Basis B von U1 ∩ U2 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:32 Di 04.04.2017 | | Autor: | goerimx |
| Aufgabe | Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
U2 := {⃗x∈R5 |−x2 +2x3 +2x4 =0 ∧ 2x1 +x2 −2x5 =0}
a) Bestimmen Sie eine Basis B1 von U1 und eine Basis B2 von U2.
b) Bestimmen Sie eine Basis B von U1 ∩ U2. |
Hallo zusammen,
Aufg. a konnte ich problemlos lösen und habe eine Basen für U1 und U2 gefunden.
Problematisch wird es allerdings bei dem Durchschnitt U1 ∩ U2 und bei
U1 +U2.
Welche Matrix dient mir hier als Grundlage?
Für U1 ∩ U2 hatte ich überlegt die Basen von U1 und U2 in eine Matrix zu "packen" und auf ZSF zu bringen um so die Basis ablesen(1er Trick oder mittels frei wählbarer Variablen) zu können, dies scheint mir jedoch nicht richtig zu sein.
U1 + U2 müsste ja eigentlich U1 und U2 in einer Matrix sein, diese auf ZSF gebracht, macht es möglich die Basis abzulesen(1er Trick oder mittels frei wählbarer Variablen).
Soweit mein Verständnis von dieser Aufgabe, mehrfaches Rechnen bringt mich zu dem Entschluss das ich nicht richtig liegen kann.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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> Es seien folgende Unterräume des R5 gegeben:
> U1 := {⃗x∈R5 |2x1 −x2 +2x3 =0 ∧ −x1 +x4 =0}
> U2 := {⃗x∈R5 |−x2 +2x3 +2x4 =0 ∧ 2x1 +x2 −2x5
> =0}
> a) Bestimmen Sie eine Basis B1 von U1 und eine Basis B2
> von U2.
> b) Bestimmen Sie eine Basis B von U1 ∩ U2.
> Hallo zusammen,
>
> Aufg. a konnte ich problemlos lösen und habe eine Basen
> für U1 und U2 gefunden.
>
> Problematisch wird es allerdings bei dem Durchschnitt U1
> ∩ U2 und bei
> U1 +U2.
>
> Welche Matrix dient mir hier als Grundlage?
>
> Für U1 ∩ U2 hatte ich überlegt die Basen von U1 und U2
> in eine Matrix zu "packen" und auf ZSF zu bringen um so die
> Basis ablesen(1er Trick oder mittels frei wählbarer
> Variablen) zu können, dies scheint mir jedoch nicht
> richtig zu sein.
>
> U1 + U2 müsste ja eigentlich U1 und U2 in einer Matrix
> sein, diese auf ZSF gebracht, macht es möglich die Basis
> abzulesen(1er Trick oder mittels frei wählbarer
> Variablen).
>
> Soweit mein Verständnis von dieser Aufgabe, mehrfaches
> Rechnen bringt mich zu dem Entschluss das ich nicht richtig
> liegen kann.
Hallo,
zeig doch einfach mal, was Du gemacht hast.
Evtl. kann man weiterhelfen, ohne die Matrizen selbst zu tippen und umzuformen...
LG Angela
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 04.04.2017 | | Autor: | goerimx |
Also ich habe für U1 folgende Basen:
1 0 0
2 2 0
0 1 0
1 0 0
0 , 0 , 1
und für U2:
-1 -1 1
2 2 0
1 0 0
0 1 0
0 , 0 , 1
Wie ich jetzt weitermachen muss um Basis B von U1 ∩ U2 bzw
Basis B von U1 + U2 weiß ich leider nicht genau, meine Vermutung für Basis B von U1 ∩ U2 ist, die oben genannten Basen in eine Matrix zu schreiben und dann mittels ZSF auf die gesuchte Basis zu kommen.
Aber irgendwie scheint das nicht der richtige Weg zu sein.
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> Also ich habe für U1 folgende Basen:
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> 1 0 0
> 2 2 0
> 0 1 0
> 1 0 0
> 0 , 0 , 1
>
> und für U2:
>
> -1 -1 1
> 2 2 0
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 , 0 , 1
>
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> Wie ich jetzt weitermachen muss um Basis B von U1 ∩ U2
> bzw
> Basis B von U1 + U2 weiß ich leider nicht genau, meine
> Vermutung für Basis B von U1 ∩ U2 ist, die oben
> genannten Basen in eine Matrix zu schreiben und dann
> mittels ZSF auf die gesuchte Basis zu kommen.
Hallo,
dieser Weg funktioniert.
Mach doch mal, zeig Deine reduzierte ZSF, und dann kann man Dir sagen, was Du wie dort ablesen kannst.
LG Angela
>
> Aber irgendwie scheint das nicht der richtige Weg zu sein.
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 04.04.2017 | | Autor: | Stala |
Hallo,
ich habe deine Basen U1, U2 nicht überprüft. Um den Schnitt zu berechnen, musst du alle Vektoren w finde für die gilt: w [mm] \in U_1 [/mm] und w [mm] \in U_2
[/mm]
Du musst also alle Lösungen des Gleichungssystems:
a [mm] \vektor{1 \\ 2 \\0 \\ 1 \\0 } [/mm] + b [mm] \vektor{0 \\ 2 \\1 \\ 0 \\0 } [/mm] + c [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0 \\ 0 \\1 } [/mm] = e [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\1 \\ 0 \\0 } [/mm] + f [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\0 \\ 1 \\0 } [/mm] + g [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0\\ 0 \\1 } [/mm]
Hast du dann a,b,c oder e,f,g ermittelt, so bilde die Linearkombinationen und der erhaltene Vektor ist dann ein Basisvektor.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Mi 05.04.2017 | | Autor: | goerimx |
Ich habe es endlich!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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