Basen, Matrizen, Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Also ich soll eine Basis vom M und eine 3*3 Matrix T aus dem R3 angeben so dass folgende Gleichung erfüllt ist:
M=T-1AT
Gegeben ist lediglich die Matrix A , und M soll eine Diagonalmatrix sein, Eigenwerte zu A sind 1, 1, -1 und Eigenvektoren V(1)=<<(-2,3,2)>> &
V(-1)=<< (1,1,2) , (1,0,1)>>
Wie kann man das lösen?
Gruß splisinger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Fr 23.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Wie lautet denn die Aufgabe genau? Dann könnte ich mich auch mal dran versuchen.
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Fr 23.01.2004 | | Autor: | splisinger |
Hi!
Hab die Aufgabe als Antwort auf Marcs Beitrag hinzugefügt!!
gruß splisinger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 23.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo splisinger,
willkommen zunächst einmal im MatheRaum  !
Deine Aufgabe ist nicht weiter schwierig (obwohl ich einige Zeit dachte, es würde tatsächlich so wie du schriebst M=T-1AT statt M=T-1AT heißen).
Ich stelle zunächst einmal fest, dass [mm] \dim V_1 +\dim V_2 = 3 = \dim \IR^3 [/mm], dass also [mm] \IR^3 [/mm] von den Eigenräumen aufgespannt wird: [mm] \IR^3 = V_1 \oplus V_2 [/mm].
Dann ist nämlich die Matrix, die die Basisvektoren der Eigenräume von A als Spalten hat, die gesuchte Matrix T:
[mm] T = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Beweis:
Sei [mm] A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} [/mm] und
[mm] v_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] mit [mm] Av_1 = -1*v_1 [/mm] (diese Gleichung gilt, da [mm] v_1 [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist)
[mm] v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] mit [mm] Av_2 = 1*v_2 [/mm]
[mm] v_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] mit [mm] Av_3 = 1*v_3 [/mm]
Dann ist [mm] AT = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} *\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \stackrel{(\*)}{=} (A*v_1, A*v_2, A*v_3) \stackrel{(\*\*)}{=} (-1*v_1, 1*v_2, 1*v_3) [/mm]
[mm]= (v_1, v_2, v_3)*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]= \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 2 \\
3 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Zu (*): Mit der Schreibweise [mm] (A*v_1, A*v_2, A*v_3) [/mm] meine ich eine Matrix mit drei Spalten, in denen jeweils als Spalte das Ergebnis von [mm] A*v_1, A*v_2, A*v_2 [/mm] steht.
Zu (**): Diese Gleichung gilt, da [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] Eigenvektoren sind.
Zurück zur Aufgabe: Die lange Gleichungskette oben läßt sich reduzieren auf ihren Anfang und ihr Ende:
[mm] AT = T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] T [/mm] ist invertierbar, da T linear unabhängige Spaltenvektoren besitzt und somit [mm] \det T \neq 0[/mm] ist. Also exisitiert [mm] T^{-1} [/mm]:
[mm] \gdw T^{-1}AT = T^{-1}T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \gdw T^{-1}AT = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \gdw T^{-1}AT = M [/mm] mit [mm] M:=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Die Matrix A ist also diagonalisierbar. Die Matrix T heißt Transformationsmatrix und stellt einen Basiswechsel dar, bzgl. dessen die Matrix A (genauer: Die zu A gehörige lineare Abbildung) eine Abbildungsmatrix in Diagonalform hat. Die zugehörige Basis ist irgendeine Basis der Eigenräume, wie zu Anfang erwähnt.
Ich hoffe, es ist alles klar geworden, falls nicht, frage bitte sofort nach.
Alles Gute,
Marc.
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@Marc
Vielen Dank erstmal und sorry für den Schreibfehler!
Aber ich hab noch eine Frage:
Warum nimmst du für A die Matrix aus Eigenvektoren?
Ich schreib lieber nochmal die Aufgabe an:
Es seien E die Standardbasis von V=IR3 und h die durch
M E (h):=[mm]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 &3 \end{pmatrix}[/mm] induzierte lineare Abbildung von V in sich.
a.)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräme in V von A.
b.)Geben Sie eine Basis B von V und eine Matrix T[mm] \epsilon [/mm]Mat3x3 an, so dasss die Matrix M B (h)=T -1 AT eine Diagonalmatrix ist.
