Basis - Vektorraum - Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \IP_n [/mm] := [mm] \IR [x]_n [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n. Für [mm] x_0 ,x_1 ,...,x_n \in\ \IR [/mm] paarweise verschieden sei [mm] L_j \in \IP_n [/mm] definiert durch:
[mm] L_j [/mm] : [mm] \IR \to \IR, x\mapsto \produkt_{k \not=j,k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k}
[/mm]
Zeige: [mm] (L_0 ,...,L_n [/mm] ) bildet eine Basis von [mm] \IP_n [/mm] .
Hinweis: Bestimme die Funktionswerte von [mm] L_j [/mm] in den Stellen [mm] x_0 ,...,x_n [/mm] . |
Hallo liebe Leser.
Ich habe Probleme mit der eben geschilderten Aufgabe. Wie ich zeige, dass etwas eine Basis ist, ist klar (lineare Unabhängigkeit und evtl. Erzeugenden-System).
Aber ich weiß schon noch nicht ganz, wie ich den Hinweis zu verstehen habe. Die Funktionswerte von [mm] L_j [/mm] zu bestimmen heißt ja nichts anderes als
[mm] \produkt_{k \not=j,k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k}
[/mm]
auszuschreiben und wenn möglich, zu vereinfachen.
Ich schreibe euch mal meinen Ansatz für [mm] L_0 [/mm] und [mm] L_1 [/mm] :
[mm] L_0 [/mm] : [mm] x\mapto \produkt_{k\not=0 k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k} [/mm] = [mm] \produkt_{k\not=0 k=1}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k} [/mm] = [mm] \bruch{x-x_1}{x_0 -x_1} \* \bruch{x-x_2}{x_0 -x_2}\* [/mm] ... [mm] \* \bruch{x-x_n}{x_0 -x_n}
[/mm]
[mm] L_1 [/mm] : [mm] x\mapto \produkt_{k\not=1 k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k} [/mm] = [mm] \bruch{x-x_0}{x_1 -x_0} \* \bruch{x-x_2}{x_1 -x_2}\* [/mm] ... [mm] \* \bruch{x-x_n}{x_1 -x_n}
[/mm]
Jetzt weiß ich leider nicht wirklich, wie ich hier noch etwas vereinfachen könnte. Man kann ein paar Sachen ausklammern, aber einfacher würde dadurch nichts werden.
Könntet ihr mir einen Tipp geben?
Liebe Grüße,
euer Roughi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Sa 03.12.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
verifiziere
[mm]L_i(x_k)=\delta_{ik}[/mm] (Kronecker-Delta). Das heißt,
[mm]L_i(x_k)=\delta_{ik}=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } i=k \\
0, & \mbox{fuer } i\neq{k} \end{cases}[/mm].
Hierbei handelt es sich meines Wissens um die Langrange-Interpolynome.
Jetzt musst du gucken, was das für die Polynome [mm] $P_n$, [/mm] die sich ja mit Hilfe der [mm] $L_i$ [/mm] darstellen lassen, bedeutet.
Gruß
barsch
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Inwiefern hilft mir denn jetzt das Kronecker Delta? Falls die Indices gleich sind wird der Nenner null, daher funktioniert das nicht.
Ich habe festgestellt, dass ich die Aufgabe noch nicht wirklich verstanden habe, deshalb hätte ich gerne erst noch Vorgehens- und Verständnis-Fragen
Die Funktionswerte auszurechnen bedeutet doch wie ich es gemacht habe, jeweils für alle [mm] L_j [/mm] die Terme aus zuschreiben und möglichst zu vereinfachen oder?
Schaffe ich es, die Terme wirklich zu vereinfachen, sind dann nur noch die Basiseigenschaften zu überprüfen oder? Dazu habe ich meine [mm] L_j [/mm] als einzelne Basiselemente zu identifizieren oder?
Noch ne Frage, was bedeutet der Vektorraum der Polynome?
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> Sei [mm]\IP_n[/mm] := [mm]\IR [x]_n[/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad
> [mm]\le[/mm] n. Für [mm]x_0 ,x_1 ,...,x_n \in\ \IR[/mm] paarweise
> verschieden sei [mm]L_j \in \IP_n[/mm] definiert durch:
>
> [mm]L_j[/mm] : [mm]\IR \to \IR, x\mapsto \produkt_{k \not=j,k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k}[/mm]
>
> Zeige: [mm](L_0 ,...,L_n[/mm] ) bildet eine Basis von [mm]\IP_n[/mm] .
