k (Häuser) Möglichkeiten. Wie komm ich jetz aber von da auf die Wkt?
Ist mein Grundraum die Menge der Häuser oder der Banditen?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen
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Ich würde folgendermaßen vorgehen:
Mal angenommen, es gäbe 4 Banditen und 4 Häuser (also n=4).
Dann kann sich der erste Bandit sein Haus aussuchen.
Wahrscheinlichkeit also [mm] \bruch{4}{4}.
[/mm]
Der zweite Bandit hat noch 3 Häuser zur Auswahl.
Wahrscheinlichkeit also [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
Dem dritten Banditen bleiben noch 2 Häuser.
Wahrscheinlichkeit also [mm] \bruch{2}{4}.
[/mm]
Und dass der vierte Bandit das letzte freie Haus erwischt, hat eine Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Da alle vier obigen Ereignisse eintreten müssen (Und-Wahrscheinlichkeit), ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass alle 4 Häuser besetzt sind: [mm] \bruch{4}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{2}{4}*\bruch{1}{4}
[/mm]
Oder [mm] \bruch{1*2*3*4}{4*4*4*4} [/mm] oder [mm] \bruch{4!}{4^{4}}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Haus nicht besetzt ist,
ist also [mm] 1-\bruch{4!}{4^{4}}
[/mm]
So - und nun rück-ersetze die 4 wieder durch dein n:
Dann ist das [mm] 1-\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:16 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich würde folgendermaßen vorgehen:
>
> Mal angenommen, es gäbe 4 Banditen und 4 Häuser (also
> n=4).
>
> Dann kann sich der erste Bandit sein Haus aussuchen.
> Wahrscheinlichkeit also [mm]\bruch{4}{4}.[/mm]
>
> Der zweite Bandit hat noch 3 Häuser zur Auswahl.
Wieso hat der zweite Bandit nur noch drei Haeuser zur Auswahl? Er kann sich doch auch im gleichen Haus verstecken, in dem auch schon der erste Bandit steckt.
LG Felix
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> Hallo!
>
> > Ich würde folgendermaßen vorgehen:
> >
> > Mal angenommen, es gäbe 4 Banditen und 4 Häuser (also
> > n=4).
> >
> > Dann kann sich der erste Bandit sein Haus aussuchen.
> > Wahrscheinlichkeit also [mm]\bruch{4}{4}.[/mm]
> >
> > Der zweite Bandit hat noch 3 Häuser zur Auswahl.
>
> Wieso hat der zweite Bandit nur noch drei Haeuser zur
> Auswahl? Er kann sich doch auch im gleichen Haus
> verstecken, in dem auch schon der erste Bandit steckt.
>
> LG Felix
Hallo Felix,
rabilein berechnet zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit,
also die W'keit dafür, dass kein Haus leer bleibt.
Am Schluss rechnet er
P(mindestens ein Haus leer)=1-P(kein Haus leer)
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> rabilein berechnet zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit,
aaaah, da hab ich nicht genau Zuende gelesen...
> also die W'keit dafür, dass kein Haus leer bleibt.
Ja, jetzt wo ich es nochmal anschaue, ist es auch klar :)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine Gruppe von n Banditen versteckt sich in den n Häusern
> einer Geisterstadt.
> Jeder Bandit wählt unabhängig von den anderen eines der
> Häuser als Versteck,wobei jedes Haus mit derselben
> Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Dabei kann es vorkommen,
> dass mehrere Banditen dasselbe Haus als Versteck wählen.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in
> mindestens einem Haus kein Bandit verbirgt?
>
> Jeder Bandit hat ja n Möglichkeitenein Haus zu wählen.
> Damit ist die Wahrscheinlichkeit der Wahl eines hauses für
> einen Banditen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] . Also ist die Wkt, dass dieses
> Haus leer bleibt [mm]1-\bruch{1}{n}[/mm] .
