Baryzentrum und Konvexe Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $A=(1,2)$, $B=(2,1)$, $C=(3,6)$, $D = (2,3)$, $A′=(1,−1)$, $B′=(10,−1)$, $C′=(5,−5)$ Punkte aus dem affinen Raum [mm] $X:=\IR^2$.
[/mm]
(1) Zeigen Sie, dass für die konvexen Hüllen L gilt:
[mm] L(\{A,B,C\})=L(\{A,B,C,D\})
[/mm]
(2) Wie viele affine Abbildungen [mm] $\Phi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X$ gibt es mit [mm] \Phi(C(\{A′ ,B′ ,C′ \})) [/mm] =
[mm] C(\{A,B,C,D\})\setminus\{D\}$? [/mm]
Begründen Sie Ihre Antwort ! |
Also wir haben eine Lösung zu dieser Aufgabe, allerdings kann ich die Lösung nicht so ganz nachvollziehen.
Bei (1) haben wir einen Satz benutzt, wonach [mm] L\{(A,B,C)\} [/mm] Menge aller Baryzentrum ((A,B,C), [mm] (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)).
[/mm]
Also ist z.z: D ist BZ davon.
Dazu:
[mm] $\summe_{i=1}^{3} \lambda_{i} \overrightarrow{DA_i}=0$ [/mm] mit [mm] $A_i\in [/mm] (A,B,C)$, [mm] $\lambda_i\not=0$ [/mm] für $i=1,2,3$
Der rest ist relativ eindeutig. Es wird halt gezeigt, dass es [mm] \lambda_i [/mm] gibt, sodass die Summe 0 wird. Damit ist D ein Baryzentrum von L und folglich sind die Mengen gleich.
Ich verstehe nur nicht, warum die Menge aller Konvexen Mengen ein Baryzentrum sein kann.
Der Satz lautet wie folgt:
Sei [mm] S\subseteq [/mm] X, L(S) die Menge aller Baryzentren der Form [mm] (A_1,...,A_k),(\lambda_1,...,\lambda_k)), [/mm] wobei [mm] A_i\in [/mm] S, [mm] \lambda_i\leq [/mm] 0 für alle i=1,...,k mit [mm] k\in \IN.
[/mm]
Heisst das für jede Teilmenge M meines Affinen Raums X, ist L(M) automatisch die Menge aller Baryzentren?
Möglicherweise habe ich aber die Definition eines Baryzentrums noch nicht ganz durchdrungen. Mir ist bereits bewusst, dass ein Baryzentrum sowas wie der Schwerpunkt eines Systems ist.
Unsere Definition eines Baryzentrum lautete wie folgt:
Seien [mm] A_1,...,A_r [/mm] paarweise verschiedene Punkte aus X (X ist bei uns immer ein Affiner Raum) und [mm] \lambda_1,...,\lambda_r\in [/mm] K mit [mm] \sum_{i=1}^r \lambda_i\not=0. [/mm] Dann existiert ein eindeutig bestimmter Punkt [mm] G\in [/mm] X mit [mm] \sum_{i=1}^r \lambda_i\cdot \overrightarrow{GA_i}=0. [/mm] Dieser Punkt [mm] G\in [/mm] X ist das sogenannte Baryzentrum (Schwerpunktzentrum) des Systems [mm] ((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r)).
[/mm]
Also den Teil mit den Punkten verstehe ich noch. Welche Rolle die [mm] \lambdas [/mm] dabei spielen ist mir noch nicht so geläufig. Vorallem nicht wofür das Tupel [mm] ((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r)) [/mm] steht.
Warum muss die Summe der [mm] \lambda \not=0 [/mm] sein?.
Zu (1) habe ich mir auch bereits eine Skizze gemacht. Die Menge der Konvexen Hülle müsste sowas wie ein Dreieck sein.
Dabei stellt D einen inneren Punkt dar. Dies habe ich mir bei (2) zu nutze gemacht. Demnach wird dort eine Punktmenge des Dreiecks auf ein anderes Dreieck ohne den Punkt D abgebildert.
Aber auch dort kann ich die Lösung nicht nachvollziehen.
Dort wird gesagt:
[mm] \varphi: X\to [/mm] X' affine Abb. [mm] M\subseteq [/mm] X, [mm] M'\subseteq [/mm] X'.