> Hinweis: Bestimme die Funktionswerte von [mm] $L_j$ [/mm] in den Stellen
> [mm] $x_0 ,...,x_n$ [/mm] .
Hallo,
ich erlaube mir mal, das Unterste zuoberst zu krempeln:
> Noch ne Frage, was bedeutet der Vektorraum der Polynome?
Diese Frage muß natürlich zuerst beantwortet werden. Ohne diese Kenntnis kannst Du die Aufgabe nicht lösen, denn das Ganze spielt ja im Vektorraum der Polynome.
Mal generell: wenn es in Aufgaben vorkommt, daß irgendwelche Begriffe o.ä. nicht klar sind, braucht man überhaupt nicht mit Lösungsversuchen anfangen - sie sind zum Scheitern verurteilt.
Mal in Kürze das, was in der Vorlesung dran war - lies es unbedingt nach!
Ihr hattet betrachtet die Menge [mm] Abb(\IR, \IR), [/mm] welche die Abbildungen aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] enthält.
Ihr habt zwei Verknüpfungen definiert, und zwar eine Addition, welche aus zwei Funktionen eine neue Funktion macht, und eine Multiplikation von Funktionen mit reellen Zahlen, deren Ergebnis wieder eine Funktion ist.
Und zwar ist für alle [mm] f,g\in Abb(\IR, \IR) [/mm] und alle [mm] \lambda \in \IR [/mm]
f+g definiert durch (f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle [mm] x\in \IR, [/mm]
und
[mm] \lambda [/mm] f durch [mm] (\lambda f)(x):=\lambda [/mm] f(x) für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Ihr habt gezeigt, daß die Menge [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet.
Dazu waren sämtliche Axiome zu prüfen.
Als nächstes wurde eine bestimmte Art von Funktionen betrachtet, die Polynomfunktionen vom Höchstgrad n, kurz: Polynome vom Höchstgrad n.
Dies sind Funktionen mit einer Funktionsvorschrift [mm] p(x):=a_nx^n+...+a_1x^1+a_0. [/mm] die [mm] a_i [/mm] sind reelle Zahlen.
Die Menge, welche all diese Polynome enthält, ist die Menge [mm] P_n.
[/mm]
Ihr habt durch prüfen der Unterraumaxiome gezeigt, daß sie ein Unterraum von [mm] Abb(\IR, \IR) [/mm] ist. Also ist die ein Vektorraum.
Ihr habt zeigen können, daß die n+1 Polynome 1, [mm] x,x^2,...,x^n [/mm] eine Basis von [mm] P_n [/mm] sind. Der Vektorraum der Polynome hat also die Dimension n+1.
Dir sind nun in Deiner übungsaufgabe n+1 Polynome vorgesetzt mit
[mm] $L_j(x):=\produkt_{k \not=j,k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j -x_k}$ [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Von diesen sollst Du nun zeigen, daß sie eine Basis des [mm] P_n [/mm] sind.
Da die Dimension von [mm] P_n [/mm] bekannt ist, nämlich n+1, und man hier n+1 Vektoren (=Elemente des gerade betrachteten Vektorraumes) vorliegen hat, recht es zu zu zeigen,
daß die [mm] L_j [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] P_n [/mm] sind, man alo jedes Polynom vom Höchstgrad n als Linearkombination der [mm] L_j [/mm] schreiben kann,
oder
daß die [mm] L_j [/mm] linear unabhängig sind.
Ich würde mal sagen, daß letzteres bequemer ist.
> Inwiefern hilft mir denn jetzt das Kronecker Delta?
Kronecker-Delta "hilft" Dir gar nicht.
Es ist einfach eine Schreibweise, um einen Sachverhalt kurz aufzuschreiben, und Physiker mögen das besonders.
Deine Chefs rieten Dir im hinweis, mal die Funktionswerte dieser Funktionen an den Stellen [mm] x_0, x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] anzuschauen, und
barsch hat Dir mitgeteilt, daß
$ [mm] L_i(x_k)=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } i=k \\ 0, & \mbox{fuer } i\neq{k} \end{cases} [/mm] $.
