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| Aufgabe | Seien v1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 } [/mm] und v2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 } [/mm]
und sei W=span (v1,v2) bestimmen sie eine Basis von [mm] W^\perp [/mm] |
Hallo, ich weiss gatr nicht was ich machen soll!hat jmd vielleicht eine idee, oder kann mir sagen wie man hier am besten vorgeht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, der zugrunde liegende Raum ist V = [mm] R^4 [/mm] oder V = [mm] C^4 [/mm] (versehen mit dem Standardskalarprodukt).
Ergänze v1 und v2 zu einer Basis v1, v2, v3, v4 von V und zwar so, dass v1 senkrecht auf v3 und v4 steht, und v2 ebenfalls senkrecht auf v3 und v4 ist.
FRED
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Wie gehe ich den am Besten vor? Orthogonalität bedeutet, dass das Skalarprodukt 0 sein muss, aber ich kann mir doch nicht einfach zwei weitere Vektoren ausdenken auf die das zutrifft. Kann mir das Gram-Schmitdsche Orthogonalisierungsverfahren irgendwie weiterhelfen? Es muss doch irgend eine bestimmte Rechenmethode geben, mit der ich diese weiteren zwei Vektoren errechnen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Di 17.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Für v3 (bzw v4) mache den Ansatz v3 = (a,b,c,d)
Es soll sein <v1,v3> =0 und <v2,v3> = 0. Das liefert ein LGS mit 2 Gleichungen für a,b,c,d.
Schau Dir mal die Lösungsmenge diese LGS an. Kannst Du daraus v3 und v4 bestimmen?
FRED
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Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie das gehen soll. Stelle ich mein LGS auf, habe ich doch 4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen. Selbst wenn ich c und d als Unbekannte lasse, komme ich auf kein vernüftiges Ergebnis, da dann sowohl a=0 als auch b=0 ist. Oder denke ich grad vollkommen falsch? Was ist eigentlich mit Gram-Schmidt? Ist das Verfahren hier vollkommen fehl am Platz?
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> Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie das gehen soll. Stelle
> ich mein LGS auf, habe ich doch 4 Unbekannte und nur 2
> Gleichungen.
Hallo,
ja. Hast Du Dein GS schon aufgestellt?
Es hat Dir doch niemand versprochen, daß es nur eine Lösung hat: es ist doch klar, daß, wenn Du einen Vektor v hast, der auf den beiden gegebenen senkrecht steht, auch alle Vielfache davon zu den beiden vorgegebenen orthogonal sind.
Und hier ist es eben so, daß der Lösungsraum Deines GSs die Dimension 2 hat. Eine Basis dieses Raumes ist anzugeben.
Am besten, Du rechnest hier mal vor, wie weit Du kommst, danach hilft Dir bestimmt jemand weiter.
> Was ist eigentlich mit Gram-Schmidt? Ist das Verfahren hier
> vollkommen fehl am Platz?
Dies Verfahren macht Dir aus irgendeiner Basis eine orthogonale Basis desselben Raumes, paßt also nicht zur Fragestellung.
Gruß v. Angela
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Zu dem LGS:
1. a + 2c + 3d = 0
2. b + 2c + d = 0
1.-2.: a - b + 2d = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] b = a + 2d
Wie mache ich nun aber weiter, um irgendeine Lösung zu erhalten? Kann ich nun einen Wert festsetzen?
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> Zu dem LGS:
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> 1. a + 2c + 3d = 0
> 2. b + 2c + d = 0
>
> 1.-2.: a - b + 2d = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] b = a + 2d
>
> Wie mache ich nun aber weiter, um irgendeine Lösung zu
> erhalten? Kann ich nun einen Wert festsetzen?
Hallo,
es ist bis dorthin richtig.
ich sehe nun im Profil, daß Du eine Naturwissenschaft studierst.
Dann wirst (solltest ) Du das Gaußverfahren kennen, das ist die Sache, bei der man die Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringt.
Hier wäre die Koeffizientenmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 3\\ 0& 1 & 2 & 1}.
[/mm]
Diese Matrix ist bereits in ZSF, ihr Rang =2, also ist die Dimension des Lösungsraumes =Anzahl der Variablen -Rang=4-2=2.
Ich kann nun 4-2=2 der Variablen frei wählen, etwa c und d.
Für b erhalte ich dann (letzte Zeile): b=-2c-d
und für a (erste Zeile): a=-0*b-2c-3d=-2c-3d.
Die Vektoren, die das GS lösen haben also die Gestalt [mm] \vektor{a \\ b\\ c\\ d}= \vektor{-2c-3d \\ -2c-d\\ c\\ d}=c\vektor{-2 \\ -2\\ 1\\ 0} [/mm] + [mm] d\vektor{-3 \\ -1\\ 0\\ 1},
[/mm]
und somit ist [mm] (\vektor{-2 \\ -2\\ 1\\ 0}, \vektor{-3 \\ -1\\ 0\\ 1}) [/mm] eine Basis des Lösungsraumes.
Ich habe die Gaußgeschichte hier einfließen lassen, um etwas Erinnerung zu erzeugen.
Mit dem, was Du schreibst kann man aber auch weiterrechenen:
> 1. a + 2c + 3d = 0
> b = a + 2d
2 Gleichungen, 4 Variable, also kannst Du etwa a und d frei wählen, Deine Lösungsvektoren haben dann die Gestalt
[mm] \vektor{a \\ a + 2d\\ 0.5(-a-3d)\\ d}=a\vektor{1 \\ 1\\ -0.5\\ 0} [/mm] + [mm] d\vektor{0 \\ 2\\ -1.5\\ 1},
[/mm]
und [mm] (\vektor{1 \\ 1\\ -0.5\\ 0},\vektor{0 \\ 2\\ -1.5\\ 1}) [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes.
Daß die beiden Basen, die ich auf zwei verschiedene Weisen ausgerechnet habe, verschieden sind, stört nicht weiter. Sie spannen - sofern ich nichts falsch gerechnet habe - denselben Raum auf.
Gruß v. Angela
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