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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge des homogenen GLS
4 0 7 0 5 0
3 0 0 0 3 * x = 0
5 0 0 0 2 0
mit dem GJA! Geben sie 2 weitere Basen an. |
Hallo Freunde,
ich stecke an diese Aufgabe total fest.
Ich habe den GJA durchgeführt, dabei habe ich 3 Auszeichnungen in den von 0 verschiedenen Spalten wählen können.
Meine Lösung ist dann:
a b c d e
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
Ich vermute demnach, dass die Dimension 3 ist.
Desweiteren vermute (hoffe) ich, dass die Basen:
{a,c,e} {c,a,e} {e,a,c}
Ich hoffe, ich liege zumindest teilweise richtig...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen... ich habe total das Problem mit der Bestimmung von Basen...
Hab ihr vll. noch hilfreiche Tipps um dies genetell leichter zu handhaben??
MfG
Kathrin18
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 22.08.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo!
Ich vermute mal du hast sowohl spalten also auch zeilenumformungen gemacht. Das darfst du zwar, wenn du den Rang einer Matrix bestimmen willst, aber nicht, wenn du Basen bestimmen willst.
Also ich komme nach Anwendung des Gaußalgorithmus auf folgendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 7 & 0 & 5 \\ 0& 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 } [/mm] *x = [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 0} [/mm] (keine Garantie, bitte nochmal nachrechnen!)
Nun musst du die sogenannten freien Variablen bestimmen, ich weiss nicht wie ihr die nennt, das sind auf jeden Fall diejenigen, bei denen, sagen wir mal bildlich gesprochen, keine Stufe in der Zeilenstufenform ist. Ich hoffe ich habe das so einigermaßen verständlich erklärt...
Also in unserem Fall wären das b und d. Diese beiden Variablen kannst du nun "beliebig" wählen, daher der Name freie Variablen, der einfachheit halber nimmt man immer die eins und Nullen. ("beliebig" in Anführungsstrichen, weil wenn du pro Variable die Werte einsetzt und dir diese Werte als Vektor vorstellst, diese Vektoren linear unabhängig sein müssen, ist aber nicht sooo wichtig wenn du dir merkst einfach einmal die eins und sonst die Null)
Also setzt du nun an für den ersten Lösungsvektor b=1 und d=0. Setzt diese Werte dann in dein Gleichungssystem und bekommst auf diese Weise den ersten Basisvektor.
Nun setzt du b=0 und d=1, wieder einsetzen und schon hast du den zweiten Basisvektor!
Nun siehst du, dass dein Lösungsraum 2 dimensional ist.
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter...
Grüße
Cruemel
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Hallo,
danke erstmal für diese gute Antwort!! Allerdings weiß ich nicht so recht, ob ich sie verstanden habe. ^^
Also für mich sieht es so aus:
Ich nenne die freien Variablen mal s1 und s2...
dann würde ich einen Lösungsvektor
0
s1
0
s2
0
erhalten, oder?
da setze ich dann s1 = 0 , s2 = 1 und umgekehrt???
Diese beiden Vektoren ergeben dann EINE Basis?
Dann würde ich für die 2. Basis nicht wissen was ich tun soll? Kombination ändern??
VIELEN VIELEN DANK!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 23.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Kathrin!
> Also für mich sieht es so aus:
> Ich nenne die freien Variablen mal s1 und s2...
> dann würde ich einen Lösungsvektor
>
> 0
> s1
> 0
> s2
> 0
>
> erhalten, oder?
Ich habe eine etwas andere Matrix als cruemel, aber das Ergebnis ist trotzdem richtig. Dein Vektor oben (nimm ruhig den Formeleditor) ist nicht nur ein Lösungsvektor, sondern das sind alle Lösungen, da s1 und s2 ja beliebig gewählt werden können. Und die Gesamtheit der Lösungen kriege ich mit
[mm] s1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] s2*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
dargestellt.
Eine andere Basis ist z. B.
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
oder auch
[mm] \vektor{0 \\ 100 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 100 \\ 0}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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