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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Sei die Matrix [mm] A=\pmat{ -1 & 2&1&0 \\ 0&3 & 4&2 } [/mm] gegeben. Sei [mm] \varphi \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] die lineare Abbildung x-> Ax. Seien [mm] e_1,e_2,e_3 [/mm] und [mm] e_4 [/mm] die kanonischen Basisvektoren des [mm] \IR^4.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass
B = [mm] (e_1, e_1 [/mm] + [mm] e_2, e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] + [mm] e_3, e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] + [mm] e_3 [/mm] + [mm] e_4)
[/mm]
eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ist.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] C=(\vektor{2 \\ 1},\vektor{0\\ 1}) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
(c) Bestimmen Sie die Matrix [mm] [\varphi]^{B}_{C} [/mm] von [mm] \varphi [/mm] bezüglich der Basen B und C. |
Hallo,
habe einpaar Fragen zu dieser Aufgabe und es wäre super, wenn jemand mir helfen könnte.
zu a und b) zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, ist kein Problem, aber wie macht man das mit dem Erzeugendensystem???
zu c) Mit dem Basiswechsel habe ich leider noch Schwierigkeiten. Das Prinzip hab ich verstanden, aber die Anwendung :-S
Wie muss ich hier anfangen?
Danke im Voraus.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 13.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei die Matrix [mm]A=\pmat{ -1 & 2&1&0 \\ 0&3 & 4&2 }[/mm] gegeben.
> Sei [mm]\varphi \IR^4[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] die lineare Abbildung x-> Ax.
> Seien [mm]e_1,e_2,e_3[/mm] und [mm]e_4[/mm] die kanonischen Basisvektoren des
> [mm]\IR^4.[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass
> B = [mm](e_1, e_1[/mm] + [mm]e_2, e_1[/mm] + [mm]e_2[/mm] + [mm]e_3, e_1[/mm] + [mm]e_2[/mm] + [mm]e_3[/mm] +
> [mm]e_4)[/mm]
> eine Basis des [mm]\IR^4[/mm] ist.
>
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]C=(\vektor{2 \\ 1},\vektor{0\\ 1})[/mm]
> eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] ist.
>
> (c) Bestimmen Sie die Matrix [mm][\varphi]^{B}_{C}[/mm] von [mm]\varphi[/mm]
> bezüglich der Basen B und C.
> Hallo,
>
>
> habe einpaar Fragen zu dieser Aufgabe und es wäre super,
> wenn jemand mir helfen könnte.
>
>
> zu a und b) zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind,
> ist kein Problem, aber wie macht man das mit dem
> Erzeugendensystem???
Es reicht bereits die lineare Unabhängigkeit. In einem n-dimesionalen Vektorraum sind n linear unabhängige Vektoren immer schon einen Basis.
>
> zu c) Mit dem Basiswechsel habe ich leider noch
> Schwierigkeiten. Das Prinzip hab ich verstanden, aber die
> Anwendung :-S
> Wie muss ich hier anfangen?
Stelle die Basiswechselmatrizen zwischen den Basen B und C und jeweils der Standardbasis des [mm] $\IR^4$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^2$ [/mm] auf. Danach musst du noch eine der beiden so gefundenen Matrizen invertieren um dann die Basiswechselformel anzuwenden. Ich helf dir mal bei einer Basiswechselmatrix, nämlich der von B in die Standardbasis S:
[mm] $T_S^B=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$
[/mm]
In der n-ten Spalte stehen also die Koordinaten des n-ten Basisvektors der Basis B bzgl. der Stanardbasis. Wie sieht dann die zweite Basiswechselmatrix, die von C in die Standardbasis des [mm] $\IR^2$, [/mm] aus?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für deine schnelle Antwort!
> > zu a und b) zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind,
> > ist kein Problem, aber wie macht man das mit dem
> > Erzeugendensystem???
> Es reicht bereits die lineare Unabhängigkeit. In einem
> n-dimesionalen Vektorraum sind n linear unabhängige
> Vektoren immer schon einen Basis.