M konvex [mm] \Rightarrow \varphi(M) [/mm] konvex (gilt nach einer Bemerkung aus der Vorlesung).
Wir zeigen nun, dass das Baryzentrum nur im inneren des Dreiecks liegen kann.
Dazu definieren wir uns einen Punkt
I:= [mm] A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\vektor{1\\ 2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \vektor{3-1 \\ 6-2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2}+\frac{1}{2} \vektor{2 \\ 4}= \vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4}\in \varphi(A,B,C)
[/mm]
[mm] B+\frac{2}{3} \overrightarrow{BI} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + [mm] \frac{2}{3} \vektor{2-2 \\ 4-1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} +\frac{2}{3}\vektor{0 \\ 3}=\vektor{2 \\ 1}+\vektor{0 \\ 2} [/mm] = D
Somit liegt D auf der Graden von B nach I und ist folglich ein innerer Punkt.
Heißt das nun, dass es so eine Abbildung nicht geben kann? Immerhin fehlt mir ein Punkt meines BZ.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen,
mit freundlichen Grüßen
Raspery
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 14.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Raspery,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich verstehe nur nicht, warum die Menge aller Konvexen
> Mengen ein Baryzentrum sein kann.
Ist sie auch nicht. Die konvexe Hülle einer Menge ist Menge aller Baryzentren von Systemen, deren Punkte [mm] A_i [/mm] aus dieser Menge stammen.
> Der Satz lautet wie folgt:
>
> Sei [mm]S\subseteq[/mm] X, L(S) die Menge aller Baryzentren der Form
> [mm](A_1,...,A_k),(\lambda_1,...,\lambda_k)),[/mm] wobei [mm]A_i\in[/mm] S,
> [mm]\lambda_i\leq[/mm] 0 für alle i=1,...,k mit [mm]k\in \IN.[/mm]
>
> Heisst das für jede Teilmenge M meines Affinen Raums X,
> ist L(M) automatisch die Menge aller Baryzentren?
Nein. L (M) ist die Menge aller Baryzentren der Form [mm](A_1,...,A_k),((\lambda_1,...,\lambda_k)),[/mm] wobei die [mm] A_i [/mm] aus M stammen (das ist wichtig!). Die [mm] \lambda_i\ge0. [/mm] Wie das aussehen kann habe ich hier mal gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier bilden die [mm] A_i [/mm] ein Dreieck. Beachte, dass das Baryzentrum insbesondere von der Wahl der [mm] \lambda_i [/mm] abhängt.
> Möglicherweise habe ich aber die Definition eines
> Baryzentrums noch nicht ganz durchdrungen. Mir ist bereits
> bewusst, dass ein Baryzentrum sowas wie der Schwerpunkt
> eines Systems ist.
>
> Unsere Definition eines Baryzentrum lautete wie folgt:
>
> Seien [mm]A_1,...,A_r[/mm] paarweise verschiedene Punkte aus X (X
> ist bei uns immer ein Affiner Raum) und
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_r\in[/mm] K mit [mm]\sum_{i=1}^r \lambda_i\not=0.[/mm]
> Dann existiert ein eindeutig bestimmter Punkt [mm]G\in[/mm] X mit
> [mm]\sum_{i=1}^r \lambda_i\cdot \overrightarrow{GA_i}=0.[/mm] Dieser
> Punkt [mm]G\in[/mm] X ist das sogenannte Baryzentrum
> (Schwerpunktzentrum) des Systems
> [mm]((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r)).[/mm]
>
> Also den Teil mit den Punkten verstehe ich noch. Welche
> Rolle die [mm]\lambdas[/mm] dabei spielen ist mir noch nicht so
> geläufig. Vorallem nicht wofür das Tupel
> [mm]((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r))[/mm] steht.
Das Tupel ist einfach eine Kurzschreibweise für ein System, das aus Punkten [mm] A_i [/mm] und Zahlen [mm] \lambda_i [/mm] besteht. Mit Hilfe der [mm] \lambda_i [/mm] kannst du z.B. bei gegebenen [mm] A_i [/mm] dein Baryzentrum modellieren, da dieses von den [mm] A_i [/mm] und [mm] \lambda_i [/mm] abhängt.
> Warum muss die Summe der [mm]\lambda \not=0[/mm] sein?.
