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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 27.11.2008 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Basen von U+V und U [mm] \cap [/mm] V |
HI!
Also ich habe 2 spans gegeben (U und V)
in beiden spans sind 4 vierdimesionale vektoren gegeben.
Meine frage ist jetzt wie ich U+V berechne? und was der durchschnitt von den beiden spans ist.
Schonmal danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Basen von U+V und U [mm]\cap[/mm] V
> HI!
> Also ich habe 2 spans gegeben (U und V)
> in beiden spans sind 4 vierdimesionale vektoren gegeben.
> Meine frage ist jetzt wie ich U+V berechne? und was der
> durchschnitt von den beiden spans ist.
> Schonmal danke
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo!
Um dir Rechenarbeit zu sparen, solltest du zunächst überprüfen, ob die 4 Vektoren, die U aufspannen bzw. die vier Vektoren, die V aufspannen vielleicht offensichtlich linear abhängig sind und sich so aus der Darstellung entfernen lassen.
U+V ist einfach gesagt, die Menge aller Vektoren von U + die Menge aller Vektoren von V. Mathematisch musst du also
U+V = [mm] \{\lambda_{1}*u_{1} + \lambda_{2}*u_{2} + \lambda_{3}*u_{3} + \lambda_{4}*u_{4} + \lambda_{5}*v_{1} + \lambda_{6}*v_{2} + \lambda_{7}*v_{3} + \lambda_{8}*v_{4}|(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})\in U, (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})\in V, \lambda_{n}\in\IK\}
[/mm]
berechnen.
[mm] U\cap [/mm] V ist wie im Anschaulichen die Schnittmenge von U und V, also die Menge der Vektoren, die sowohl in U als auch in V sind. Das ist entweder nur der Nullvektor, eine Gerade, eine Ebene, ....
Überlege selbst, wie du das rausbekommst!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 27.11.2008 | | Autor: | Achtzig |
also ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht so ganz...
also bei U +V muss ich wohl eine 4x8 Matrix erstellen und in ZSF bringen das hab ich jetzt soweit.. aber wie geht das mit dem durchschnitt? das versteh ich noch nicht so ganz
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Hallo!
> also ehrlich gesagt verstehe ich das noch nicht so ganz...
> also bei U +V muss ich wohl eine 4x8 Matrix erstellen und
> in ZSF bringen das hab ich jetzt soweit.. aber wie geht das
> mit dem durchschnitt? das versteh ich noch nicht so ganz
Die Schnittmenge erhältst du so, wie du auch in der Schule das Schnittgebilde beim Schnitt zweier Ebenen berechnet hast!
Linearkombination aus den Vektoren aus U = Linearkombination aus den Vektoren von V
und nun hast du wieder ein LGS, dass es nach den 8 Parametern aufzulösen gilt 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 27.11.2008 | | Autor: | Achtzig |
ich glaub ich hab ein brett vorm kopf :)
also die ersten 4 vektoren und die zweiten 4 vektoren rüberziehen (also dann negativ) und dann hab ich wieder ein homogenes GLS was wieder in ZSF zu bringen ist?
schonmal danke stefan
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> ich glaub ich hab ein brett vorm kopf :)
> also die ersten 4 vektoren und die zweiten 4 vektoren
> rüberziehen (also dann negativ) und dann hab ich wieder ein
> homogenes GLS was wieder in ZSF zu bringen ist?
> schonmal danke stefan
Hallo!
Du erhältst ein LGS, bei welchem wieder die Lösungen zu bestimmen sind ; Aber ja, wo müsste das klappen.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 27.11.2008 | | Autor: | Achtzig |
sry aber ich bekomms einfach nicht hin:
die vektoren sind:
U:
a: (1,3,5,-4)
b: (2,6,7,-7)
c: (0,0,1,-1)
d: (1,3,-1,2)
V:
e: (1,0,2,-2)
f: (0,3,3,-5)
g: (5,-3,6,-3)
h: (6,-6,5,0)
könntet ihr mir wohl erklären wie die matrix jetzt aussehen muss?
geht nur noch um den durchschnitt
danke
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Hallo!
Also: Du machst es dir wahrscheinlich viel zu kompliziert. Du hast hier ja Räume U und V durch jeweils Mengen von Vektoren gegeben. Die Räume entstehen dadurch, dass sie von den Vektoren aufgespannt werden.
Logischerweise kann ich deswegen alle Operationen (Addition, Multiplikation mit Skalar) mit den Vektoren untereinander durchführen, ohne dass sich der Raum ändern wird. Man kann sich so die Aufgabe wesentlich vereinfachen. Ich mach erstmal ein anderes Beispiel:
Angenommen, du hast einen Raum Z gegeben dadurch, dass er von den folgenden 3 Vektoren aufgespannt wird:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 3}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 4}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Dann ist der Raum Z praktisch definiert durch
[mm] Z:=\left\{\lambda_{1}*v_{1} + \lambda_{2}*v_{2} + \lambda_{3}*v_{3}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \IR \right\} [/mm] = [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{3 \\ 5 \\ 3} + \lambda_{2}*\vektor{3 \\ 2 \\ 4} + \lambda_{3}*\vektor{3 \\ 1 \\ 1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \IR \right\}
[/mm]
Ich könnte aber genausogut sagen:
$Z = [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{3 \\ 5 \\ 3} + \lambda_{2}*\vektor{0 \\ -3 \\ 1} + \lambda_{3}*\vektor{0 \\ -4 \\ -2}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \IR \right\}$
[/mm]
Es wird immer noch derselbe Raum definiert, obwohl ich jetzt von dem zweiten und dritten Vektor jeweils den ersten abgezogen habe. Wöllte ich dasselbe Ergebnis wie bei der vorherigen Darstellung von Z für [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1$ haben, muss ich jetzt eben [mm] \lambda_{1} [/mm] =3, [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 1 wählen, damit das rauskommt. Wenn du das nachvollzogen hast, ist der Rest einfach.