Dies hast Du offenbar nicht verstanden:
> Falls
> die Indices gleich sind wird der Nenner null, daher
> funktioniert das nicht.
Moment! Schreib Dir jetzt mal
[mm] $L_0(x):=\produkt_{k \not=0,k=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_0 -x_k}$ [/mm] hin, schreib also das Produkt aus. (Nicht etwa ausmultiplizieren!)
Was hast Du dastehen?
Berechne nun den Funktionswert an den Stellen [mm] x=x_0, x=x_1, x=x_2.
[/mm]
Was stellst Du fest?
Nimm nun [mm] L_1 [/mm] und tue das Gleiche. Und?
Jetzt [mm] L_2. [/mm] Danach hast Du es geschnallt.
So.
Nun zur linearen Unabhängigkeit.
Es soll nun gezeigt werden, daß die Vektoren (=Elemente unseres Vektorraumes) [mm] L_0, L_1, [/mm] l-2, ..., [mm] L_n [/mm] linear unabhängig sind.
Was ist hierfür zu zeigen?
Wenn bis hierher alles grob klar ist, kann es weitergehen.
> Ich habe festgestellt, dass ich die Aufgabe noch nicht
> wirklich verstanden habe,
Diese Erkenntnis ist wichtig.
Ich hoffe, daß die Aufgabe jetzt klarer ist.
> deshalb hätte ich gerne erst
> noch Vorgehens- und Verständnis-Fragen
>
> Die Funktionswerte auszurechnen bedeutet doch wie ich es
> gemacht habe, jeweils für alle [mm]L_j[/mm] die Terme aus
> zuschreiben und möglichst zu vereinfachen oder?
Das ist zu mühsam. Setze einfach für x die Stelle ein, für die Du Dich interessierst. Du wirst sehen, daß es nett ist.
(Wenn wir hätten f(x)=(x-4)(x+3)(x-7) wärst Du doch auch nicht so blöd, alles auszumultiplizieren, weil ich den Funktionswert an der Stelle x=2 wissen möchte, oder?)
>
> Schaffe ich es, die Terme wirklich zu vereinfachen, sind
> dann nur noch die Basiseigenschaften zu überprüfen oder?
> Dazu habe ich meine [mm]L_j[/mm] als einzelne Basiselemente zu
> identifizieren oder?
s.o.
Polynome vom Höchstgrad n, also Elemente von [mm] P_n, [/mm] sind sie offensichtlich, und wenn Du die lineare Unabhängigkeit zeigen kannst, hast Du gesiegt.
Gruß v. Angela
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Vielen vielen Dank für diese unglaublich gute Antwort!!!
Vorab, ich werde Deinen allgemeinen Rat befolgen, was Begrifflichkeiten von Aufgabenstellungen betrifft!:)
Also ich habe mir das jetzt angesehen und es fällt deutlich auf, das was barsch gesagt hat.
[mm] L_j(x_i)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
So, jetzt weiß ich nicht genau ob mein Gedankengang richtig ist, weil es kommt mir ein wenig zu einfach vor.
Ich habe jetzt festgestellt wie die einzelnen [mm] L_j [/mm] ´s aussehen und von den x jeweils abhängen.
Jetzt stell ich mir die einzelnen [mm] L_j [/mm] jeweils so vor:
[mm] L_0 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ .\\ .\\ . \\ 0 } [/mm] und [mm] L_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ .\\ .\\ . \\ 0 } [/mm] ... [mm] L_n [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ .\\ .\\ . \\ 1 }. [/mm]
Wenn das so stimmt ist die lineare Unabhängigkeit kein Problem mehr.
Wichtig ist noch, dass jeder Vektor hier n+1 Einträge hat. Genauso dass es insgesamt n+1 Vektoren gibt (wie angela auch schon gesagt hat), sowie dass daher die Dimension n+1 ist. Die lineare Unabhängigkeit sieht man so nun sofort und ebenfalls, das dies ein Erzeugendensystem wäre (müsste ich noch nachweisen natürlich, aber da dies offensichtlich sogar eine Standardbasis wäre, macht es sehr einfach). Vorausgesetzt, mein Gedankengang stimmt?!
Liebe Grüße,
euer Roughi
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Hallo,
danke für Deine nette PN.