Was wäre denn, wenn [mm]\sum\lambda_i =0[/mm]? 
Es ist doch [mm] (\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i} \gdw \sum\lambda_i\overrightarrow{GA_i}=0. [/mm] Nun ist
[mm] $(\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in [/mm] X [mm] \gdw 0=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in [/mm] X$.
Aber macht letzteres noch für eine Definition Sinn?
>
> Zu (1) habe ich mir auch bereits eine Skizze gemacht. Die
> Menge der Konvexen Hülle müsste sowas wie ein Dreieck
> sein.
Sie ist ein Dreieck. Übrigens kannst du alternativ sehr einfach zeigen, dass D
$ [mm] \overrightarrow{AD}=\mu_1\overrightarrow{AB}+\mu_2\overrightarrow{AC}$ [/mm] mit [mm] $\mu_1,\mu_2\le1$ [/mm] erfüllt. Dann liegt D in dem durch A, B und C gebildeten Dreieck, das offensichtlich die konvexe Hülle ist.
> Dabei stellt D einen inneren Punkt dar. Dies habe ich mir
> bei (2) zu nutze gemacht. Demnach wird dort eine Punktmenge
> des Dreiecks auf ein anderes Dreieck ohne den Punkt D
> abgebildert.
>
> Aber auch dort kann ich die Lösung nicht nachvollziehen.
> Dort wird gesagt:
>
> [mm]\varphi: X\to[/mm] X' affine Abb. [mm]M\subseteq[/mm] X, [mm]M'\subseteq[/mm] X'.
> M konvex [mm]\Rightarrow \varphi(M)[/mm] konvex (gilt nach einer
> Bemerkung aus der Vorlesung).
>
> Wir zeigen nun, dass das Baryzentrum nur im inneren des
> Dreiecks liegen kann.
>
> Dazu definieren wir uns einen Punkt
>
> I:= [mm]A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\vektor{1\\ 2}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{2} \vektor{3-1 \\ 6-2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2}+\frac{1}{2} \vektor{2 \\ 4}= \vektor{1 \\ 2}[/mm]
> + [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4}\in \varphi(A,B,C)[/mm]
>
>
> [mm]B+\frac{2}{3} \overrightarrow{BI}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\frac{2}{3} \vektor{2-2 \\ 4-1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1} +\frac{2}{3}\vektor{0 \\ 3}=\vektor{2 \\ 1}+\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> = D
>
> Somit liegt D auf der Graden von B nach I und ist folglich
> ein innerer Punkt.
>
>
> Heißt das nun, dass es so eine Abbildung nicht geben kann?
> Immerhin fehlt mir ein Punkt meines BZ.
Ja, so eine Abbildung existiert nicht. Du hast gesagt:
L [mm] (\{A, B, C\} [/mm] konvex [mm]\Rightarrow \varphi(L (\{A, B, C\})[/mm] konvex
Aber [mm] \varphi(L (\{A, B, C\})=L (\{A, B, C, D\})\setminus \{D\} [/mm] ist nicht konvex.
Was folgt dann daraus?
MfG
Ladon
> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen,
> mit freundlichen Grüßen
> Raspery
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hallo Raspery,
>
>
Hallo :)
> > Ich verstehe nur nicht, warum die Menge aller Konvexen
> > Mengen ein Baryzentrum sein kann.
>
> Ist sie auch nicht. Die konvexe Hülle einer Menge ist
> Menge aller Baryzentren von Systemen, deren Punkte [mm]A_i[/mm] aus
> dieser Menge stammen.
Ah okay, dass klingt logischer.
> > Der Satz lautet wie folgt:
> >
> > Sei [mm]S\subseteq[/mm] X, L(S) die Menge aller Baryzentren der Form
> > [mm](A_1,...,A_k),(\lambda_1,...,\lambda_k)),[/mm] wobei [mm]A_i\in[/mm] S,
> > [mm]\lambda_i\leq[/mm] 0 für alle i=1,...,k mit [mm]k\in \IN.[/mm]
> >
> > Heisst das für jede Teilmenge M meines Affinen Raums X,
> > ist L(M) automatisch die Menge aller Baryzentren?