Fuer ein spezielles Haus. Dich interessiert allerdings kein spezielles Haus, sondern ob ueberhaupt irgendein Haus leerbleibt, nachdem man alle Banditen verteilt hat.
> Ist mein Grundraum die Menge der Häuser oder der
> Banditen?
Der Grundraum ist die Menge der Zuteilungen von Banditen auf Haeuser.
Anders gesagt: der Grundraum ist die Menge der Funktionen $B [mm] \to [/mm] H$, wobei $B$ die Menge der Banditen und $H$ die Menge der Haeuser ist.
Nun ist $|H| = |B| = n$.
Umformuliert bist du daran interessiert, alle nicht surjektiven Abbildungen $B [mm] \to [/mm] H$ zu zaehlen.
Da $|H| = |B| = n < [mm] \infty$ [/mm] ist, ist eine Abbildung $B [mm] \to [/mm] H$ genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist. Wieviele (nicht-)bijektive Abbildungen gibt es zwischen zwei gleichmaechtigen endlichen Mengen mit $n$ Elementen? Wieviele Abbildungen gibt es ueberhaupt zwischen zwei gleichmaechtigen endlichen Mengen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Mo 05.10.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Umformuliert bist du daran interessiert, alle nicht
> surjektiven Abbildungen [mm]B \to H[/mm] zu zaehlen.
> Da [mm]|H| = |B| = n < \infty[/mm] ist, ist eine Abbildung [mm]B \to H[/mm]
> genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist...
Ich verstehe hier nur "Bahnhof" in Anbetracht der Aufgabe mit den Banditen und den Häusern.
Hätte man Amundsen nach dem Weg von München nach Hamburg gefragt, dann hätte er wahrscheinlich die Route über den Südpol vorgeschlagen.
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> Hätte man Amundsen nach dem Weg von München nach Hamburg
> gefragt, dann hätte er wahrscheinlich die Route über den
> Südpol vorgeschlagen.
... also genau so, wie der Dachdecker, der übers Dach
klettert, wenn er hinter das Haus will ... 
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Umformuliert bist du daran interessiert, alle nicht
> > surjektiven Abbildungen [mm]B \to H[/mm] zu zaehlen.
> > Da [mm]|H| = |B| = n < \infty[/mm] ist, ist eine Abbildung [mm]B \to H[/mm]
> > genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist...
>
> Ich verstehe hier nur "Bahnhof" in Anbetracht der Aufgabe
> mit den Banditen und den Häusern.
Nun, ich finde das ziemlich offensichtlich: Zuordnungen von Banditen auf Haeuser sind genau Abbildungen von der Menge der Banditen auf die Menge der Haeuser. Was anderes soll eine Abbildung auch sonst sein?
Und da blubb_ nach eigenen Angaben Mathematik studiert, sollte sie eine solche Formalisierung ruhig auch mal zu Gesicht bekommen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 05.10.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Zuordnungen von Banditen auf Haeuser sind genau
> Abbildungen von der Menge der Banditen auf die Menge
> der Haeuser.
> Was anderes soll eine Abbildung auch sonst sein?
>
> Und da blubb_ nach eigenen Angaben Mathematik studiert,
> sollte sie eine solche Formalisierung ruhig auch mal zu
> Gesicht bekommen.
Wenn diese Aussage blubb_ wirklich weiterhilft - was ich nicht beurteilen kann -, dann ist das ja auch okay.
Die Frage lautete jedoch: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in mindestens einem Haus kein Bandit verbirgt?"
Und da hatte ich meine Zweifel, ob man zur Beantwortung dieser Frage formalisierende Ausdrücke wie surjektiv und bijektiv braucht - zumal ich das Ergebnis auf die Frage bereits genannt hatte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Frage lautete jedoch: "Wie hoch ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass sich in mindestens einem Haus kein
> Bandit verbirgt?"
