Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | Seien [mm] v_1,...,v_m [/mm] Spaltenvektoren der Länge n über K. Welche der folgenden Aussagen sind dazu äquivalent, dass [mm] v_1,...,v_m [/mm] eine Basis des K-Vektorraums [mm] V_n(K) [/mm] bilden:
a) [mm] v_1,...,v_m [/mm] sind linear unabhängig, und m [mm] \ge [/mm] n.
b) [mm] v_1,...,v_m [/mm] sind linear unabhängig, und m [mm] \le [/mm] n.
c) [mm] v_1,...,v_m [/mm] erzeugen [mm] V_n(K), [/mm] und m [mm] \ge [/mm] n.
d) [mm] v_1,...,v_m [/mm] erzeugen [mm] V_n(K), [/mm] und m [mm] \le [/mm] n.
e) die Matrix mit Spalten [mm] v_1,...,v_m [/mm] hat Rang n.
f) jedes Element von [mm] V_n(K) [/mm] ist eine Linearkombination von [mm] v_1,...,v_m. [/mm] |
Hallo,
also bei dieser Multiple Choice Aufgabe hab ich e) und f) angekreuzt. Ist das richtig? Wie immer dank vorweg :)
Gruß Fawkes
|
|
| |
|
> also bei dieser Multiple Choice Aufgabe hab ich e) und f)
> angekreuzt. Ist das richtig?
Hallo,
EDIT:ja, das ist richtig.
Das stimmt nicht. s. die nachfolgende Diskussion.
Du übst bloß? oder sind das alles Klausuraufgaben aus einer Klausur? da wird man ja verrückt!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 14.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
ja zum einen übe ich bloß und zum anderen sind es aufgaben aus einer alten klausur, die der prof bei dem ich demnächst ne ziemlich identische klausur schreiben werde so vor nen paar jahren mal gestellt hat.
das dumme an den mc-aufgaben ist nur, dass man nich nur das ankreuzen kann, was man sicher weiß, sondern alles ankreuzen muss was richtig ist damit die aufgabe gewertet wird, naja mal schauen wies so wird....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
hallo,
also heute hab ich gehört, dass wohl a) und d) als einzige richtig sein sollen und das wird eben auf die äuqivalenz begründet. warum das jetzt stimmt verstehe ich zwar noch nich so ganz, da m ja gleich n sein müsste für a), jedoch impliziert das l.u. das wohl schon und deshalb ist es wohl doch richtig. kp vielleicht steigst du da ja durch und kannst es mir evtl. erklären. danke schonmal
gruß fawkes
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielleicht müßtest Du doch mal erklären, was [mm] V_n [/mm] darstellen soll.
Ich bin von einem VR der Dimension n ausgegangen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Fawkes |
ja wie du schon sagtest ist es der vektorraum über dem körper K mit der dim n. also was es anderes sein soll weiß ich auch nich, nur in der aufgabe steht ja auch schon k-vektorraum also wird unsere def wohl stimmen :)
|
|
|
| |
|
> hallo,
> also heute hab ich gehört, dass wohl a) und d) als
> einzige richtig sein sollen und das wird eben auf die
> äuqivalenz begründet. warum das jetzt stimmt verstehe ich
> zwar noch nich so ganz, da m ja gleich n sein müsste für
> a), jedoch impliziert das l.u. das wohl schon und deshalb
> ist es wohl doch richtig. kp vielleicht steigst du da ja
> durch und kannst es mir evtl. erklären. danke schonmal
> gruß fawkes
Hallo,
ja, ich habe gesehen, daß f nicht richtig ist wegen der Äquivalenz. Es gilt nur ==>.
Wenn die [mm] v_i [/mm] eine Basis des [mm] K^n [/mm] sein sollen, dann muß m=n sein.
Richtig wäre dann: [mm] v_1,...v_m [/mm] ist Basis <==> m=n und die [mm] v_i [/mm] sind linear unabhängig.
Wenn n=m ist und der Rang der Matrix =n ist, dann sind die [mm] v_i [/mm] eine Basis. Und umgekehrt.=
Richtig wäre weiter
[mm] v_1,...,v_m [/mm] ist Basis <==> die [mm] v_i [/mm] erzeugen [mm] V_n [/mm] und n=m.
Nun kannst Du schauen, wie Du das irgendwie mit Deinen [mm] \le [/mm] und [mm] \ge [/mm] in Deckung bringst. Das ist mir zu mühsam heute abend.
Das ist ja schlimmer als "Blendempfindlichkeit nimmt zu/ab".
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Moin,
nutzen wir die Gunst der Stunde: ausgeschlafen, und die Hitze konnte ihr zerstörerisches Werk noch nicht beginnen.
> Seien [mm]v_1,...,v_m[/mm] Spaltenvektoren der Länge n über K.
> Welche der folgenden Aussagen sind dazu äquivalent, dass
>A) [mm]v_1,...,v_m[/mm] eine Basis des K-Vektorraums [mm]V_n(K)[/mm] bilden:
> a) [mm]v_1,...,v_m[/mm] sind linear unabhängig, und m [mm]\ge[/mm] n.
a) ==> A)
Wenn die m Spaltenvektoren des [mm] K^n [/mm] linear unabhängig sind, dann kann m höchstens =n sein, dh. [mm] m\le [/mm] n, und wenn nun gleichzeitig [mm] m\ge [/mm] n gilt haben wir m=n.
Damit hat man n linear unabhängige Spaltenvektoren des [mm] K^n, [/mm] also eine Basis.
A)==> a)
Wenn die m Spaltenvektoren des [mm] K^n [/mm] eine Basis bilden, dann ist m=n und sie sind linear unabhängig
> b) [mm]v_1,...,v_m[/mm] sind linear unabhängig, und m [mm]\le[/mm] n.
b) ==> A) gilt nicht, weil man für m<n keine Basis hat.
> c) [mm]v_1,...,v_m[/mm] erzeugen [mm]V_n(K),[/mm] und m [mm]\ge[/mm] n.
c) ==> A) gilt nicht, denn eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, so daß man für m>n keine Basis hat.
> d) [mm]v_1,...,v_m[/mm] erzeugen [mm]V_n(K),[/mm] und m [mm]\le[/mm] n.
d) ==> A)
Wenn die [mm] v_i [/mm] den [mm] K^n [/mm] erzeugen, dann ist [mm] m\ge [/mm] n. Zusammen mit [mm] m\le [/mm] n hat man m=n, also eine Basis.
A) ==> d) Wenn die [mm] v_i [/mm] eine Basis sind, dann sind sie ein Erzeugendensystem mit m=n.
> e) die Matrix mit Spalten [mm]v_1,...,v_m[/mm] hat Rang n.
e) ==> a) stimmt für m>n nicht.
> f) jedes Element von [mm]V_n(K)[/mm] ist eine Linearkombination von
> [mm]v_1,...,v_m.[/mm]
f) ==> A) stimmt für m>n nicht.
So. Das sollte jetzt so richtig sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
