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Barwert: Rentenrechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Sa 08.03.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
Stimmt folgende Umformung des Barwerts?:
k0 = r *{ [mm] q^n-1 [/mm] / [mm] q^n(q-1) [/mm] }

nach

n = log { k0*q(q-1) + 1 / r} /  log q

Hinweis: /= Bruchstrich ( es handelt sich hier um einen Doppelbruch)

Stimmen folgende Ansätze bei einer Umformung der vorschüssigen Barwertformel:



k0 = r* { [mm] q^n-1 [/mm] / [mm] q^n^-^1(q-1) [/mm] }     [mm] /*q^n^-^1(q-1) [/mm]   /+1

[mm] q^n [/mm] = [mm] k0*q^n^-^1(q-1)+1 [/mm]    Potenzgesetz??

[mm] r*q^n [/mm] = [mm] k0*q^n [/mm] : q (q-1)+1  ??

Hallo!
Habe Probleme bei der Umformung dieser Formeln, bitte um Hilfe!

Vielen Dank im Voraus

Angelika



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Barwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 08.03.2008
Autor: steppenhahn

Versuch es bitte mal im Formeleditor zu schreiben. Ich "interpretiere" die erste Formel jetzt mal als:

[mm]k = \bruch{r*(q^{n}-1)}{q^{n}*(q-1)}[/mm]

Nach n umformen:

[mm]\gdw \bruch{k}{r} = \bruch{(q^{n}-1)}{q^{n}*(q-1)}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r} = \bruch{(q^{n}-1)}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r} = 1 - \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw 1 - \bruch{k*(q-1)}{r} = \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{r-k*(q-1)}{r} = \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

Kehrwert.

[mm]\gdw \bruch{r}{r-k*(q-1)} = q^{n}[/mm]

d.h.

[mm]\gdw n = \bruch{\ln\left(\bruch{r}{r-k*(q-1)}\right)}{\ln{q}}[/mm]



Bezug
                
Bezug
Barwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Sa 08.03.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke Steppenhahn!
Ich denke das ist korrekt, was ändert sich bei der 2. Formel (Barwert vorschüssig)? Nach meinen Berechnungen die gleiche Formel wie du sie für den nachschüssigen Barwert umgeformt hast, jedoch wird noch 1 addiert

n = log { r / q*r - k(q-1) } / log q



oder?

Angelika

Bezug
                        
Bezug
Barwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:18 Sa 08.03.2008
Autor: steppenhahn

Ja.

Man kann sozusagen am Ende praktisch einmal + [mm] \ln(q) [/mm] aus dem großen [mm] \ln-Term [/mm] rausziehen und das dann durch den Nenner ergibt + 1.

Bezug
                        
Bezug
Barwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Sa 08.03.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
Das q ist mir jedoch ein Rätsel
wenn ich:

K=[mm] r*\bruch{q^n-1}{q^n^-^1(q-1)} [/mm]

nach n umforme erhalte ich:


n=[mm] \bruch{ln(r/q*r-K(q-1))}{ln q} +1[/mm]

/ = Bruchstrich (Es entsteht ein Doppelbruch)

Könnte mir bitte jemand die einzelnen Schritte der Umformung ausführlich darlegen!

Danke für die Geduld

Angelika

Bezug
                                
Bezug
Barwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Sa 08.03.2008
Autor: steppenhahn

Entschuldige bitte, hab mich verguckt;

Dein Ergebnis ist richtig.

Es entsteht bei

[mm]k=\bruch{r*(q^{n}-1}{q^{n-1}*(q-1)}[/mm]

umgeformt:

[mm]n=\bruch{\ln\left(\bruch{r}{k+r*q-k*q}\right)}{\ln(q)}+1[/mm]


Bezug
                                
Bezug
Barwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 So 09.03.2008
Autor: steppenhahn

   [mm]k = r*\bruch{q^{n}-1}{q^{n-1}*(q-1)}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k}{r} = \bruch{q^{n}-1}{q^{n-1}*(q-1)}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r} = \bruch{q^{n}-1}{q^{n-1}}[/mm]

Nun durch q rechnen; damit ergibt sich im rechten Nenner aus den Potenzgesetzen [mm] q^{n-1}*q^{1} [/mm] = [mm] q^{n} [/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r*q} = \bruch{q^{n}-1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r*q} = 1 - \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{k*(q-1)}{r*q} - 1 = - \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw 1 - \bruch{k*(q-1)}{r*q} = \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{r*q}{r*q} - \bruch{k*(q-1)}{r*q} = \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

[mm]\gdw \bruch{r*q - k*(q-1)}{r*q} = \bruch{1}{q^{n}}[/mm]

Kehrwert.

[mm]\gdw \bruch{r*q}{r*q - k*(q-1)} = q^{n}[/mm]

d.h. (nun praktisch auf beiden Seiten [mm] \log_{q}(...) [/mm] rechnen, d.h. auf beiden Seiten [mm] \bruch{\ln(...)}{\ln(q)}): [/mm]

[mm]\gdw \bruch{\ln\left(\bruch{r*q}{r*q - k*(q-1)}\right)}{\ln(q)} = n[/mm]

Und nun kann man links noch die Logarithmus Gesetze anwenden:

ln(a*b) = ln(a) + ln(b).

Und zwar so:

[mm]\gdw \bruch{\ln\left(\bruch{r}{r*q - k*(q-1)}*q\right)}{\ln(q)} = n[/mm]

[mm]\gdw \bruch{\ln\left(\bruch{r}{r*q - k*(q-1)}\right) + \ln(q)}{\ln(q)} = n[/mm]

[mm]\gdw \bruch{\ln\left(\bruch{r}{r*q - k*(q-1)}\right)}{\ln(q)}+1 = n[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Barwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 So 09.03.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke Steppenwolf!
Alles klar!


Angelika

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