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Hallo,
bräuchte mal wieder eure Hilfe.
Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten.
V und W seien [mm] \IR [/mm] - Vektorräume mit Basen A=(u1,u2,u3) und C=(w1,w2).
Die lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : V -> W werde bzgl. dieser Basen durch die
Matrix [mm] M_{C}^{A}(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1\\ 4 & 1 & -3} [/mm] dargestellt.
i) Zeigen Sie, dass durch
v1= u1 - u2 + 3u3
v2= 2u1 + u3
v3= - 2u2 + u3
eine Basis B = (v1,v2,v3) von V definiert ist.
ii) Bestimmen Sie [mm] M_{C}^{B}(\varphi).
[/mm]
Mein Problem ist ganz einfach, dass ich überhaupt nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Mir fehlen sämtliche Ideen. Im Übrigen verstehe ich auch nicht ganz, was unter der Notation, wie z.B. [mm] M_{C}^{B}(\varphi) [/mm] zu verstehen ist. Auch in unserem Skript find ich darauf nicht wirklich eine Antwort.
Ich würde mich freuen, wenn mich jemand bei dieser Aufgabe unterstützen könnte, da diese in Hinsicht auf die Klausurzulassung sehr wichtig für mich ist.
Gruß Chiro
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> Hallo,
> bräuchte mal wieder eure Hilfe.
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> Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten.
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> V und W seien [mm]\IR[/mm] - Vektorräume mit Basen A=(u1,u2,u3) und
> C=(w1,w2).
> Die lineare Abbildung [mm]\varphi[/mm] : V -> W werde bzgl. dieser
> Basen durch die
> Matrix [mm]M_{C}^{A}(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1\\ 4 & 1 & -3}[/mm]
> dargestellt.
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> i) Zeigen Sie, dass durch
>
> v1= u1 - u2 + 3u3
> v2= 2u1 + u3
> v3= - 2u2 + u3
>
> eine Basis B = (v1,v2,v3) von V definiert ist.
Hier mußt Du zeigen, daß die v-Vektoren lin. unabh. sind, also das GS
0= [mm] \lambda [/mm] v1 + [mm] \mu [/mm] v2 + [mm] \nu [/mm] v3 nur die triviale Lösung hat, was gleichbedeutend ist mit der Invertierbarkeit von [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 }.
[/mm]
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> ii) Bestimmen Sie [mm]M_{C}^{B}(\varphi).[/mm]
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> Mein Problem ist ganz einfach, dass ich überhaupt nicht
> weiß, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Mir fehlen
> sämtliche Ideen. Im Übrigen verstehe ich auch nicht ganz,
> was unter der Notation, wie z.B. [mm]M_{C}^{B}(\varphi)[/mm] zu
> verstehen ist.
Du kannst eine lineare Abbildung ja durch eine Matrix darstellen.
[mm]M_{C}^{B}(\varphi)[/mm] meint : die Matrix zu [mm] \varphi [/mm] bzgl. der Basen C und B.
Die Matrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl. der Basen A und C hast Du ja gegeben. Was Dir nun fehlt, ist eine Matrix, die Dir die Basis B nach A transformiert. Aber mit der Matrix oben bist Du schon nah dran.
Mal angenommen, Du hättest eine Matrix T, die Dir eine Transformation von B nach A macht, dann ist [mm]M_{C}^{B}(\varphi)[/mm]=[mm]M_{C}^{A}(\varphi)[/mm]*T.
Denn mittels T transformierst Du zunächst von B nach A, dann kommt [mm] \varphi [/mm] als lin. Abb. von A nach C.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela.
Danke für deine Antwort.
Teil i) ist jetzt klar, die Invertierbarkeit konnte ich auch zeigen.
Nur Teil ii) fällt mir noch etwas schwer. Ich blick noch nicht wirklich durch, was ich dort eigentlich machen soll ?
Hättest du vielleicht noch nen weiteren Tipp für mich ?
Würde mich freuen.
Gruß Chiro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 22.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also du solltest dich ein wenig mit dem Thema Basitransformation und Transformationsmatrizen beschäftigen.
[Da das ja hier unglaublich oft gefragt wird, sollte man mal einen Eintrag in der MatheBank machen - mache ich später vielleicht]
Jedenfalls, wie Angela schon sagte:
du kennst : $ [mm] M_{C}^{A}(\varphi) [/mm] $, das ist die Abbildungsmatrix von [mm] $\varphi [/mm] $, wobei du einen Vektor bzgl. der Basisdarstellung von A reinsteckst und dein Bild in Basis C rauskommt.
Bei ii) sollst du nun $ [mm] M_{C}^{B}(\varphi) [/mm] $ berechnen, also wieder nur [mm] $\varphi [/mm] $ diesmal jedoch einen Vektor bzgl B reinstecken und wieder bzgl. C rausbekommen.
Die einfachste Variante ist nun folgende "Strategie" : bestimme $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ , d.h. du willst deinen Vektor gleich lassen (id=Identität), aber wenn du einen Vektor bzgl B reinsteckst, soll der selbe Vektor bzgl. A rauskommen.
Was bringt uns diese Matrix?
Nun ja : du kannst dann einfach $ [mm] M_{C}^{B}(\varphi)=M_{C}^{A}(\varphi) \cdot M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ ausrechnen, denn wenn du nun ganz rechts einen Vektor bzgl. B reinsteckst, wird er durch $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ nicht verändert, aber in Basisdarstellung von A verwandelt.
Die bekannte Matrix $ [mm] M_{C}^{A}(\varphi) [/mm] $ kann nun das Bild von [mm] $\varphi [/mm] $ berechnen und spuckt auch gleich richtig das Bild bzgl. C aus - also ist dieses Matrizenprodukt genau das, was du gesucht hast.
Nun noch schnell zur Berechnung von $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ :
Du kennst die wichtigste Regel ? : "Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der darstellenden Matrix."
also : hier sind die (Eingangs)Basisvektoren [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3
[/mm]
und das Bild soll der selbe Vektor nur in Basisdarstellung von A sein.
Dann schau doch mal, was dir jede Zeile des Gl.sys in der Teilaufgabe i) bringt....
Damit solltest du das Produkt nun ausrechnen können.
Frage aber ruhig, wenn Unklarheiten sind (falls ich was in der MatheBank schreibe, kann das gleich klargestellt werden)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge.
Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort.
Habe aber trotz dieser super Erklärung doch eine Frage.
Prinzipiell habe ich das jetzt verstanden, aber
Du sagtest :
Nun noch schnell zur Berechnung von $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ :
Du kennst die wichtigste Regel ? : "Die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der darstellenden Matrix."
Heißt das jetzt, das ich für $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ die Matrix verwenden kann, die ich erhalte, wenn ich spaltenweise die einzelnen Zeilen des Gleichungssystems in die Matrix einfüge?
Also $ [mm] M_{A}^{B}( [/mm] id ) $ = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 1 }
[/mm]
Habe ich damit deine gut gemeinten Andeutungen richtig verstanden ? 
Gruß Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Do 23.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ja, ganz genau.
wenn du nun [mm] v_1 [/mm] in Basisgestalt B reinsteckst, also den Vektor $ [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] $ , dann bekommst du den selben Vektor in Basisgestalt A heraus (also die erste Spalte).
Du musst also nur noch die beiden Matrizen multiplizieren, dann bist du fertig.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 23.06.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo DaMenge.
Danke Dir vielmals für die super Hilfe.
Auch ein Dank an Dich Angela.
Gruß Chiro
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