> Und da hatte ich meine Zweifel, ob man zur Beantwortung
> dieser Frage formalisierende Ausdrücke wie surjektiv und
> bijektiv braucht
Brauchen tut man sie nicht.
Allerdings hat blubb_ auch nach dem Grundraum gefragt -- und das sind die Zuordnungen von Banditen auf Haeusern. Wenn man das richtig (also mathematisch) beschreiben will, landet man bei Funktionen. Und dann macht es auch Sinn, sich zu ueberlegen, ob die Menge, die man untersuchen will (die Zuordnungen, wo mindestens ein Haus freibleibt), nicht durch Begriffe, die man eh schon (bei Funktionen) kennt, zu beschreiben (naemlich die Funktionen, die nicht surjektiv sind).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Di 06.10.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Hallo Felix
Ich habe nie Mathematik studiert. Und im MatheRaum ist mir noch einmal bewusst geworden, warum: Weil einfache Dinge verkompliziert werden (so ist jedenfalls mein Eindruck).
Ich dagegen versuche immer (ganz unmathematisch), komplizierte Dinge zu vereinfachen [mm] \Rightarrow [/mm] so dass dann mathematisch weniger begabte Schüler schon oft zu mir gesagt haben: "Bei dir ist Mathe so einfach und da macht es auch Spaß"
Alternativ könnte man denen natürlich auch sagen: Wenn es genau so viele Häuser wie Banditen gibt und jeder Bandit sein eigenes Haus hat und jedes Haus seinen eigenen Banditen beherbergt, dann nennt man das Ganze ... (jetzt folgt surjektiv oder subjektiv oder bijektiv oder objektiv oder konjunktiv oder alternativ eine Kombination aus allem).
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> Hallo Felix
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> Ich habe nie Mathematik studiert. Und im MatheRaum ist mir
> noch einmal bewusst geworden, warum: Weil einfache Dinge
> verkompliziert werden (so ist jedenfalls mein Eindruck).
>
> Ich dagegen versuche immer (ganz unmathematisch),
> komplizierte Dinge zu vereinfachen [mm]\Rightarrow[/mm] so dass dann
> mathematisch weniger begabte Schüler schon oft zu mir
> gesagt haben: "Bei dir ist Mathe so einfach und da macht es
> auch Spaß"
>
> Alternativ könnte man denen natürlich auch sagen: Wenn es
> genau so viele Häuser wie Banditen gibt und jeder Bandit
> sein eigenes Haus hat und jedes Haus seinen eigenen
> Banditen beherbergt, dann nennt man das Ganze ... (jetzt
> folgt surjektiv oder subjektiv oder bijektiv oder objektiv
> oder konjunktiv oder alternativ eine Kombination aus
> allem).
Hallo rabilein,
ich gratuliere dir zu deiner Einstellung, die auf gesundem
Menschenverstand basiert und darauf ausgerichtet ist, lieber
kompliziert scheinende Sachverhalte in einfachen Worten
auszudrücken als einfache Dinge in einen Formalismus zu
zwängen, der dann oft komplizierter als nötig erscheint.
Ich weiss von manchen Beispielen, dass du auch ein Talent
hast, mathematisch relevante Fragen an prägnanten Bei-
spielaufgaben aufs Tapet zu bringen. Damit hast du schon
viele interessante Diskussionen angestoßen.
Da dieses Forum aber wenigstens zum Teil auch Studenten
dient, die sich allmählich in die "höheren Gefilde" der
Mathematik einleben wollen (oder müssen), ist auch ein
gewisses Verständnis für die formaleren Methoden gefordert,
die dann unabdingbar werden, wenn man in Bereiche der
Mathematik vorstößt, die wegen ihrer Komplexität oder z.B.
wegen der benötigten höherdimensionalen Geometrie der
unmittelbaren Anschaulichkeit nicht mehr zugänglich sind.