Dasselbe kann man nun bei dir machen um die Raumdarstellungen zu vereinfachen. Bei U kann man so die Vektoren letztendlich zu dreien reduzieren!
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\3\\0\\0}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\1\\0}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\1}
[/mm]
die immer noch denselben Raum aufspannen, weil sie aus Operationen der Ausgangsvektoren hervorgegangen sind. Mit denen kannst du nun sicher besser rechnen
Bei Raum V kann man folgendes erreichen:
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0\\2}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0\\3\\0\\1}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\-1\\2}
[/mm]
Die sind also eigentlich beide dreidimensional!
Und nun bildest du das entsprechende LGS, das ich jetzt hier nicht aufführen will. Oder doch:
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\3\\0\\0}+\lambda_{2}*\vektor{0\\0\\1\\0}+\lambda_{3}* \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] = [mm] \lambda_{4}*\vektor{1\\0\\0\\2} [/mm] + [mm] \lambda_{5}*\vektor{0\\3\\0\\1}+\lambda_{6}*\vektor{0\\0\\-1\\2}$
[/mm]
[mm] $\gdw \lambda_{1}*\vektor{1\\3\\0\\0}+\lambda_{2}*\vektor{0\\0\\1\\0}+\lambda_{3}* \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] - [mm] \lambda_{4}*\vektor{1\\0\\0\\2} [/mm] - [mm] \lambda_{5}*\vektor{0\\3\\0\\1}-\lambda_{6}*\vektor{0\\0\\-1\\2} [/mm] = 0$
Dann erhältst du folgend Koeffizientenmatrix (einfach alle Vektoren hintereinandergepappt, die vom zweiten VR natürlich negativ):
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & | & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -2 & | & 0}
[/mm]
Nun noch schnell ein paar Gauß-Umformungen: ErsteZeile*(-3) auf zweite Zeile addieren, ZweiteZeile durch 3 rechnen, Zeilen so vertauschen dass Zeilenstufenform entsteht:
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & | & 0}
[/mm]
Und nun siehst du: Der Lösungsraum, d.h. der Schnittraum wird zweidimensional, weil du zwei freie Parameter wählen musst, um alle Lösungen (die in ihrer Gesamtheit den Schnittraum ergeben) darstellen zu können (Weil 6 Unbekannte, 4 Gleichungen, 6 - 4 = 2).
Wähle also
[mm] $\lambda_{6} [/mm] = [mm] \nu \in \IR$
[/mm]
[mm] $\lambda_{5} [/mm] = [mm] \mu \in \IR$
[/mm]
Dann bekommst du mit Hilfe der letzten Zeile [mm] \lambda_{4}, [/mm] dann mit der dritten Zeile [mm] \lambda_{3}, [/mm] und mit den oberen beiden [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] raus in Abhängigkeit von diesen beiden Parametern. Du musst allerdings nur!!!! noch [mm] \lambda_{4} [/mm] bestimmen!
Weil wie erhältst du nun eigentlich den Schnittraum? Du setzt bei der Ausgangsgleichung
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\3\\0\\0}+\lambda_{2}*\vektor{0\\0\\1\\0}+\lambda_{3}* \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] = [mm] \lambda_{4}*\vektor{1\\0\\0\\2} [/mm] + [mm] \lambda_{5}*\vektor{0\\3\\0\\1}+\lambda_{6}*\vektor{0\\0\\-1\\2}$
[/mm]
einfach in eine beliebige Seite (natürlich jetzt die rechte, weil du da mit [mm] \lambda_{4},\lambda_{5}, \lambda_{6} [/mm] schon alles kennst) deine Erkenntnisse ein. Dadurch "kürzt" sich ein Lambda raus und du erhältst den zweidimensionalen Schnittraum.
Veranschauliche dir das an einem einfacherem Beispiel:
Schule:
f(x) = g(x)
Wenn man Schnittpunkte berechnen wollte, hat man den Ansatz gemacht für Funktion f(x) und g(x) und erhielt dann eine Lösung x. Wir haben hier als Lösung die 6 Lambda-Variablen erhalten. Wenn man nun aber den y-Wert des Schnittpunktes heraushaben wollte, musste man wieder das x in eine der beiden Seiten einsetzen. Wir müssen deswegen auch in eine der beiden Darstellungen der gegebenen Räume unsere "x", also unsere Lambdas einsetzen um das "y", den Schnittraum, zu erhalten.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Do 27.11.2008 | | Autor: | Achtzig |
super!!
danke dir stefan.. hab echt viel zu kompliziert gedacht!
danke dass du dir die mühe gemacht hast!
danke dir
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