>
> Nein. L (M) ist die Menge aller Baryzentren der Form
> [mm](A_1,...,A_k),((\lambda_1,...,\lambda_k)),[/mm] wobei die [mm]A_i[/mm]
> aus M stammen (das ist wichtig!). Die [mm]\lambda_i\ge0.[/mm] Wie
> das aussehen kann habe ich hier mal gezeichnet:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hier bilden die [mm]A_i[/mm] ein Dreieck. Beachte, dass das
> Baryzentrum insbesondere von der Wahl der [mm]\lambda_i[/mm]
> abhängt.
Also ich verstehe warum L(M) die dort gezeichnete Form hat. B bildet offensichtlich das Baryzentrum der Punkte [mm] A_1, A_2, A_3. [/mm] Mir ist aber leider immer noch nicht geläufig, was dort genau die [mm] \lambda_i [/mm] darstellen. Stellen die [mm] \lambda [/mm] den Abstand vom Baryzentrum dar, oder wie kann man sich das ganze vorstellen?
> > Möglicherweise habe ich aber die Definition eines
> > Baryzentrums noch nicht ganz durchdrungen. Mir ist bereits
> > bewusst, dass ein Baryzentrum sowas wie der Schwerpunkt
> > eines Systems ist.
> >
> > Unsere Definition eines Baryzentrum lautete wie folgt:
> >
> > Seien [mm]A_1,...,A_r[/mm] paarweise verschiedene Punkte aus X (X
> > ist bei uns immer ein Affiner Raum) und
> > [mm]\lambda_1,...,\lambda_r\in[/mm] K mit [mm]\sum_{i=1}^r \lambda_i\not=0.[/mm]
> > Dann existiert ein eindeutig bestimmter Punkt [mm]G\in[/mm] X mit
> > [mm]\sum_{i=1}^r \lambda_i\cdot \overrightarrow{GA_i}=0.[/mm] Dieser
> > Punkt [mm]G\in[/mm] X ist das sogenannte Baryzentrum
> > (Schwerpunktzentrum) des Systems
> > [mm]((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r)).[/mm]
> >
> > Also den Teil mit den Punkten verstehe ich noch. Welche
> > Rolle die [mm]\lambdas[/mm] dabei spielen ist mir noch nicht so
> > geläufig. Vorallem nicht wofür das Tupel
> > [mm]((A_1,...,A_r),(\lambda_1,...,\lambda_r))[/mm] steht.
>
> Das Tupel ist einfach eine Kurzschreibweise für ein
> System, das aus Punkten [mm]A_i[/mm] und Zahlen [mm]\lambda_i[/mm] besteht.
> Mit Hilfe der [mm]\lambda_i[/mm] kannst du z.B. bei gegebenen [mm]A_i[/mm]
> dein Baryzentrum modellieren, da dieses von den [mm]A_i[/mm] und
> [mm]\lambda_i[/mm] abhängt.
Okay, also wird da ganz einfach jedem [mm] A_i, [/mm] dass entsprechende [mm] \lambda_i [/mm] zugeordnet?
> > Warum muss die Summe der [mm]\lambda \not=0[/mm] sein?.
>
> Was wäre denn, wenn [mm]\sum\lambda_i =0[/mm]?
> Es ist doch
> [mm](\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i} \gdw \sum\lambda_i\overrightarrow{GA_i}=0.[/mm]
> Nun ist
>
> [mm](\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in X \gdw 0=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in X[/mm].
>
> Aber macht letzteres noch für eine Definition Sinn?
Ich habe das ganze einfach mal ausgerechnet für [mm] \sum \lambda_i=0 [/mm] und logischerweise erhält man immer einen Vektor der grade 0 sein muss. Also hätte man immer den Nullvektor egal welche Punkte man wählen würde. Das wäre nicht wirklich Sinvoll für eine Definition.
> >
> > Zu (1) habe ich mir auch bereits eine Skizze gemacht. Die
> > Menge der Konvexen Hülle müsste sowas wie ein Dreieck
> > sein.
>
> Sie ist ein Dreieck. Übrigens kannst du alternativ sehr
> einfach zeigen, dass D
> [mm]\overrightarrow{AD}=\mu_1\overrightarrow{AB}+\mu_2\overrightarrow{AC}[/mm]
> mit [mm]\mu_1,\mu_2\le1[/mm] erfüllt. Dann liegt D in dem durch A,
> B und C gebildeten Dreieck, das offensichtlich die konvexe
> Hülle ist.