>
> Also ich habe mir das jetzt angesehen und es fällt
> deutlich auf, das was barsch gesagt hat.
>
> [mm]L_j(x_i)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\
0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Gut, dann ist das geklärt.
Die Lagrangepolynome sind halt pfiffig gemacht.
>
> So, jetzt weiß ich nicht genau ob mein Gedankengang
> richtig ist, weil es kommt mir ein wenig zu einfach vor.
>
> Ich habe jetzt festgestellt wie die einzelnen [mm]L_j[/mm] ´s
> aussehen und von den x jeweils abhängen.
>
> Jetzt stell ich mir die einzelnen [mm]L_j[/mm] jeweils so vor:
>
> [mm]L_0[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
.\\
.\\
. \\
0 }[/mm] und [mm]L_1[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
.\\
.\\
. \\
0 }[/mm] ... [mm]L_n[/mm] = [mm]\vektor{ 0 \\
0 \\
0 \\
.\\
.\\
. \\
1 }.[/mm]
>
> Wenn das so stimmt ist die lineare Unabhängigkeit kein
> Problem mehr.
Hm.
So geht das natürlich nicht, denn die [mm] L_j [/mm] sind Funktionen und ganz sicher nicht gleich irgendwelchen Spaltenvektoren des [mm] K^n.
[/mm]
Und trotzdem wirst Du sehen, daß Du "irgendwie" gar nicht soooo weit neben der Spur bist.
Du hast es zwar leider nicht ausdrücklich hingeschrieben, aber um die lineare Unabhängigkeit der [mm] L_j [/mm] zu zeigen, ist ja zu zeigen, daß aus
[mm] \lambda_0L_0+\lambda_1L_1+...+\lambda_nL_n=Nullfunktion [/mm] folgt,
daß es nicht anders sein kann, als daß [mm] \lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n=0.
[/mm]
(So zeigt man halt die lineare Unabhängigkeit endlich vieler Vektoren.)
Also los:
Seien [mm] \lambda_0,...,\lambda_n\in \IR [/mm] mit
[mm] \lambda_0L_0+\lambda_1L_1+...+\lambda_nL_n=Nullfunktion
[/mm]
[Kurze Meditation: wir haben hier die Gleichheit zweier Funktionen, denn rechts und links des Gleichheitszeichens steht eine Funktion.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches übereinstimmen. Mit dieser Erkenntnis kann es weitergehen.]
==> für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] (\lambda_0L_0+\lambda_1L_1+...+\lambda_nL_n)(x)=0
[/mm]
<==>
[mm] \lambda_0L_0(x)+...+\lambda_nL_n(x)=0.
[/mm]
[Nächster Meditationsstop: wenn dies für alle x gilt, dann gilt es insbesondere, wenn man [mm] x_0, x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] einsetzt. Hieraus ergeben sich n+1 Gleichungen, nämlich?]
==> ???
Wenn du diese Gleichungen hast, dann hast du auch schnell die [mm] \lambda_i.
[/mm]
Das Gleichungssystem könntest Du auch vektoriell schreiben, und dann kommen tatsächlich die von Dir genannten Vektoren vor.
Aber schreib's erstmal normal auf.
Gruß v. Angela
>
> Wichtig ist noch, dass jeder Vektor hier n+1 Einträge hat.
> Genauso dass es insgesamt n+1 Vektoren gibt (wie angela
> auch schon gesagt hat), sowie dass daher die Dimension n+1
> ist. Die lineare Unabhängigkeit sieht man so nun sofort
> und ebenfalls, das dies ein Erzeugendensystem wäre
> (müsste ich noch nachweisen natürlich, aber da dies
> offensichtlich sogar eine Standardbasis wäre, macht es
> sehr einfach). Vorausgesetzt, mein Gedankengang stimmt?!