Wann muss man denn das mit dem Erzeugendensystem zeigen? Nie?
[mm] T_S^C=\pmat{2 & 0 \\ 1 & 1 }
[/mm]
muss ich diese invertieren?
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Hallo melisa,
>
> Wann muss man denn das mit dem Erzeugendensystem zeigen?
> Nie?
Hier nicht. Kann aber durchaus sein, dass dazu mal ne Aufgabe kommt.
>
> [mm]T_{S_2}^C=\pmat{2 & 0 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
>
> muss ich diese invertieren?
Nein, eigentlich nicht... EDIT: Ja, brauchst du für die folgende Formel:
[mm] $[\varphi]_C^B=T_{C}^{S_2} [/mm] A [mm] T_{S_4}^{B}$, [/mm] wobei [mm] A=[\varphi]_{S_2}^{S_4}
[/mm]
[mm] S_2, S_4 [/mm] bezeichnen dabei die Standardbasen des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^4.
[/mm]
Nun brauchst du [mm] $[\varphi]_C^B$ [/mm] nur noch auszurechnen, die Matrizen auf der rechten Seite sind ja alle bekannt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 13.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Doch, Invertieren ist notwendig, denn $ [mm] T_{S_2}^C=\pmat{2 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] $ ist bekannt, für die Formel wird aber [mm] $T_{C}^{S_2}$ [/mm] benötigt, was genau die Inverse ist.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 13.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Du hast Recht, ich habe es sogar in der Formel geschrieben 
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 18.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
mir ist noch eine Frage eingefallen,
wenn ich statt [mm] T^C_S [/mm]
[mm] T^B_S [/mm] invertiert hätte, dann hätte ich nicht [mm] [\varphi]^B_C [/mm] sondern [mm] [\varphi]^C_B [/mm] ist das richtig?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> mir ist noch eine Frage eingefallen,
>
>
> wenn ich statt [mm]T^C_S[/mm]
> [mm]T^B_S[/mm] invertiert hätte, dann hätte ich nicht
> [mm][\varphi]^B_C[/mm] sondern [mm][\varphi]^C_B[/mm] ist das richtig?
Nicht wirklich, wir hatten doch die Formel $ [mm] [\varphi]_C^B=T_{C}^{S_2} [\varphi]_{S_2}^{S_4} T_{S_4}^{B} [/mm] $, wobei du [mm] $T_C^{S_2}$ [/mm] durch intertieren von [mm] $T_{S_2}^C$ [/mm] bestimmt hast.
Wenn du nun [mm] $T_{S_4}^{B}$ [/mm] invertiert hättest, dann hättest du die Basiswechselmatrix [mm] $T_B^{S_4}$ [/mm] erhalten. Du kannst aber [mm] $T_B^{S_4}, A=[\varphi]_{S_2}^{S_4}, T_{S_2}^C$ [/mm] gar nicht sinnvoll multiplizieren (schau dir die Basiswechselformel an).
Es gilt nur: [mm] $T_{S_2}^C [\varphi]_C^B T_B^{S_4} [/mm] = [mm] [\varphi]_{S_2}^{S_4} [/mm] = A $, aber du hattest ja [mm] $A\:$ [/mm] gegeben und [mm] $[\varphi]_C^B$ [/mm] gesucht und nicht andersrum.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ich habe
[mm] [\varphi]_C^B=(\pmat{\bruch{1}{2}&0\\ -\bruch{1}{2}&1})*(\pmat{ -1 & 2&1&0 \\ 0&3 & 4&2 }* \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1})
[/mm]
richtig?
Lg Melisa
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> ich habe
>
> [mm][\varphi]_C^B=(\pmat{\bruch{1}{2}&0\\ -\bruch{1}{2}&1})*(\pmat{ -1 & 2&1&0 \\ 0&3 & 4&2 }* \pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1})[/mm]
Sieht gut aus, jetzt musst du es nur noch ausrechnen 
Wie du dabei die Klammern setzt, ist übrigens egal: Matrixmultiplikation ist assoziativ.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 So 13.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok super danke für eure Hilfe!
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