Okay das habe ich mal gemacht indem ich einfach:
[mm] \vektor{1 \\ -1}=\mu_1 \vektor{1 \\ -1} [/mm] + [mm] \mu_2 \vektor{2 \\ 4}
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] \mu_1=\frac{2}{3} [/mm] und [mm] \mu_2=\frac{1}{6}.
[/mm]
Da die Menge Konvex ist, muss für die drei Punkte A,B,C jede Verbindungsstrecke kleiner gleich 1 in der Menge liegen. Kann man das so als begründnug mit angeben? Denn im Allgemeinen muss dies ja nicht gelten. Das gilt hier nur weil wir eine Konvexe Menge haben oder?
> > Dabei stellt D einen inneren Punkt dar. Dies habe ich mir
> > bei (2) zu nutze gemacht. Demnach wird dort eine Punktmenge
> > des Dreiecks auf ein anderes Dreieck ohne den Punkt D
> > abgebildert.
> >
> > Aber auch dort kann ich die Lösung nicht nachvollziehen.
> > Dort wird gesagt:
> >
> > [mm]\varphi: X\to[/mm] X' affine Abb. [mm]M\subseteq[/mm] X, [mm]M'\subseteq[/mm] X'.
> > M konvex [mm]\Rightarrow \varphi(M)[/mm] konvex (gilt nach einer
> > Bemerkung aus der Vorlesung).
> >
> > Wir zeigen nun, dass das Baryzentrum nur im inneren des
> > Dreiecks liegen kann.
> >
> > Dazu definieren wir uns einen Punkt
> >
> > I:= [mm]A+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\vektor{1\\ 2}[/mm] +
> > [mm]\frac{1}{2} \vektor{3-1 \\ 6-2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2}+\frac{1}{2} \vektor{2 \\ 4}= \vektor{1 \\ 2}[/mm]
> > + [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 4}\in \varphi(A,B,C)[/mm]
>
> >
> >
> > [mm]B+\frac{2}{3} \overrightarrow{BI}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] +
> > [mm]\frac{2}{3} \vektor{2-2 \\ 4-1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1} +\frac{2}{3}\vektor{0 \\ 3}=\vektor{2 \\ 1}+\vektor{0 \\ 2}[/mm]
> > = D
> >
> > Somit liegt D auf der Graden von B nach I und ist folglich
> > ein innerer Punkt.
> >
> >
> > Heißt das nun, dass es so eine Abbildung nicht geben kann?
> > Immerhin fehlt mir ein Punkt meines BZ.
>
> Ja, so eine Abbildung existiert nicht. Du hast gesagt:
> L [mm](\{A, B, C\}[/mm] konvex [mm]\Rightarrow \varphi(L (\{A, B, C\})[/mm]
> konvex
> Aber [mm]\varphi(L (\{A, B, C\})=L (\{A, B, C, D\})\setminus \{D\}[/mm]
> ist nicht konvex.
> Was folgt dann daraus?
Dass das Urbild von [mm] \varphi(L (\{A, B, C\}), [/mm] also L [mm] (\{A, B, C\} [/mm] nicht konvex ist im Widerspruch zur vorraussetzung [mm] L(\{A, B, C\} [/mm] konvex.
> MfG
> Ladon
Mfg. Raspary :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 15.03.2015 | | Autor: | Ladon |
> Also ich verstehe warum L(M) die dort gezeichnete Form hat.
> B bildet offensichtlich das Baryzentrum der Punkte [mm]A_1, A_2, A_3.[/mm]
> Mir ist aber leider immer noch nicht geläufig, was dort
> genau die [mm]\lambda_i[/mm] darstellen. Stellen die [mm]\lambda[/mm] den
> Abstand vom Baryzentrum dar, oder wie kann man sich das
> ganze vorstellen?
In der Zeichnung wären die [mm] \lambda_i [/mm] vermutlich alle ungefähr [mm] \lambda_i=1/3 \forall i\in\{1,2,3\}, [/mm] also ist in der Zeichnung
[mm] $1/3\overrightarrow{BA_1}+1/3\overrightarrow{BA_2}+1/3\overrightarrow{BA_3}=0$
[/mm]
erfüllt. In einem Dreieck nennt man einem solchen Punkt B Schwerpunkt (nicht mit dem Baryzentrum verwechseln, es handelt sich hier um einen Spezielfall eines Baryzentrums). Es ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
> > Das Tupel ist einfach eine Kurzschreibweise für ein
> > System, das aus Punkten [mm]A_i[/mm] und Zahlen [mm]\lambda_i[/mm] besteht.
