Basen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei U [mm] \subseteq \IR^4 [/mm] der Untervektorraum Spann( [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] , [mm] v_4 [/mm] , [mm] v_5 [/mm] ) wobei [mm] v_1 [/mm] = (1,2,3,0) [mm] v_2 [/mm] = (1,0,1,2) [mm] v_3 [/mm] = (1,-1,0,3) [mm] v_4 [/mm] = (0,2,2,1) [mm] v_5 [/mm] = (2,1,3,3). Bestimmen Sie eine Basis von U, die eine Teilmenge von { [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] , [mm] v_4 [/mm] , [mm] v_5 [/mm] } ist. |
Also ich soll ja eine Basis von U suchen und U ist ja Teilmenge von [mm] \IR^4 [/mm] , dass heißt ja, dass die Basis aus 4 Vektoren besteht...
Aber wie find ich die?
|
|
| |
|
> Sei U [mm]\subseteq \IR^4[/mm] der Untervektorraum Spann( [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm]
> , [mm]v_3[/mm] , [mm]v_4[/mm] , [mm]v_5[/mm] ) wobei [mm]v_1[/mm] = (1,2,3,0) [mm]v_2[/mm] = (1,0,1,2)
> [mm]v_3[/mm] = (1,-1,0,3) [mm]v_4[/mm] = (0,2,2,1) [mm]v_5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= (2,1,3,3). Bestimmen
> Sie eine Basis von U, die eine Teilmenge von { [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] ,
> [mm]v_3[/mm] , [mm]v_4[/mm] , [mm]v_5[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist.
Hallo,
> Also ich soll ja eine Basis von U suchen
ja.
> und U ist ja
> Teilmenge von [mm]\IR^4[/mm]
Ja.
> dass heißt ja, dass die Basis aus 4
> Vektoren besteht...
Nein.
U ist eine Teilmenge des [mm] \IR^4.
[/mm]
Also sind in U Vektoren mit 4 Einträgen.
(Sind bei Euch die Elemente des [mm] \IR^4 [/mm] Zeilen? Ist ungewöhnlich...)
Aber es ist nicht gesagt, daß die basis aus vier Vektoren besteht.
Nur, wenn U der [mm] \IR^4 [/mm] selbst ist, sonst nicht!
Die Basen von echten Unterräumen vom [mm] \IR^4 [/mm] haben weniger als 4 Elemente.
> Aber wie find ich die?
Es gibt mehrere Methoden.
Ich sage Dir eine, die ganz dicht an den Sätzen und Definitionen ist, mit welchen Du in den letzten Wochen beglückt wurdest.
Du hast gelernt, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Gegeben ist Dir ein Erzeugendensystem von Spann( $ [mm] v_1 [/mm] $ , $ [mm] v_2 [/mm] $ , $ [mm] v_3 [/mm] $ , $ [mm] v_4 [/mm] $ , $ [mm] v_5 [/mm] $ ), nämlich die Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3, v_4, v_5.
[/mm]
Der Satz garantiert Dir, daß Du Dir aus einer Auswahl dieser Vektoren eine Basis zusammenstellen kannst.
Nun solltest Du weiter wissen, daß eine Basis eine maximale Menge linear unabhängiger vektoren ist.
Du mußt also aus den 5 Vektoren eine möglichst große linear unabhängige Teilmenge abfischen.
Das kannst Du systmatisch betreiben.
Nimm den Vektor [mm] v_1. [/mm] Es ist nicht der Nullvektor, also ist er linear unabhängig.
Nimm den nächsten Vektor [mm] v_2 [/mm] dazu.
Prüfe, ob [mm] (v_1, v_2) [/mm] linear unabhängig ist.
- wenn ja, nimm den nächsten Vektor dazu, und prüfe wieder die Unabhängigkeit.
- wenn nein, wirf [mm] v_2 [/mm] fort und prüfe die Unabhängigkeit von [mm] (v_1, v_3).
[/mm]
Fahre sinngemäß so fort, indem Du immer einen Vektor dazunimmst, prüfst, und je nach Lage der Dinge fortwirfst oder ergänzt.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:41 So 11.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Also ich bin grad i.wie verwirrt...