Um sich in das dazu nötige Denken einzuleben, ist eine
Phase nötig, in welcher auch gewisse vorher als "elementar
offensichtlich" gesehene Zusammenhänge in einem neuen
Kleid erscheinen. Das mag hie und da etwas aufgesetzt und
überflüssig erscheinen, ist aber wohl eine notwendige Phase
eines Lernprozesses. Vielleicht ist diese Phase wichtiger als
manche denken. Wer sich nämlich nachher nur noch in der
Sphäre der abstrakteren, sogenannt höheren Mathematik
bewegt und sich von diesem Link, dieser Brücke zu den
anschaulich und mit "gesundem Menschenverstand" begreif-
baren Inhalten verabschiedet, lebt dann eben wirklich in
einer "anderen Welt" und sollte sich nicht wundern, wenn
ihn andere Menschen vielleicht für "unheimlich gescheit"
halten, aber weit davon entfernt sind, ihn als irgendwie
nützliches Vorbild im Leben zu sehen.
Lieben Gruß !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Di 06.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo rabilein,
Al hat ja schon geantwortet, aber ich moechte dem auch noch etwas hinzufuegen
> Ich habe nie Mathematik studiert. Und im MatheRaum ist mir
> noch einmal bewusst geworden, warum: Weil einfache Dinge
> verkompliziert werden (so ist jedenfalls mein Eindruck).
Das ist teilweise sicher der Fall. Teilweise ist das auch voellig unnoetig. Manchmal eben aber auch nicht, und manchmal ist es eben auch lehrreich, um zu verstehen, wie gewisse abstraktere Dinge funktionieren.
Im vorliegenden Fall scheint blubb_ sich mit Stochastik auseinanderzusetzen. Dort betrachtet man Wahrscheinlichkeitsraeume ganz abstrakt, also mit Grundraum [mm] $\Omega$, [/mm] einer [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ [/mm] darauf und ein Wahrscheinlichkeitsmass $P : [mm] \mathcal{A} \to \IR_{\ge 0}$.
[/mm]
Natuerlich braucht man diesen ganzen Formalismus nicht, um diese Aufgabe zu loesen. Allerdings: man braucht ihn sehr wohl, um viel kompliziertere Probleme anzugehen, etwa um geometrische Brownsche Bewegungen (oder allgemeiner: Levy-Prozesse) zu untersuchen, die z.B. in der stochastischen Finanzmathematik eine wichtige Rolle spielen (blubb_ hat als Studienfach Wirtschaftsmathematik angegeben). Jedoch: wie soll man die Formalismen ploetzlich in einem sehr komplizierten Umfeld anwenden koennen (geometrische Brownsche Bewegungen sind alles andere als einfach, insbesondere wenn man sie richtig konstruieren moechte oder weitergehende Aussagen ueber sie treffen moechte), wenn man nichtmals die Formalismen im Kleinen verstanden hat?
Deswegen muss man sich auch bei so einfachen Aufgaben ueberlegen, wie diese in den allgemeinen formalen Rahmen (mit Grundraum, [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] W'keitmass) hineinpassen. blubb_ hat in ihrer Frage auch nach dem Grundraum gefragt, und der Frage konnte man entnehmen das sie nicht wirklich weiss, was sie hier als Grundraum nehmen kann -- ihre beiden angebotenen Moeglichkeiten sind nicht richtig. Gerade deswegen macht es Sinn, ihr nicht nur zu zeigen, wie man die Aufgabe "intuitiv" loesen kann, sondern ihr auch zu sagen, wie man den Grundraum ueberhaupt konstruieren kann.