>
> Liebe Grüße,
>
> euer Roughi
>
>
>
>
>
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Also, dann müsste es doch wie folgt aussehen:
Meine bisher gewonnene Erkenntnis war:
[mm] L_j (x_i [/mm] ) = [mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] und das kennzeichne ich mal durch (*)
So. Für die lineare Unabhängigkeit gilt:
[mm] \lambda_0 L_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 L_1 [/mm] +...+ [mm] \lambda_n L_n [/mm] = 0 mit [mm] \lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n \in\ \IR
[/mm]
[mm] \gdw \lambda_0 L_0 [/mm] (x) [mm] +\lambda_1 L_1(x) [/mm] + ... + [mm] \lambda_n L_n(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in\ \IR
[/mm]
= [mm] \lambda_0 \produkt_{k=1,k\not=0}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j-x_k} [/mm] + [mm] \lambda_1 \produkt_{k=0,k\not=1}^{n} \bruch{x-x_k}{x_j-x_k}+...+\produkt_{k=0,k\not=n}^{n-1} \bruch{x-x_k}{x_j-x_k}=0
[/mm]
mit (*) folgt = [mm] \lambda_0 L_0(x_0) [/mm] + [mm] \lambda_1 L_1(x_1) [/mm] + ... [mm] +\lambda_n L_n(x_n)=0
[/mm]
= [mm] \lambda_0 \vektor{1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_1 \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0} [/mm] +...+ [mm] \lambda_n \vektor{0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ 1}=0
[/mm]
= [mm] \vektor{\lambda_0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ \lambda_1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0} [/mm] +...+ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ \lambda_n}=0
[/mm]
Hier raus erhalte ich ein Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen:
(1) [mm] \lambda_0 [/mm] + 0 + 0 + ... + 0 = 0 => [mm] \lambda_0 [/mm] = 0
(2) 0 + [mm] \lambda_1 [/mm] + 0 + 0 + ... + 0 = 0 => [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
.
.
.
(n+1) 0 + 0 + ... + 0 + [mm] \lambda_n=0 [/mm] => [mm] \lambda_n=0
[/mm]
=> [mm] \lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n=0
[/mm]
=> Lineare Unabhängigkeit
=> [mm] (L_0,L_1,...,L_n) [/mm] bilden eine Basis von [mm] \IP_n
[/mm]
stimmt das so?
Ich hätte noch eine Frage, wie würde man hier denn die Eigenschaft des Erzeugendensystem nachweisen?
Liebe Grüße,
euer Roughi
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> [mm]L_j (x_i[/mm] ) = [mm]=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\
0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> und das kennzeichne ich mal durch (*)
>
> So. Für die lineare Unabhängigkeit gilt:
>
> [mm]\lambda_0 L_0[/mm] + [mm]\lambda_1 L_1[/mm] +...+ [mm]\lambda_n L_n[/mm] = 0 mit
> [mm]\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n \in\ \IR[/mm]
XXX> [mm]\gdw \lambda_0 L_0[/mm](x) [mm]+\lambda_1 L_1(x)[/mm] + ... + [mm]\lambda_n L_n(x)=0 \forall[/mm]
> x [mm]\in\ \IR[/mm]
Hallo,
soweit stimme ich zu.
>
> mit (*) folgt = [mm]\lambda_0 L_0(x_0)[/mm] + [mm]\lambda_1 L_1(x_1)[/mm] + ... [mm]+\lambda_n L_n(x_n)=0[/mm]
Neiiiiin!
Was machst Du denn da?
EDIT: die Gleichung stimmt schon irgendwie, aber wo die jetzt warum herkommt, und zu was sie gut sein soll, erschließt sich nicht.
Wenn Du die Funktion f(x)=sin(x)+7x hast, und die Funktionswerte für x=27 und x=52 berechnen sollst, dann setzt du doch auch nicht fürs eine x die 27 ein und fürs andere die 52, oder?
Wie gesagt: da die angekreuzte Gleichung für alle x gilt, gilt sie für [mm] x_0, x_1, [/mm] ..., [mm] x_n.
[/mm]
Es folgt also
[mm] $\lambda_0 L_0(x_0)$ [/mm] + [mm] $\lambda_1 L_1(x_0)$ [/mm] + ... [mm] $+\lambda_n L_n(x_0)=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_0 L_0(x_1)$ [/mm] + [mm] $\lambda_1 L_1(x_1)$ [/mm] + ... [mm] $+\lambda_n L_n(x_1)=0$
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
...
Nun verwende [mm] (\*). [/mm] Was steht da?
