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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Di 14.12.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
| Aufgabe | Es sei [mm] \delta [/mm] = [mm] \delta_{A} [/mm] die von A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 3 & 7 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 10 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 } [/mm] induzierte Abbildung von [mm] \IR^{6} [/mm] nach [mm] \IR^{4}.
[/mm]
a) Berechnen Sie den Rang von [mm] \delta.
[/mm]
b) Berechnen Sie eine Basis von [mm] Im(\delta).
[/mm]
c) Berechnen Sie eine Basis von [mm] Ker(\delta).
[/mm]
d) In Teil a) haben wir gesehen, dass [mm] rang(\delta) [/mm] = 3. Geben Sie (mit Beweis) angeordnete Basen B von [mm] \IR^{6} [/mm] und B' von [mm] \IR^{4} [/mm] an, so dass [mm] [\delta]_{B'}^{B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}. [/mm] |
Hallo!
Aufgaben a)-c) sind kein Problem. Ich hänge an der d).
Diese Aufgabe sieht sehr nach einem Basenwechsel aus, wobei man jeden Vektor von B durch die Vektoren von B' ausdrücken müsste. Und daraus würde man dann eine Matrix machen. Aber hier haben wir die Matrix und keine der Basen!
Daher bin ich ein bisschen verwirrt.
für B brauchen wir doch 6 Vektoren mit je 6 Einträgen und für B' 4 mit 4.
In B' müssten doch die 3 Vektoren aus der Basis von [mm] Im(\delta) [/mm] und ein weiterer linear unabhängiger Vektor stehen, also wäre B'= { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] } oder?
und in B müssten die 3 Vektoren aus der Basis des [mm] Ker(\delta) [/mm] also [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Aber welche noch?
Oder liege ich da ganz falsch??
Danke schonmal!
Grüßle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Es sei [mm]\delta[/mm] = [mm]\delta_{A}[/mm] die von A= [mm]\pmat{ 0 & 2 & 3 & 7 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 4 & 10 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 }[/mm]
> induzierte Abbildung von [mm]\IR^{6}[/mm] nach [mm]\IR^{4}.[/mm]
> a) Berechnen Sie den Rang von [mm]\delta.[/mm]
> b) Berechnen Sie eine Basis von [mm]Im(\delta).[/mm]
> c) Berechnen Sie eine Basis von [mm]Ker(\delta).[/mm]
> d) In Teil a) haben wir gesehen, dass [mm]rang(\delta)[/mm] = 3.
> Geben Sie (mit Beweis) angeordnete Basen B von [mm]\IR^{6}[/mm] und
> B' von [mm]\IR^{4}[/mm] an, so dass [mm][\delta]_{B'}^{B}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}.[/mm]
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> Hallo!
> Aufgaben a)-c) sind kein Problem. Ich hänge an der d).
> Diese Aufgabe sieht sehr nach einem Basenwechsel aus,
> wobei man jeden Vektor von B durch die Vektoren von B'
> ausdrücken müsste. Und daraus würde man dann eine Matrix
> machen. Aber hier haben wir die Matrix und keine der
> Basen!
> Daher bin ich ein bisschen verwirrt.
> für B brauchen wir doch 6 Vektoren mit je 6 Einträgen
> und für B' 4 mit 4.
> In B' müssten doch die 3 Vektoren aus der Basis von
> [mm]Im(\delta)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und ein weiterer linear unabhängiger Vektor
> stehen, also wäre B'= { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } oder?
Die Idee ist in jedem Fall richtig. Nachgerechnet habe ich es nicht ;)
> und in B müssten die 3 Vektoren aus der Basis des
> [mm]Ker(\delta)[/mm] also [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.[/mm] Aber welche noch?
> Oder liege ich da ganz falsch??
Also da ist ein Fehler, alle drei Vektoren liegen nicht im Kern, das kannst du ganz einfach sehen indem du sie mit der Matrix multiplizierst und dann nicht den Nullvektor erhälst.
Die Idee ist folgende:
Suche dir, wie du schon beschrieben hast, eine Basis vom Bild von [mm] $\delta$. [/mm] Das sind deine ersten drei Vektoren [mm] $b_1',b_2',b_3'$ [/mm] der Basis B'. Damit die abbildungsmatrix nun die gewünschte Form hat musst du als erste drei Vektoren [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] der Basis B Urbilder deiner der Vektoren der Basis B' wählen, d.h. suche Vektoren so, dass [mm] $\delta(b_1)=b_1'$ [/mm] usw. Die restlichen drei Vektoren in B erhälst du, indem du eine Basis des Kerns der Abbildung bestimmst. Das wolltest du ja schon machen, hast dich dabei aber verrechnet.
Den fehlenden Vektor [mm] $b_4'$ [/mm] erhälst du, indem du einfach die drei bisher gefundenen Vektoren zu einer Basis von [mm] $\IR^4$ [/mm] ergänzt.
Viele Grüße, Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke! Du hast mir seeeehr geholfen!
Grüßle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Mathe-Lily |
sorry, hab grad iwie ein paar falsche knöpfe gedrückt!
frage sehe ich sehr wohl als beantwortet und wollte eigentlich nur noch DANKE sagen!!!!
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