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Basis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Mo 07.02.2011
Autor: Karander

HI, ich hab da mal wieder eine Frage. Wenn ich die Basis eines Gebildes angeben will, muss diese dann das gesamte Ding erzeugen (wie ein Erzeugendensystem) oder reicht auch nur ein Teil davon?

Bsp: Geg sei eine Menge M von pol-fkt  3ten Grades für die gilt: f(y)=f(z)=0 ( y=0 und z=1 )
Gebe eine Basis von M an

Reicht es hier wenn ich versuche z.b. (0,x-x²,0x³)   als eine Basis zu verkaufen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mo 07.02.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> HI, ich hab da mal wieder eine Frage. Wenn ich die Basis
> eines Gebildes angeben will, muss diese dann das gesamte
> Ding erzeugen (wie ein Erzeugendensystem) oder reicht auch
> nur ein Teil davon?

Eine Basis ist ein Spezialfall eines Erzeugendensystem, muss also den ganzen Vektorraum aufspannen.

>  
> Bsp: Geg sei eine Menge M von pol-fkt  3ten Grades für die
> gilt: f(y)=f(z)=0 ( y=0 und z=1 )
>  Gebe eine Basis von M an
>  
> Reicht es hier wenn ich versuche z.b. (0,x-x²,0x³)   als
> eine Basis zu verkaufen?

Falls jedes Element des Tupels jetzt ein Basisvektor sein soll, so ist das keine Basis. An erster und dritter Stelle hast du doch jeweils das Nullpolynom. Eine Basis ist ein maximal linear unabhaengiges Erzeugendensystem, das Nullpolynom ist aber immer linear abhaengig.

Ein Polynom P(x) mit den Nullstellen 0 und 1 laesst sich zerlegen in [mm]P(x)=x(x-1)\cdot r(x)[/mm], wobei [mm] r(x)\neq [/mm] 0 das Restpolynom ist. Wegen dem ersten Teil siehst du schon, dass [mm] x^2-x [/mm] zum Loesungsraum gehoert, das kann also schon ein Basisvektor sein. [mm] x^3-x^2 [/mm] ist aber auch ein Polynom, was die beiden Nullstellen hat, also fehlt noch mindestens ein Basisvektor.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
Kamaleonti

Bezug
                
Bezug
Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 07.02.2011
Autor: Karander

Also wenn ich es richtig verstanden hab würde die Basis hier B=(x-x², x²-x³, x³-x) sein und ist immer eindeutig, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mo 07.02.2011
Autor: kamaleonti


> Also wenn ich es richtig verstanden hab würde die Basis
> hier B=(x-x², x²-x³, x³-x) sein und ist immer eindeutig, richtig?

Nein, prüfe deine Basis einmal auf lineare Unabhängigkeit.

Basen sind fast nie eindeutig.
Bei Polynomen kannst du doch einfach einen Basisvektor mit einem Skalar [mm] \neq0,1 [/mm] multiplizieren und schon hast du eine neue Basis.

Kamaleonti

Bezug
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