> mit (*) folgt = [mm]\lambda_0 L_0(x_0)[/mm] + [mm]\lambda_1 L_1(x_1)[/mm] + ... [mm]+\lambda_n L_n(x_n)=0[/mm]
> = [mm]\lambda_0 \vektor{1 \\
0 \\
. \\
. \\
0}[/mm]
> + [mm]\lambda_1 \vektor{0 \\
1 \\
0 \\
. \\
. \\
0}[/mm] +...+
> [mm]\lambda_n \vektor{0 \\
0 \\
. \\
. \\
0 \\
1}=0[/mm]
> =
> [mm]\vektor{\lambda_0 \\
0 \\
. \\
. \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\
\lambda_1 \\
0 \\
. \\
. \\
0}[/mm]
> +...+ [mm]\vektor{0 \\
0 \\
. \\
. \\
0 \\
\lambda_n}=0[/mm]
Nochmal: weder die Funktionen [mm] L_j [/mm] noch die Funktionswerte sind irgendwelche n+1-Tupel!
>
> Hier raus erhalte ich ein Gleichungssystem mit n+1
> Gleichungen:
>
> (1) [mm]\lambda_0[/mm] + 0 + 0 + ... + 0 = 0 => [mm]\lambda_0[/mm] = 0
> (2) 0 + [mm]\lambda_1[/mm] + 0 + 0 + ... + 0 = 0 => [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> .
> .
> .
> (n+1) 0 + 0 + ... + 0 + [mm]\lambda_n=0[/mm] => [mm]\lambda_n=0[/mm]
Ja. Obgleich dort, wo Schrott stand, ich fast einen Infarkt bekommen hätte, hast Du das richtige GS, welches aus meiner Rechnung folgt und ziehst auch die richtigen Schlüsse:
>
> => [mm]\lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
> => Lineare Unabhängigkeit
> => [mm](L_0,L_1,...,L_n)[/mm] bilden eine Basis von [mm]\IP_n[/mm]
>
> stimmt das so?
>
> Ich hätte noch eine Frage, wie würde man hier denn die
> Eigenschaft des Erzeugendensystem nachweisen?
Hm.
Das wäre möglicherweise unbequem.
Du müßtest zeigen, daß Du für jedes Polynom [mm] p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0
[/mm]
passende (von den [mm] a_i [/mm] abhängende) Zahlen [mm] \lambda_i [/mm] findest mit
[mm] \lambda_0L_0(x)+...+\lambda_nL_n(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0.
[/mm]
Ich würde mich hiermit nicht aufhalten wollen und Erzeugendensystem lieber an gemütlicheren Beispielen üben.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße,
>
> euer Roughi
>
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Entschuldige, wollte dir keinen Infarkt bescheren ^^:).
Ich habe jetzt zum Glück auch den Satz bzw. das Beispiel gefunden, mit dem es ausreicht die lineare Unabhängigkeit zu zeigen. Ich kam schon ein wenig ins Schwitzen die Eigenschaften des Erzeugendensystems doch zeigen zu müssen.
Also noch einmal
[mm] L_j (x_i [/mm] ) = [mm] =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm] und das kennzeichne ich mal durch (*)
So. Für die lineare Unabhängigkeit gilt:
[mm] \lambda_0 L_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 L_1 [/mm] +...+ [mm] \lambda_n L_n [/mm] = 0 mit [mm] \lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n \in\ \IR
[/mm]
[mm] \gdw \lambda_0 L_0 [/mm] (x) [mm] +\lambda_1 L_1(x) [/mm] + ... + [mm] \lambda_n L_n(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in\ \IR
[/mm]
Es folgt also:
[mm] \lambda_0L_0(x_0) [/mm] + [mm] \lambda_1L_1(x_0) [/mm] + . . . + [mm] \lambda_nL_n(x_0) [/mm] = 0
[mm] \lambda_0L_0(x_1) [/mm] + [mm] \lambda_1L_1(x_1) [/mm] + . . . + [mm] \lambda_nL_n(x_1) [/mm] = 0
.
.
.
[mm] \lambda_0L_0(x_n) [/mm] + [mm] \lambda_1L_1(x_n) [/mm] + . . . + [mm] \lambda_nL_n(x_n) [/mm] = 0
Mit (*) folgt:
[mm] \lambda_0L_0(x_0) [/mm] + 0 + 0 + . . . + 0 = 0
0 + [mm] \lambda_1L_1(x_1) [/mm] + 0 + . . . + 0 = 0
.
.
.