Mit A meint der Autor doch sicherlich M E (h)-so hab ich das interpretiert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 23.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo splisinger,
> Aber ich hab noch eine Frage:
>
> Warum nimmst du für A die Matrix aus Eigenvektoren?
Habe ich doch gar nicht, welche Stelle in meiner Antwort meinst du?
Die Matrix T habe ich aus Eigenvektoren von A gebildet. Von A habe ich nichts weiter angenommen, außer, dass die Matrix die gegebenen Eigenwerte und Eigenvektoren hat.
Oder meinst du bei deiner Frage T statt A?
> Ich schreib lieber nochmal die Aufgabe an:
>
> Es seien E die Standardbasis von V=IR3 und h
> die durch
> M E (h):=[mm]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 &3 \end{pmatrix}[/mm]
> induzierte lineare Abbildung von V in sich.
>
> a.)Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräme in V von A.
> b.)Geben Sie eine Basis B von V und eine Matrix T[mm] \epsilon [/mm]Mat3x3
> an, so dasss die Matrix M B (h)=T
> -1 AT eine Diagonalmatrix ist.
>
> Mit A meint der Autor doch sicherlich M E (h)-so
> hab ich das interpretiert!
Ja, genau.
[mm] M_E(h) = A [/mm] ist die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung h, zur Standardbasis E.
[mm] M_B(h) = M [/mm] ist die Abbildungsmatrix derselben linearen Abbildung h, aber zur Basis B.
Für die Basis B kannst du -- siehe meine vorherige Antwort -- einfach die Basisvektoren der Eigenräume von A nehmen, das sind gerade die von dir gegebenen Eigenvektoren (das habe ich allerdings jetzt noch nicht nachgerechnet, ob die von dir angegebenen EW und EV richtig sind; da vertraue ich dir mal 
Mir ist also noch nicht so ganz klar, was du nicht verstanden hast, und vor allem, ob du mit der Matrix oben T oder A meinst.
Viele Grüße,
Marc.
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Du hast doch in vorhin geschrieben:
[mm] AT = T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
wobei A bei Dir die Matrix aus den Eigenwerten(und nicht wie ich vorhin fälschlich geschrieben hatte aus Eigenvektoren) besteht.
[mm] T^{-1}AT = T^{-1}T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm]
T -1 T ergibt die Einheitsmatrix. Und Einheitsmatrix mal A aus der Fragestellung ergibt keine Diagonalmatrix, darum frage ich...
gruß splisinger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Fr 23.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo splisinger,
> [mm]AT = T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> wobei A bei Dir die Matrix aus den Eigenwerten(und nicht
> wie ich vorhin fälschlich geschrieben hatte aus
> Eigenvektoren) besteht.
Ah, jetzt weiß ich, was du missverstehst.
Die Matrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale ist nicht die Matrix A (in meiner Rechnung). Die Matrix mit den Eigenwerten konnte ich im Zuge dieser Umformungen (siehe meine erste Antwort)
[mm] \ldots = (-1*v_1, 1*v_2, 1*v_3) [/mm]
[mm]= (v_1, v_2, v_3)*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm] = \ldots [/mm]
"abspalten"; sie ist an dieser Stelle neu entstanden. Kurze Zeit später in der Rechnung stellt sich dann heraus, dass diese Matrix gerade die in der Aufgabenstellung gesuchte Diagonalmatrix M ist.
> [mm]T^{-1}AT = T^{-1}T*\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
> T -1 T ergibt die Einheitsmatrix. Und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Einheitsmatrix mal A aus der Fragestellung ergibt keine
> Diagonalmatrix, darum frage ich...
Das stimmt, dann wäre ja A bereits eine Diagonalmatrix.
Hat sich diese Frage denn mit dem obigen aufgeklärt?
Viele Grüße,
Marc.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Fr 23.01.2004 | | Autor: | splisinger |
Vielen Dank Marc, hat mir sehr geholfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Sa 24.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo splisinger,
hat sich denn jetzt das Missverständnis geklärt? Ich nehme es doch mal an.
Alles Gute,
Marc.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 24.01.2004 | | Autor: | splisinger |
Vielen Dank Marc, du warst mir eine große Hilfe. Ich finde es echt toll, dass du dich so engagierst!!!!
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