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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Bestimme Vektoren [mm] v_3, v_4, v_3', v_4' \in \IC^4, [/mm] sodass [mm] B=\{v_1, v_2, v_3, v_4\}, B'=\{v_1, v_2, v_3', v_4'\} [/mm] und [mm] B''=\{v_3, v_4, v_3', v_4'\} [/mm] Basen des [mm] \IC^4 [/mm] sind, wobei [mm] v_1=\vektor{1 \\ i \\ 1-i \\ 2-i} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{2-i \\ i \\ 4i \\ -1}. [/mm] |
Hi!
Gibt es eine effiziente Methode das zu lösen?
Also [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] hätte ich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Aber nun müsste ich ja nachweisen, dass man dann aus [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] jeden Vektor des [mm] \IC^4 [/mm] bilden kann und dazu müsste ich natürlich ein sehr widerliches LGS lösen. Als [mm] v_3' [/mm] und [mm] v_4' [/mm] kann ich ja dann Linearkombinationen aus [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] z.B. nehmen und das mit dem Austauschlemma begründen, dass dann B' und B'' Basen sind.
Aber wie kann ich schnell zeigen, dass B eine Basis ist?
Oder komme ich nicht um ein sehr langes LGS herum?
Danke.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hat da jemand eine Idee?
Oder sollte man [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] schon anders wählen in dem Fall?
Teufel
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> Bestimme Vektoren [mm]v_3, v_4, v_3', v_4' \in \IC^4,[/mm] sodass
> [mm]B=\{v_1, v_2, v_3, v_4\}, B'=\{v_1, v_2, v_3', v_4'\}[/mm] und
> [mm]B''=\{v_3, v_4, v_3', v_4'\}[/mm] Basen des [mm]\IC^4[/mm] sind, wobei
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ i \\ 1-i \\ 2-i}[/mm] und [mm]v_2=\vektor{2-i \\ i \\ 4i \\ -1}.[/mm]
>
> Hi!
>
> Gibt es eine effiziente Methode das zu lösen?
Hallo,
ich denke, diese Frage ist es, die es macht, daß Du bisher ohne Antwort bliebst.
Ich antworte jetzt mal trotzdem, obgleich ich auch keine Turbomethode auf Lager habe.
> Also [mm]v_3[/mm] und [mm]v_4[/mm] hätte ich [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
> Aber nun müsste ich ja
> nachweisen, dass man dann aus [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] jeden
> Vektor des [mm]\IC^4[/mm] bilden kann und dazu müsste ich
> natürlich ein sehr widerliches LGS lösen.
Soooo widerlich kann doch ein LGS nicht sein.
Du kannst doch einfach gucken, ob [mm] v_1, v_2 v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] linear unabhängig sind, indem Du den Rang der entsprecheneden Matrix bestimmst, oder deren Determinante.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erstmal.
Determinanten hatten wir noch nicht, aber die lineare Unabhängigkeit zu zeigen wäre auch nicht das größte Problem.
Eher zu zeigen, dass diese Vektoren dann auch ein Erzeugendensystem des [mm] \IC^4 [/mm] sind, denn das folgt ja noch nicht daraus, oder?
Oder wenn es so ist, wie kann ich es dann zeigen, dass es so ist?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Obwohl, verdammt, eigentlich folgt das ja daraus.
Denn aus der Standardbasis des [mm] \IC^4 [/mm] kann ich ja auch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] bilden und damit bilden [mm] v_1, v_2, v_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] unter anderem natürlich auch eine Basis nach dem Austauschsatz, oder?
Teufel
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Hallo,
Ihr habt doch bestimmt gezeigt, daß für jeden Körper K der [mm] K^n [/mm] ein VR der Dimension n ist.
Und wenn nicht, dann kannst Du sicher leicht zeigen, daß der [mm] \IC^4 [/mm] über [mm] \IC [/mm] ein Vektorraum der Dimension 4 ist.
Damit dann ist jede linear unabhängige Menge mit 4 Vektoren "automatisch" ein Erzeugendensystem.
Schau Dir nochmal ein bißchen was an über Basis, Dimension, minimale Erzeugendensysteme, maximale linear unabhängie Teilmengen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Da hast du natürlich recht.
Vielen Dank! Das erspart schon über die Hälfte sinnloser Rumrechnerei.
Teufel
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