> Ich dagegen versuche immer (ganz unmathematisch),
> komplizierte Dinge zu vereinfachen [mm]\Rightarrow[/mm] so dass dann
> mathematisch weniger begabte Schüler schon oft zu mir
> gesagt haben: "Bei dir ist Mathe so einfach und da macht es
> auch Spaß"
Damit haben sie auch Recht. Mathematik (auch formal betrieben) macht erst Spass, wenn man die Formalismen verstanden hat und damit auch umgehen kann, vorher ist es eine unglaubliche Quaelerei. Und gerade unbegabte Schueler muss man damit wirklich nicht belaestigen. Bei Mathematik-Studenten ist das allerdings eine andere Sache: in dem Studium sollen sie gerade lernen, wie man mit solchen Formalismen umgeht. Da hilft es nicht, wenn man die Formalismen moeglichst lange ignoriert und es nur intuitiv macht. Dann wird es oft nur noch schwieriger, sie schliesslich doch noch zu verstehen.
Das soll jetzt allerdings nicht heissen, dass Mathematikstudenten nicht auch Intuition verwenden duerfen :) Man kann (und darf!) solche Aufgaben sehr wohl intuitiv loesen, man sollte aber auch wissen wie dann der formale Rahmen aussieht. (Nur sollte man die intuitive Loesung nicht umbedingt ohne die formale Loesung bei einem Uebungszettel abgeben, ansonsten resultiert das gerne mal in 0 Punkten.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 06.10.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Al-Chwarizmi und felixf,
rein intuitiv verstehe ich schon, wie ihr das meint.
Das Problem der Volks-Unnähe (oder wie nennt man es, wenn Otto-Normalbürger nur noch "Bahnhof" versteht?) gibt es ja nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen anderen Bereichen. Denken wir nur an die Justiz oder die Politik.
Und die Wirtschaft- Finanz- und Bankenkrise haben selbst die sogenannten Experten anscheinend nicht vorausgesehen.
Für mich als Laien ist es dagegen wenig verwunderlich, dass ein System an den Rand des Zusammenbruchs gerät, in dem täglich Milliardenbeträge ohne Gegenleistung bewegt werden (also nur aufgrund von Spekulationen auf steigenden Dollar, fallende Zinsen, etc).
Jede Hausfrau weiß, dass sie beim Aldi für ihren Einkauf bezahlen muss und dass es nur Geld gegen ehrliche Arbeit gibt.
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> Al-Chwarizmi und felixf,
> rein intuitiv verstehe ich schon, wie ihr das meint.
>
> Das Problem der Volks-Unnähe (oder wie nennt man es, wenn
> Otto-Normalbürger nur noch "Bahnhof" versteht?) gibt es ja
> nicht nur in der Mathematik, sondern auch in vielen anderen
> Bereichen. Denken wir nur an die Justiz oder die Politik.
>
>
> Und die Wirtschaft- Finanz- und Bankenkrise haben selbst
> die sogenannten Experten anscheinend nicht vorausgesehen.
>
> Für mich als Laien ist es dagegen wenig verwunderlich,
> dass ein System an den Rand des Zusammenbruchs gerät, in
> dem täglich Milliardenbeträge ohne Gegenleistung bewegt
> werden (also nur aufgrund von Spekulationen auf steigenden
> Dollar, fallende Zinsen, etc).
>
> Jede Hausfrau weiß, dass sie beim Aldi für ihren Einkauf
> bezahlen muss und dass es nur Geld gegen ehrliche Arbeit
> gibt.
Hallo rabilein,
ich kann dir versichern, dass ich deine diesbezüglichen
(die Wirtschaftswelt betreffenden) Gedanken absolut mit
dir teile. Die Art von "Volks-Unnähe", die sich in der
Welt der Wirtschaft (die scheinbar kaum etwas lernen will
aus der Riesenkatastrophe, die sie gerade verursacht hat)
und der Politik (die immer wieder hoffnungsvolle Zukunfts-
szenarien malt und bloss einen winzigen Teil davon reali-
siert) zeigt, unterscheidet sich aber doch fundamental von
einer "Volks-Ferne", welche man Wissenschaften wie z.B. der
Mathematik zuschreiben kann. Leute der Politik, der Medien
und der Wirtschaft verfolgen klar ganz andere Ziele (nämlich
solche, die durch menschliche Wünsche, menschliche Gier
oder menschliche Ideologie bestimmt sind) als Leute einer
echten Wissenschaft, die nach Kriterien suchen, die von
den wechselnden Launen der beteiligten Menschen unab-
hängig sind. Darum wehre ich mich vehement dagegen, die
"Volksferne" der Mathematik mit der von Wirtschaft, Politik
etc. in einen Topf zu werfen !
