Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 26.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Mir ist grad eine Frage in den Kopf gekommen und wollte wissen,ob mein Gedanke richtig ist.Unzwar hab ich mich gefragt,ob es eine Basis der leeren Menge gibt.Es gibt aber nur Basen von Vektorräumen und da die leere Menge kein Vektorraum ist, gibt es auch keine Basis davon.
So ist es doch oder?
lg
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Hallo Mandy,
> Hallo zusammen^^
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> Mir ist grad eine Frage in den Kopf gekommen und wollte
> wissen,ob mein Gedanke richtig ist.Unzwar hab ich mich
> gefragt,ob es eine Basis der leeren Menge gibt.Es gibt aber
> nur Basen von Vektorräumen und da die leere Menge kein
> Vektorraum ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") gibt es auch keine Basis davon.
> So ist es doch oder?
Genau!
Ein Vektorraum muss mindestens den Nullvektor enthalten.
Der "kleinste" VR [mm]V[/mm] (über einem Körper [mm]\IK[/mm]) ist dann einer, der eben nur den Nullvektor enthält, also [mm]V=\{\vec{0}\}[/mm]
Wie sieht denn eine (die(!)) Basis von [mm]V[/mm] aus?
Gruß
schachuzipus
>
> lg
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> > Hallo Mandy,
> >
> > > Hallo zusammen^^
> > >
> > > Mir ist grad eine Frage in den Kopf gekommen und wollte
> > > wissen,ob mein Gedanke richtig ist.Unzwar hab ich mich
> > > gefragt,ob es eine Basis der leeren Menge gibt.Es gibt aber
> > > nur Basen von Vektorräumen und da die leere Menge kein
> > > Vektorraum ist, gibt es auch keine Basis davon.
> > > So ist es doch oder?
> >
> >
> > Genau!
> >
> > Ein Vektorraum muss mindestens den Nullvektor enthalten.
> >
> > Der "kleinste" VR [mm]V[/mm] (über einem Körper [mm]\IK[/mm]) ist dann
> > einer, der eben nur den Nullvektor enthält, also
> > [mm]V=\{\vec{0}\}[/mm]
> >
> > Wie sieht denn eine (die(!)) Basis von [mm]V[/mm] aus?
> >
> Also ich kenne nur eine Basis von [mm]\{0\}[/mm] unzwar ist das die
> leere Menge,aber ich versteh das nicht.Denn die leere Menge
> hat ja gar keine Elemente,wie kann sie dann den Nullvektor
> erzeugen? Und da die leere Menge keine Elemente hat, kann
> da auch nichts linear unabhängig sein.
> Wieso ist sie dann Basis von [mm]\{0\}?[/mm]
>
> lg
Hey,
das lässt sich wohl über das Erzeugendensystem (Basis ist minimales Erzeugendensystem) argumentieren:
<B> = [mm] \bigcap [/mm] { U [mm] \subseteq [/mm] V | U ist Unterraum von V und B [mm] \subseteq [/mm] U}
Wählst du nun als B die leere Menge, dann stehen auf der rechten Seite also alle Unterräume des Vektorraums, weil die leere Menge Teilmenge eines jeden Unterraums ist. Der Schnitt aller Unterräume ist aber gerade der Nullvektor.
Somit hat die leere Menge als Erzeugnis die Menge, in der nur der Nullvektor vorkommt. Diese Menge ist ein Unterraum, die leere Menge ist sicher minimal, d.h. die leere Menge ist minimales Erzeugendensystem des Unterraums, in dem nur der Nullvektor ist und somit eine Basis.
Das ist (hoffentlich) die korrekte Begründung. Das merkwürdige Gefühl wegen der dann fehlenden Linearkombinationen bleibt - aber meines Erachtens liegt das an der speziellen Art des Nullvektors. Er kann nie in einer Basis drin liegen (klar: wegen der linearen Unabhängigkeit und wegen der Eindeutigkeit). Er ist auch der einzige Vektor, der alleine genommen schon linear abhängig ist.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 28.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Wählst du nun als B die leere Menge, dann stehen auf der
> rechten Seite also alle Unterräume des Vektorraums, weil
> die leere Menge Teilmenge eines jeden Unterraums ist. Der
> Schnitt aller Unterräume ist aber gerade der Nullvektor.