> > Mit Hilfe der [mm]\lambda_i[/mm] kannst du z.B. bei gegebenen [mm]A_i[/mm]
> > dein Baryzentrum modellieren, da dieses von den [mm]A_i[/mm] und
> > [mm]\lambda_i[/mm] abhängt.
>
> Okay, also wird da ganz einfach jedem [mm]A_i,[/mm] dass
> entsprechende [mm]\lambda_i[/mm] zugeordnet?
Ja, so kann man das sagen.
> > > Warum muss die Summe der [mm]\lambda \not=0[/mm] sein?.
> >
> > Was wäre denn, wenn [mm]\sum\lambda_i =0[/mm]?
> > Es ist doch
> >
> [mm](\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i} \gdw \sum\lambda_i\overrightarrow{GA_i}=0.[/mm]
> > Nun ist
> >
> >
> [mm](\sum\lambda_i)\overrightarrow{BG}=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in X \gdw 0=\sum\lambda_i\overrightarrow{BA_i}\forall B\in X[/mm].
>
> >
> > Aber macht letzteres noch für eine Definition Sinn?
>
> Ich habe das ganze einfach mal ausgerechnet für [mm]\sum \lambda_i=0[/mm]
> und logischerweise erhält man immer einen Vektor der grade
> 0 sein muss. Also hätte man immer den Nullvektor egal
> welche Punkte man wählen würde. Das wäre nicht wirklich
> Sinvoll für eine Definition.
Genau 
> > >
> > > Zu (1) habe ich mir auch bereits eine Skizze gemacht. Die
> > > Menge der Konvexen Hülle müsste sowas wie ein Dreieck
> > > sein.
> >
> > Sie ist ein Dreieck. Übrigens kannst du alternativ sehr
> > einfach zeigen, dass D
> >
> [mm]\overrightarrow{AD}=\mu_1\overrightarrow{AB}+\mu_2\overrightarrow{AC}[/mm]
> > mit [mm]\mu_1,\mu_2\le1[/mm] erfüllt. Dann liegt D in dem durch A,
> > B und C gebildeten Dreieck, das offensichtlich die konvexe
> > Hülle ist.
>
> Okay das habe ich mal gemacht indem ich einfach:
>
> [mm]\vektor{1 \\ -1}=\mu_1 \vektor{1 \\ -1}[/mm] + [mm]\mu_2 \vektor{2 \\ 4}[/mm]
>
> Dann erhalte ich [mm]\mu_1=\frac{2}{3}[/mm] und [mm][mm] \mu_2=\frac{1}{6}.
[/mm]
> Da die Menge Konvex ist, muss für die drei Punkte A,B,C
> jede Verbindungsstrecke kleiner gleich 1 in der Menge
> liegen. Kann man das so als begründnug mit angeben? Denn
> im Allgemeinen muss dies ja nicht gelten. Das gilt hier nur
> weil wir eine Konvexe Menge haben oder?
Es gilt, da die konvexe Menge ein Dreieck ist. Wäre [mm] \mu_1\ge1 [/mm] oder [mm] \mu_2\ge1, [/mm] dann wird der Vektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] gestreckt und führt möglicherweise aus dem Dreieck heraus. Ich habe dir den alternativen Beweis aber nur als Alternative gezeigt, nicht weil dein Ansatz falsch ist. Ich finde diese Alternative nur einfacher.
> > > Heißt das nun, dass es so eine Abbildung nicht geben kann?
> > > Immerhin fehlt mir ein Punkt meines BZ.
> >
> > Ja, so eine Abbildung existiert nicht. Du hast gesagt:
> > L [mm](\{A, B, C\}[/mm] konvex [mm]\Rightarrow \varphi(L (\{A, B, C\})[/mm]
> > konvex
> > Aber [mm]\varphi(L (\{A, B, C\})=L (\{A, B, C, D\})\setminus \{D\}[/mm]
> > ist nicht konvex.