Hab [mm] v_1 [/mm] mit den anderen Vektoren auf lin. unabhängigkeit überprüft.
Und ich komm drauf, dass mit [mm] v_1 [/mm] keine basis zu finden ist...
Kann das sein, dass ich [mm] v_1 [/mm] weglassen muss????
Oder kann mir jmd. mal ein Gleichungssystem mit [mm] v_1 [/mm] und einem anderen aufstellen, wo l = m = n = w = 0 sind???
Bitte mit Gleichungssystem und ohne MAtrix.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | 1) l + m + 2z = 0
2) 2l + 2v + z = 0
3) 3l + m + 2v + 3z = 0
4) 2m + v + 3z = 0 |
Kann mir bitte jmd. helfen bei dem obigen Gleichungssystem... hab grad keinen Plan.
Ich bin jetz soweit, dass die Vektoren [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_4 [/mm] lin. unabhängig sind und jetz will ich das noch mit [mm] v_5 [/mm] probieren und komm auf das obige LGS.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 11.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Kann mir bitte jmd. helfen bei dem obigen
> Gleichungssystem... hab grad keinen Plan.
das ist ja mal eine originelle Problembeschreibung. Der Matheraum ist jedoch keine Lösungsmaschine, von daher ist eigentlich die Minimalforderung an Fragesteller schon die, dass sie in einem solchen Fall ihr Problem so präzise wie möglich beschreiben. Zumal, da es sich um ein handelsübliches homogenes LGS handelt...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> 1) l + m + 2z = 0
> 2) 2l + 2v + z = 0
> 3) 3l + m + 2v + 3z = 0
> 4) 2m + v + 3z = 0
> Kann mir bitte jmd. helfen bei dem obigen
> Gleichungssystem... hab grad keinen Plan.
Hallo,
dann leg doch mal ganz kindlich los:
löse die erste Gleichung nach l auf,
setze dieses in die 2., 3., 4. ein.
Löse dann eine der neuen Gleichungen nach der nächsten Variablen auf, setze in die verbleibenden beiden ein usw.
Ein bißchen etwas sehen wollen wir von Dir.
LG Angela
> Ich bin jetz soweit, dass die Vektoren [mm]v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] , [mm]v_4[/mm] lin.
> unabhängig sind und jetz will ich das noch mit [mm]v_5[/mm]
> probieren und komm auf das obige LGS.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | 1) l + m + 2z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] l = -m -2z
[mm] \Rightarrow [/mm] 2) -2m -4z + 2v + z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] m = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] z + v
[mm] \Rightarrow [/mm] 3) -3m -6z + m + 2v + 3z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v = m + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] z
[mm] \Rightarrow [/mm] 4) 2m + v + 3z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] m - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] v |
naja nun hab ich ja l,m,v,z raus und die sind nicht gleich , sagt mir das, dass die linear abhängig sind... ?!
Oder was hab ich falsch gemacht.
|
|
|
| |
|
> 1) l + m + 2z = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] l = -m -2z
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2) -2m -4z + 2v + z = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] m = -
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] z + v
> [mm]\Rightarrow[/mm] 3) -3m -6z + m + 2v + 3z = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] v = m
> + [mm]\bruch{3}{2}[/mm] z
> [mm]\Rightarrow[/mm] 4) 2m + v + 3z = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] z = -
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] m - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] v
> naja nun hab ich ja l,m,v,z raus
Hallo,
Du hast noch gar nichts raus.
Du hast meine Gebrauchsanweisung nicht richtig umgesetzt, bzw. nur den ersten Schritt ausgeführt.
Du hast die erste Gleichung nach l aufgelöst (l = -m -2z ) und dies in die anderen drei Gleichungen eingesetzt, was ergibt (hättest Du ruhig hinschreiben können...):
-2m+2v-3z=0
-2m+2v-3z=0
2m+v+3z=0
Jetzt sollst Du nach der nächsten Variablen auflösen, was Du getan hast (m = - [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] z + v), und nun wäre es an der Zeit, mal nachzulesen, was ich Dir gesagt hatte.
LG Angela
|
|
|
|