Das ist mir nicht ganz klar.Wieso ist der Schnitt aller Unterräume der Nullvektor? Der Schnitt aller Unterräume müsste doch leer sein,da ja auch die leere Menge ein Unterraum ist und keine Elemente enthält oder nicht?
lg
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> >
> > Wählst du nun als B die leere Menge, dann stehen auf der
> > rechten Seite also alle Unterräume des Vektorraums, weil
> > die leere Menge Teilmenge eines jeden Unterraums ist. Der
> > Schnitt aller Unterräume ist aber gerade der Nullvektor.
>
> Das ist mir nicht ganz klar.Wieso ist der Schnitt aller
> Unterräume der Nullvektor? Der Schnitt aller Unterräume
> müsste doch leer sein,da ja auch die leere Menge ein
> Unterraum ist und keine Elemente enthält oder nicht?
>
> lg
Nein, wie schon oben irgendwo erwähnt, ist die leere Menge KEIN Unterraum, nur eine Teilmenge.
Jeder Unterraum MUSS den Nullvektor enthalten (und damit ist das auch der Schnitt ALLER Unterräume), denn jeder Unterraum ist insbesondere selbst ein Vektorraum und der ist bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe, d.h. er muss u.a. ein neutrales Element bzgl. der Addition beinhalten. Deswegen liegt in jedem Vektorraum (und somit in jedem beliebigen Unterraum) auch der Nullvektor drin.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 28.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Das ist mir nicht ganz klar.Wieso ist der Schnitt aller
> > Unterräume der Nullvektor? Der Schnitt aller Unterräume
> > müsste doch leer sein,da ja auch die leere Menge ein
> > Unterraum ist und keine Elemente enthält oder nicht?
> >
> > lg
>
> Nein, wie schon oben irgendwo erwähnt, ist die leere Menge
> KEIN Unterraum, nur eine Teilmenge.
> Jeder Unterraum MUSS den Nullvektor enthalten (und damit
> ist das auch der Schnitt ALLER Unterräume), denn jeder
> Unterraum ist insbesondere selbst ein Vektorraum und der
> ist bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe, d.h. er muss
> u.a. ein neutrales Element bzgl. der Addition beinhalten.
> Deswegen liegt in jedem Vektorraum (und somit in jedem
> beliebigen Unterraum) auch der Nullvektor drin.
>
> lg weightgainer
>
Ah ok.Jetzt ist es klar.Vielen Dank
lg
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Hallo,
wenn Du daran glaubst, daß jeder VR eine Basis hat, dann kannst Du es Dir auch so überlegen:
als Basis kommen nur [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{0\} [/mm] infrage.
Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge.
[mm] \{0\} [/mm] ist linear abhängig, bleibt also nur [mm] \emptyset.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 28.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> wenn Du daran glaubst, daß jeder VR eine Basis hat, dann
> kannst Du es Dir auch so überlegen:
Ja daran glaube ich.
>
> als Basis kommen nur [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] infrage.
Stimmt, d.h. ein VR kann auch selbst Basis von sich sein?
> Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige
> Teilmenge.
> [mm]\{0\}[/mm] ist linear abhängig, bleibt also nur [mm]\emptyset.[/mm]
So ist es einleuchtend. Wenn ich ganz allgemein zeigen will, dass eine Teilmenge eine Basis ist,dann kann ich doch folgendes zeigen:
1.Die Teilmenge ist linear unab. Erz.system des VR.
2.Sie ist minimales Erzeugendensystem
3.Sie ist maximal linear unabh. Teilmenge.
Und dann reicht es auch,wenn ich nur einen der Punkte zeige, wie hier z.B.3 oder?
lg
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> > Hallo,
> >
> > wenn Du daran glaubst, daß jeder VR eine Basis hat, dann
> > kannst Du es Dir auch so überlegen:
> Ja daran glaube ich.
> >
> > als Basis kommen nur [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] infrage.
> Stimmt, d.h. ein VR kann auch selbst Basis von sich sein?
Kannst du ein Beispiel nennen, dass Vektorraum = Basis ist? Hier ist es ja nicht so!
Die Definitionen schließen das aber nicht aus!
> > Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige
> > Teilmenge.
