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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 26.04.2010 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass (1,i) eine Basis von [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] bildet. |
Mir liegt eine Lösung vor, doch leider kann ich damit nicht viel anfangen...:
"Per Def. ist [mm] \IC [/mm] als abelsche Gruppe gleich [mm] \IR^2." [/mm] (?)
"Die Elemente 1,i sind gerade die Elemente [mm] e_1, e_2 \in \IR^2." [/mm] (?)
"Die Multiplikation der reellen Zahlen als Unterkörper von [mm] \IC [/mm] ist genau die skalare Multiplikation im [mm] \IR^2. [/mm] D.h. als reeller VR ist [mm] \IC \cong \IR^2 [/mm] mit 1,i [mm] \mapsto e_1, e_2 [/mm] die kanonische Basis." (?)
Könnte mir das jemand in verständlichen Worten erklären??
Vielen Dank, Euer Mos
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Hallo MosDef,
> Zeigen Sie, dass (1,i) eine Basis von [mm]\IC[/mm] als
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] bildet.
> Mir liegt eine Lösung vor, doch leider kann ich damit
> nicht viel anfangen...:
Das wichtigste: Was ist eine Basis? Wann bilden Vektoren eine Basis eines Vektorraums?
Wenn du das weisst, überleg dir, warum $\ (1,i) $ gerade als Basis für $\ [mm] \IC [/mm] $ in Frage kommt.
Warum kann maximal ein Vektor eine Basis von $\ [mm] \IC [/mm] $ sein?
>
> "Per Def. ist [mm]\IC[/mm] als abelsche Gruppe gleich [mm]\IR^2."[/mm] (?)
Wann ist eine ![[]](/images/popup.gif) Gruppe denn abelsch?
> "Die Elemente 1,i sind gerade die Elemente [mm]e_1, e_2 \in \IR^2."[/mm]
> (?)
Mit $\ [mm] e_1, e_2 [/mm] $ sind die Standardbasisvektoren aus $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ gemeint. Diese sind $\ [mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] , [mm] e_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $.
> "Die Multiplikation der reellen Zahlen als Unterkörper
> von [mm]\IC[/mm] ist genau die skalare Multiplikation im [mm]\IR^2.[/mm] D.h.
> als reeller VR ist [mm]\IC \cong \IR^2[/mm] mit 1,i [mm]\mapsto e_1, e_2[/mm]
> die kanonische Basis." (?)
D.h., dass $\ [mm] \IC [/mm] $ als reeller Vektorraum isomorph zum $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ ist mit $\ (1,i) [mm] \mapsto (e_1,e_2) [/mm] $
Die Kanonische Basis des $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ ist gerade die Standardbasis $\ [mm] (e_1,e_2) [/mm] $
>
> Könnte mir das jemand in verständlichen Worten
> erklären??
>
> Vielen Dank, Euer Mos
>
Ich hoffe dass dir das hilft.
Das kriegst du sicher hin, wenn du die Definitionen kennst!
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 26.04.2010 | | Autor: | MosDef |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
Die Definitionen sind mir ansich klar. Und es leuchtet mir auch ein, dass (1,i) tatsächlich eine Basis von [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-VR [/mm] ist.
Nur die Begründung verstehe ich einfach nicht. Warum kann ich [mm] \IC [/mm] mit [mm] \IR^2 [/mm] gleichsetzen, und was hat das damit zu tun, dass [mm] \IC [/mm] als Gruppe abelsch ist?
Dass man es am Ende mit dem Isomorphismus erklärt, nehme ich jetzt mal so hin. Obwohl mir auch nicht ganz klar ist, wie ich mir (1,i) [mm] \mapsto (e_1,e_2) [/mm] konkret vorstellen soll...
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Hallo MosDef,
nun, die Menge $\ [mm] \IC [/mm] $ der komplexen Zahlen wird aus der Menge $\ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ aller geordneten Paare reeller Zahlen gebildet. Wie Addition und Multiplikation auf $\ [mm] \IC [/mm] $ definiert sind, weisst du sicher.
Ausserdem gilt $\ i :=(0,1) $ und das Einselement ist $\ 1 := (1,0) $ in $\ [mm] \IC [/mm] $
Also $\ (1,i) = [mm] \left((1,0)^T,(0,1)^T\right) [/mm] = [mm] \left(\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}\right) [/mm] $. Das wiederum ist bekanntlich die kanonische Basis des $\ [mm] \IR^2$. [/mm] Damit wär' geklärt, warum $\ (1,i) = [mm] e_1,e_2 [/mm] $.
> "Die Multiplikation der reellen Zahlen als Unterkörper
> von $ [mm] \IC [/mm] $ ist genau die skalare Multiplikation im $ [mm] \IR^2. [/mm] $ D.h.
> als reeller VR ist $ [mm] \IC \cong \IR^2 [/mm] $ mit 1,i $ [mm] \mapsto e_1, e_2 [/mm] $
> die kanonische Basis." (?)
Die Isomorphie $ [mm] \IC \cong \IR^2 [/mm] $ bedeutet, dass es zu $\ f: [mm] \IC \to \IR^2 [/mm] $ einen Morphismus $\ g: [mm] \IR^2 \to \IC [/mm] $ so gibt, dass
$\ g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{\IC} [/mm] $ und $\ f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{\IR^2} [/mm] $
Es ist doch $\ [mm] \IR^2 [/mm] = [mm] \IR \times \IR [/mm] = [mm] \{(x,y) : x,y \in \IR \} [/mm] $ und $\ [mm] \IC [/mm] := [mm] \IR^2 [/mm] $
$\ [mm] \IC [/mm] $ und $\ [mm] \IR^2 [/mm] $ sind in ihrer Struktur also gleich.
Für die Funktionsvorschrift $\ (1,i) [mm] \mapsto (e_1,e_2) [/mm] $ siehe obige Zeilen. Es werden einfach die Elemente $\ (x,y) [mm] \in \IC [/mm] $ auf $\ (x,y) [mm] \in IR^2 [/mm] $ bijektiv abgebildet.
Ist dir damit etwas geholfen?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 26.04.2010 | | Autor: | MosDef |
Wer schön, wenn Lösungen zu Übungsaufgaben in der Uni auch mal etwas ausführlicher angegeben würden. Aber da wird halt gerne davon ausgegangen, dass man alles, was vorher dran kam auch wirklich begriffen hat...
Deine Ausführungen helfen mir auf alle Fälle sehr. Vielen Dank dafür!
Grüße,
Mos
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