Lieben Gruß !
Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 05.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht hilft das weiter.
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wie schon gesagt wurde:
P("Mindestens ein Haus bleibt leer")=1-P("Alle Häuser sind voll")
Wie du auch schon richtig gesagt hast, gibt es [mm] \vektor{2n-1 \\ n} [/mm] Möglichkeiten die Banditen zu verteilen. Bei genau einer Möglichkeit davon sind alle Häuser besetzt, nämlich wenn in jedem Haus eben genau ein Bandit ist.
Daher gilt [mm] P(\text{"Alle Häuser sind voll"})=\bruch{1}{\vektor{2n-1 \\ n}} [/mm] und [mm] P(\text{"Mindestens ein Haus bleibt leer"})=1-\bruch{1}{\vektor{2n-1 \\ n}}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 Mi 07.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Teufel,
> Wie du auch schon richtig gesagt hast, gibt es [mm]\vektor{2n-1 \\ n}[/mm]
> Möglichkeiten die Banditen zu verteilen.
Wenn man die Banditen als ununterscheidbar ansieht, schon.
Allerdings: ist das dann auch ein Laplace-Raum?
Ich denke nicht.
In der Aufgabenbeschreibung werden die Banditen naemlich sehr wohl unterschieden. Wenn man die Aufgabenstellung modellieren will, wuerde man ja Zufallsvariablen [mm] $B_1, \dots, B_n [/mm] : [mm] \Omega \to \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] nehmen, die die Banditen beschreiben [mm] ($B_i$ [/mm] sagt, in welches Haus der $i$-te Bandit sich versteckt). Die Aufgabenstellung waer dann, dass [mm] $P(B_i [/mm] = j) = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] ist fuer $i, j [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] und dass [mm] $B_1, \dots, B_n$ [/mm] unabhaengig sind.
Solche unabhaengigen Zufallsvariablen [mm] $B_1, \dots, B_n$ [/mm] lassen sich allerdings auf deinem Grundraum mit [mm] $\binom{2 n - 1}{n}$ [/mm] Elementen gar nicht definieren, da der Grundraum mindestens [mm] $n^n$ [/mm] verschiedene Elemente haben muss: wegen $n > [mm] \frac{2 n - i}{n + 1 - i}$ [/mm] fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n - 1$ (Gleicheit fuer $i = n$) folgt [mm] $n^n [/mm] > [mm] \frac{(2 n - 1) (2 n - 2) \cdots (n + 1) \cdot n}{n!} [/mm] = [mm] \binom{2 n - 1}{n}$ [/mm] (ausser fuer $n = 1$).
Ich frage mich gerade, wie man die Behauptung, dass die Raeuber unabhaengig voneinander sich ein Haus suchen, an deinem Modell nachpruefen kann, ohne dass man solche Zufallsvariablen definiert. Ich denke schlichtweg, es geht nicht.
Mal ein Zahlenbeispiel: fuer $n = 3$ bekommst du die Wahrscheinlichkeit $1 - [mm] \frac{1}{3}$, [/mm] waehrend die Ansaetze von rabilein und mir jeweils $1 - [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] liefern.
Und zumindest mein Ansatz genuegt der Aufgabenstellung, da man die Unabhaengigkeit der [mm] $B_i$ [/mm] explizit nachpruefen kann (ganz abstrakt: da mein Wahrscheinlichkeitsraum ein Produktraum ist, bei dem die Zufallsvariablen [mm] $B_i$ [/mm] ueber die Projektionen faktorisieren).
LG Felix
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