> > [mm]\{0\}[/mm] ist linear abhängig, bleibt also nur [mm]\emptyset.[/mm]
>
> So ist es einleuchtend. Wenn ich ganz allgemein zeigen
> will, dass eine Teilmenge eine Basis ist,dann kann ich doch
> folgendes zeigen:
> 1.Die Teilmenge ist linear unab. Erz.system des VR.
> 2.Sie ist minimales Erzeugendensystem
> 3.Sie ist maximal linear unabh. Teilmenge.
>
> Und dann reicht es auch,wenn ich nur einen der Punkte
> zeige, wie hier z.B.3 oder?
Das stimmt. Auf Wikipedia kannst du es auch nachlesen - da steht als vierte gleichwertige Option noch:
Jedes Element aus V lässt sich als eindeutige Linearkombinationen der Vektoren der Basis darstellen.
>
> lg
lg weighgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 28.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hallo,
> > >
> > > wenn Du daran glaubst, daß jeder VR eine Basis hat, dann
> > > kannst Du es Dir auch so überlegen:
> > Ja daran glaube ich.
> > >
> > > als Basis kommen nur [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] infrage.
> > Stimmt, d.h. ein VR kann auch selbst Basis von sich
> sein?
>
> Kannst du ein Beispiel nennen, dass Vektorraum = Basis ist?
> Hier ist es ja nicht so!
>
> Die Definitionen schließen das aber nicht aus!
Vielleicht der Vektorraum {1}, also der Vektor hat als Einträge nur die 1, denn der bildet mit + eine abelsche Gruppe (ist assoziativ, ach ne doch nicht, hat kein neutrales Element fällt mir grad auf), also doch nicht.
Das ist ganz schön schwierig so einen Vektorraum zu finden, sonst fällt mir nichts ein, außer der VR der linearen Funktionen vielleicht, aber da bin ich mir nicht ganz sicher.
lg
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > wenn Du daran glaubst, daß jeder VR eine Basis hat, dann
> > > > kannst Du es Dir auch so überlegen:
> > > Ja daran glaube ich.
> > > >
> > > > als Basis kommen nur [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\{0\}[/mm] infrage.
> > > Stimmt, d.h. ein VR kann auch selbst Basis von sich
> > sein?
> >
> > Kannst du ein Beispiel nennen, dass Vektorraum = Basis ist?
> > Hier ist es ja nicht so!
> >
> > Die Definitionen schließen das aber nicht aus!
>
> Vielleicht der Vektorraum {1}, also der Vektor hat als
> Einträge nur die 1, denn der bildet mit + eine abelsche
> Gruppe (ist assoziativ, ach ne doch nicht, hat kein
> neutrales Element fällt mir grad auf), also doch nicht.
>
> Das ist ganz schön schwierig so einen Vektorraum zu
> finden, sonst fällt mir nichts ein, außer der VR der
> linearen Funktionen vielleicht, aber da bin ich mir nicht
> ganz sicher.
>
Ne, der tut's auch nicht, da reicht als Basis <1,x> und es gibt ja ein paar lineare Funktionen mehr als nur diese beiden.
Wenn du einen Vektorraum über [mm] \IZ/2\IZ [/mm] anschaust, z.B. die zweielementigen Vektoren, bei denen der erste Eintrag 0 sein soll:
Alle möglichen Vektoren:
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Wenn jetzt der erste Eintrag 0 sein soll, dann sind das nur noch die Vektoren
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Die einzig sinnvolle Basis ist dann [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Ganz streng genommen geht das mit Basis = Vektorraum natürlich nie, denn wir haben ja hier festgestellt, dass der Nullvektor IMMER im Vektorraum liegen muss und NIE in der Basis liegen darf.
Aber wenn man mal davon absieht, müsste das Beispiel jetzt passen.
Problem bei der Konstruktion:
Es müssen mit einem Vektor auch alle seine Vielfachen (Multiplikation mit Zahlen aus dem Körper) in dem Vektorraum drin sein. Aber diese Vektoren sind dann von dem ersten l.a., also kann die Basis nur einen davon enthalten. Sobald also durch die Multiplikation mit Elementen aus dem Körper aus einem Vektor andere Vektoren entstehen können, kommt der als Beispiel für Basis fast gleich Vektorraum nicht mehr in Frage.
> lg
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lg weightgainer
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