> > Was folgt dann daraus?
>
> Dass das Urbild von [mm]\varphi(L (\{A, B, C\}),[/mm] also L [mm](\{A, B, C\}[/mm]
> nicht konvex ist im Widerspruch zur vorraussetzung [mm]L(\{A, B, C\}[/mm]
> konvex.
Nein. Richtige Schlussfolgerung:
Wir wissen, dass [mm] L(\{A, B, C\}) [/mm] konvex ist.
Aus [mm] \varphi [/mm] affine Abbildung UND [mm] L(\{A, B, C\}) [/mm] konvex folgt [mm] \varphi(L(\{A, B, C\})) [/mm] ist konvex.
Da aber [mm] \varphi(L(\{A, B, C\})) [/mm] nicht konvex und [mm] L(\{A, B, C\}) [/mm] konvex folgt gemäß der Äquivalenz [mm] $(A\Rightarrow B)\gdw (\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A)$ nun [mm] \varphi [/mm] ist keine affine Abbildung.
Auch hier habe ich dir nicht unbedingt aufgrund eines falschen Beweises deinerseits diese Alternative gezeigt, sondern weil ich sie für sehr viel einfacher halte.
MfG
Ladon
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Vielen dank Ladon :)
Eine Frage hätte ich allerdings noch:
> > Ja, so eine Abbildung existiert nicht. Du hast gesagt:
> > L [mm](\{A, B, C\}[/mm] konvex [mm]\Rightarrow \varphi(L (\{A, B, C\})[/mm]
> > konvex
> > Aber [mm]\varphi(L (\{A, B, C\})=L (\{A, B, C, D\})\setminus \{D\}[/mm]
> > ist nicht konvex.
> > Was folgt dann daraus?
>
> Dass das Urbild von [mm]\varphi(L (\{A, B, C\}),[/mm] also L [mm](\{A, B, C\}[/mm]
> nicht konvex ist im Widerspruch zur vorraussetzung [mm]L(\{A, B, C\}[/mm]
> konvex.
> > Nein. Richtige Schlussfolgerung:
> > Wir wissen, dass [mm]L(\{A, B, C\})[/mm] konvex ist.
> > Aus [mm]\varphi[/mm] affine Abbildung UND [mm]L(\{A, B, C\})[/mm] > > konvex folgt [mm]\varphi(L(\{A, B, C\}))[/mm] ist konvex.
> > Da aber [mm]\varphi(L(\{A, B, C\}))[/mm] nicht konvex und [mm]L(\{A, B, C\})[/mm] konvex folgt gemäß der Äquivalenz [mm](A\Rightarrow B)\gdw (\neg B\Rightarrow \neg A)[/mm] nun [mm]\varphi[/mm] ist keine affine Abbildung.
> > Auch hier habe ich dir nicht unbedingt aufgrund eines falschen Beweises deinerseits diese Alternative gezeigt, sondern weil ich sie für sehr viel einfacher halte.
Die Schlussfolgerung habe ich verstanden, jedoch muss ich ja trdm. zuvor noch zeigen, dass D ein innerer Punkt ist und somit die Menge nicht mehr konvex ist oder?
Ah das die Mengen gleich sind habe ich aber schon bei (1) gezeigt. Damit erübrigt sich die Frage eigentlich.
> > MfG
> > Ladon
Mfg.
Raspery
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Mo 16.03.2015 | | Autor: | Ladon |
> Die Schlussfolgerung habe ich verstanden, jedoch muss ich
> ja trdm. zuvor noch zeigen, dass D ein innerer Punkt ist
> und somit die Menge nicht mehr konvex ist oder?
>
> Ah das die Mengen gleich sind habe ich aber schon bei (1)
> gezeigt. Damit erübrigt sich die Frage eigentlich.
Genau. Einerseits ist [mm] L(\{A,B,C,D\}= L(\{A,B,C\} [/mm] und du hast andererseits gezeigt, dass D innerer Punkt ist. Du solltest nur noch zeigen, dass eine Strecke in der Menge [mm] L(\{A,B,C,D\}\setminus \{D\} [/mm] existiert, die nicht vollständig in der Menge enthalten ist. Gib einfach eine solche Strecke an. Dann hast du nicht konvex gezeigt.
MfG
Ladon
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