0 + 0 + . . . + 0 + [mm] \lambda_nL_n(x_n) [/mm] = 0
und wieder rum mit (*) folgt:
[mm] \lambda_0 [/mm] * 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = 0 => [mm] \lambda_0 [/mm] = 0
0 + [mm] \lambda_1 [/mm] * 1 + 0 + . . . + 0 = 0 => [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
.
.
.
0 + 0 + . . . + 0 + [mm] \lambda_n [/mm] * 1 = 0 => [mm] \lambda_n [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n=0
[/mm]
=> Lineare Unabhängigkeit
=> [mm] (L_0,L_1,...,L_n) [/mm] bilden eine Basis von [mm] \IP_n
[/mm]
stimmt das so jetzt?
Liebe Grüße.
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> Also noch einmal
>
> [mm]L_j (x_i[/mm] ) = [mm]=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \mbox{ } \\
0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> und das kennzeichne ich mal durch (*)
>
> So. Für die lineare Unabhängigkeit gilt: ist zu zeigen:
[mm] $\lambda_0 L_0$ [/mm] + [mm] $\lambda_1 L_1$ [/mm] +...+ [mm] $\lambda_n L_n$ [/mm] = 0 ==> [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0
[/mm]
Es sei also
> [mm]\lambda_0 L_0[/mm] + [mm]\lambda_1 L_1[/mm] +...+ [mm]\lambda_n L_n[/mm] = 0 mit
> [mm]\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n \in\ \IR[/mm]
> [mm]\gdw \lambda_0 L_0[/mm]
> (x) [mm]+\lambda_1 L_1(x)[/mm] + ... + [mm]\lambda_n L_n(x)=0 \forall[/mm]
> x [mm]\in\ \IR[/mm]
>
> Es folgt also:
>
> [mm]\lambda_0L_0(x_0)[/mm] + [mm]\lambda_1L_1(x_0)[/mm] + . . . +
> [mm]\lambda_nL_n(x_0)[/mm] = 0
> [mm]\lambda_0L_0(x_1)[/mm] + [mm]\lambda_1L_1(x_1)[/mm] + . . . +
> [mm]\lambda_nL_n(x_1)[/mm] = 0
> .
> .
> .
> [mm]\lambda_0L_0(x_n)[/mm] + [mm]\lambda_1L_1(x_n)[/mm] + . . . +
> [mm]\lambda_nL_n(x_n)[/mm] = 0
>
>
> Mit (*) folgt:
>
> [mm]\lambda_0L_0(x_0)[/mm] + 0 + 0 + . . . + 0 = 0
> 0 + [mm]\lambda_1L_1(x_1)[/mm] + 0 + . . . + 0 = 0
> .
> .
> .
> 0 + 0 + . . . + 0 + [mm]\lambda_nL_n(x_n)[/mm] = 0
>
>
> und wieder rum mit (*) folgt:
>
> [mm]\lambda_0[/mm] * 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = 0 => [mm]\lambda_0[/mm] = 0
> 0 + [mm]\lambda_1[/mm] * 1 + 0 + . . . + 0 = 0 => [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> .
> .
> .
> 0 + 0 + . . . + 0 + [mm]\lambda_n[/mm] * 1 = 0 => [mm]\lambda_n[/mm] = 0
>
>
> => [mm]\lambda_0=\lambda_1=...=\lambda_n=0[/mm]
> => Lineare Unabhängigkeit
> => [mm](L_0,L_1,...,L_n)[/mm] bilden eine Basis von [mm]\IP_n[/mm]
>
> stimmt das so jetzt?
Ja, jetzt ist es richtig.
Ich würde am Schluß ein paar mehr Worte dazu sagen, daß die [mm] L_j [/mm] eine Basis bilden - sonst schreibt der Korrektor rot "Warum?" und man bekommt Punktabzug.
Irgendwie so: [mm] (L_0,...,L_n) [/mm] ist linear unabhängig. Die Dimension von [mm] P_n [/mm] ist lt. Vorlesung =3, also ist [mm] (L_0,...,L_n) [/mm] nach Satz XYZ eine Basis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mo 05.12.2011 | | Autor: | RoughNeck |
Hallo:).
Habe ich gemacht, vielen Dank für die tollen und auch allgemeinen Ratschläge angela!
Liebe Grüße,
euer Roughi
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