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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute.
Ich habe hier eine Aufgabe, an der ich schon seit 2 Tagen sitze.
Wäre nett, wenn mir diese jemand erklären könnte.
Es sei [mm] V=\IF^{3}_{2} [/mm] der dreidimensionale Standardvektorraum über den endlichen Körper [mm] \IF_{2} [/mm] mit Standardbasis s1, s2, s3. Die lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V ist gegeben durch
f(s1) = s1 + s2 + s3, f(s2) = s2 + s3, f(s3) = s1.
a) Geben sie Basen von Kern(f) und f(V) an. Verifizieren Sie die Formel
Rang(f) + Defekt(f) = dim(V).
b)Berechnen Sie die Verkettung [mm] g:=f^{2} [/mm] = f [mm] \circ [/mm] f.Welche Dimensionen haben Kern(g) und g(V)? Wie sieht [mm] f^{3} [/mm] aus?
Ich bin verzweifelt, den ich hatte noch nie so eine Aufgabe zu lösen.
Habe keine Ahnung wie das geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
EDIT : Aufgabe falsch verstanden...
siehe Lösung unten..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
kann ja sehr gut sein, dass ich mich vertan habe, aber warum hast du den Thread jetzt genau als fehlerhaft gekennzeichnet ?
fragende Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Di 11.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Also ich wollte heute morgen gleich eine Antwort schreiben, hab aber gerade viel zu tun, also auch die Antwort etwas kürzer ...
> Der Kern besteht aus allen Vektoren, die auf die 0
> (Vektor!) abgebildet werden.
> Du hast drei abbildungsvorschriften:
> f(s1) = s1 + s2 + s3, f(s2) = s2 + s3, f(s3) = s1
>
> sei [mm]\vektor{a\\b\\c}[/mm] jetzt bzgl. der standardbasis s1 bis
> s3
>
> aus der letzten erkennt man sofort, dass a schon 0 sein
> muss, sonst ist das Bild nicht komplett 0.
Hier liegt der Hund begraben (benutze lieber [mm]e_i[/mm] für si):
[mm]f(\vektor{1\\1\\1})=f(e_1+e_2+e_3)=f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=e_1+e_2+e_3+e_2+e_3+e_1=0[/mm], da [mm]v_i+v_i=0[/mm]wegen [mm]1+1=0[/mm] für alle Vektoren in [mm]\IF_2[/mm].
Wenn man das GLS richtig löst, ist ebend obiger eingestzte Vektor die basis des Kerns, dieser Vektor leigt wieder im Bild, also [mm]f^2[/mm] hat einen größeren Kern. Iirc ist [mm]f^3[/mm] soagr nilpotent.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Ahh - ich verstehe jetzt, was du meinst.
Ich hatte die Funktion so verstanden, dass f(s1) die erste Komponente vom Bild ist
und s1 bis s3 die Komponenten (also koeffiezienten) des Vektors...
ich kenne die Politik hier auf dem Board diesbzgl. nicht, ob ich jetzt obigen Eintrag editieren soll (und dann "Fehler beseitigt" drücke), oder ob ich einen neuen Beitrag schreiben soll...
mal schauen - wieder : Danke für die Korrektur !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Dank des Hinweises von SEcki mal die richtige Fassung:
Hi Edi1982,
weißt du denn, was dein VR für einer ist? Wie die Vektoren darin aussehen?
Der Körper F2 enthält nämlich nur zwei Elemente: 0 und 1
(und 1+1=0 also 1=-1)
das heißt die Elemente deines VR sind:
$ [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] ; [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{0\\1\\1} [/mm] ; [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{1\\ 0\\1} [/mm] ; [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ; $
mehr gibt es nicht.
Der Kern besteht aus allen Vektoren, die auf die 0 (Vektor!) abgebildet werden.
$ [mm] f(\vektor{1\\1\\1})=f(e_1+e_2+e_3)=f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=e_1+e_2+e_3+e_2+e_3+e_1=\vektor{0\\0\\0} [/mm] $
also liegt der schonmal im Kern (er ist sogar Basis, weil der einzige Vektor, der neben der Null im Kern liegt)
Für das Bild betrachte doch mal, welche Vektoren überhaupt heraus kommen! es gilt gerade: $ [mm] Bild(f)=\{\vektor{1\\0\\0};\vektor{0\\1\\1}\};\vektor{1\\1\\1} [/mm] $
und weil $ [mm] \vektor{0\\1\\1}+\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1\\1\\1} [/mm] $
ist $ [mm] (\vektor{1\\0\\0};\vektor{0\\1\\1}) [/mm] $ eine Basis des Bildes.
so, jetzt solltest du einen Eindruck haben, wie man da ran gehen könnte.
die a) sollte jetzt hoffentlich kein Problem mehr sein.
Überleg dir jetzt doch (und schreib es sicherheits halber hier hin) mal bei deiner b) was mit f(ker(f)) passiert und wie f(Bild(f)) aussieht.
Dann sollte dir der Rest zur b) auch gelingen.
viele Grüße
DaMenge
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