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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen
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Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 03.07.2007
Autor: kateto178

Aufgabe
A:= [mm] \pmat{ 2 & 0 & -1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\2 & 1 & 2 & 0 & 5\\ -4 & -1 & -3 & -1 & -8 } \in\IR^{4\times 5} [/mm]
1. Bestimme eine Basis des Kernes und eine Basis des Bildes der durch A dargestellten Abbildung.
2. Für welche [mm] b\in\IR^4 [/mm] ist das lineare Gleichungssystem Ax=b lösbar?

Hallo zusammen!
Ich lerne gerade für LA-Klausur und mir ist nicht alles ganz klar ...
Hoffentlich kann mir jemand sagen, ob meine Lösungen und Überlegungen richtig sind.

Zu 1. Basis des Kerns: [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm]  ?
Basis des Bildes:
Wenn ich A auf Zeilenstufenform bringe, zeigen die Stufenspalten, die mit einer 1 anfangen, welche der Spalten von A eine Basis des Bildes bilden.
Also nach dieser Überlegung sind es [mm] <\pmat{-2\\0\\2\\-4},\pmat{0\\1\\1\\-1},\pmat{0\\-1\\0\\-1},\pmat{-3\\1\\5\\-8}> [/mm]
Soweit richtig?

Zeilenraum einer Matrix besteht aus den linear unabhängigen Zeilen ?
Spaltenraum dementsprechend aus den linear unabhängigen Spalten?
Frage: Ist der Spaltenraum das gleiche wie Basis des Bildes?

Zu 2. Dimension vom Spaltenraum = 4, Dimension vom Zeilenraum = 4
Folgt daraus, dass das Gleichungssystem für alle [mm] b\in\IR^4 [/mm] lösbar ist?
Wenn das richtig ist, was würde folgen, falls die Dimension vom Spaltenraum < 4 wäre ?

Vielen Dank im Voraus!


        
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Di 03.07.2007
Autor: barsch

Hi,

hast du auch folgende Matrix raus, wenn du Gauß anwendest (?):

[mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]

> Zu 1. Basis des Kerns: $ [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $  ?

Ich habe raus: [mm] Kern=span\{\pmat{1/2\\ -3\\ 1\\ -2\\0}\} [/mm]

> Also nach dieser Überlegung sind es $ [mm] <\pmat{-2\\0\\2\\-4},\pmat{0\\1\\1\\-1},\pmat{0\\-1\\0\\-1},\pmat{-3\\1\\5\\-8}> [/mm] $

Das habe ich auch.

MfG

barsch



> Zeilenraum einer Matrix besteht aus den linear unabhängigen
> Zeilen ?
>  Spaltenraum dementsprechend aus den linear unabhängigen
> Spalten?
> Frage: Ist der Spaltenraum das gleiche wie Basis des
> Bildes?
>  
> Zu 2. Dimension vom Spaltenraum = 4, Dimension vom
> Zeilenraum = 4
> Folgt daraus, dass das Gleichungssystem für alle [mm]b\in\IR^4[/mm]
> lösbar ist?
>  Wenn das richtig ist, was würde folgen, falls die
> Dimension vom Spaltenraum < 4 wäre ?

[keineahnung]
  


Bezug
                
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 20:11 Di 03.07.2007
Autor: kateto178

Also bin weiter gekommen, Basis des Kerns = $ [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $ ist richtig, hätte früher drauf kommen müssen. Wenn man A damit multipliziert kommt der 0-Vektor raus. So ist der Kern auch definiert ...

Jetzt suche ich die Antwort der restlichen Fragen ... Bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Bezug
                
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Korrektur stimmt nicht.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Di 03.07.2007
Autor: barsch

Hi,

> Also bin weiter gekommen, Basis des Kerns = $ [mm] \pmat{-\bruch{1}{2}\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $ ist richtig

leider nein!

> Wenn man A damit multipliziert kommt der 0-Vektor raus.

[ok]

Setze doch einmal [mm] A*\pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0}=\pmat{0\\ 0\\ 2\\ -4} [/mm]

Aber [mm] A*\pmat{1/2\\ -3\\ 1\\ -2\\0}=0 [/mm]

MfG

barsch

Bezug
                        
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Di 03.07.2007
Autor: kateto178

Danke für die Mühe ...
barsch,
es ist richtig,was du meintest ... ich habe bei a11 statt mit 2 mit -2 gerechnet.

Bezug
                                
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Di 03.07.2007
Autor: barsch

Hi,

kein Problem ;-)

Was meinst du, wie oft ich mich verrechne. Habe auch erst noch einmal geprüft, ob ich mich nicht doch verrechnet habe.

MfG

barsch



Bezug
        
Bezug
Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Di 03.07.2007
Autor: leduart

Hallo
1. Dim des Zeilen und des Spaltenraums sind immer gleich.
daraus kannst du nix schliessen. da die Basis des Bildes ganz [mm] \IR^4 [/mm] aufspannt (weil 4 dimensional) kriegst du natürlich auch jeden Vektor in [mm] \IR^4 [/mm] als bild. wenn du also das GS A*x=b meinst ist die Antwort ja.
eine Basis des Spaltenraums ist die Basis des Bildes. in dem Sinne ja zur 1. Frage.
Gruss leduart

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