Basis Beweise Teil 2 < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 So 30.09.2007 | | Autor: | Ilcoron |
| Aufgabe | Zeige, dass für Mengen A, B [mm] \subset [/mm] X gilt:
X \ (A [mm] \cup [/mm] B) = (X \ A) [mm] \cap [/mm] (X \ B) |
Eine weitere Frage vom selben Arbeitsblatt.
Die folgende Aufgabe die analog zu dieser ist möchte ich dann sleber lösen.
X \ (A [mm] \cup [/mm] B)
= {x : x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)}
= {x : (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)}
= (X \ A) [mm] \cup [/mm] (X \ B)
....
....
....
mist
was soll ich sagen? da ist doch irgendwo was schief gelaufen....
aber ich finde nicht was.
auch jetzt bin ich sehr ratlos, aber immerhin schon etwas weniger ratlos als bei der ersten aufgabe.
hier ist es glaube ich nciht ein so großer fehler.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 So 30.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das geht so nicht. Wenn man [mm] \cup [/mm] mit [mm] \vee [/mm] und [mm] \cap [/mm] mit [mm] \wedge [/mm] austauscht, kommt man wirklich nicht weiter. Viel mehr soll man so was machen:
Zu Zeigen: [mm]X\backslash (A\cup B)\subset (X\backslash A)\cap (X\backslash B)[/mm].
1. Fall: [mm]X\backslash (A\cup B)=\emptyset[/mm] - i.O., da die leere Menge per Definition Teilmenge jeder Menge ist.
2. Fall: [mm]x\in X\backslash (A\cup B)[/mm].
Daraus folgt:
a) [mm] x\in [/mm] X;
b) [mm] x\not\in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\in X\backslash [/mm] A
c) [mm] x\not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in X\backslash [/mm] B
Da man die Rechnung für ein beliebiges [mm]x\in X\backslash (A\cup B)[/mm] durchgeführt hat, folgt aus b) und c) die Behauptung.
Jetzt darfst du die [mm] \supset [/mm] Richtung zeigen.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 30.09.2007 | | Autor: | Mumrel |
Holla,
also ich denke durchaus dass man das so machen kann.
Dein fehler liegt hier:
> X \ (A [mm] \cup [/mm] B)
> = {x : x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \red{\vee} [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)}
Also wenn du es so machen willst denke ich würde das so gehen:
(wieder beide Richtungen in einem, aber Angela hat mit dem was sie sagt schon recht, nur aus zeitgründen mach ich es jetzt so)
X \ (A [mm] \cup [/mm] B)
= {e| e [mm] \in [/mm] X und e [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)}
= {e| e [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] e [mm] \not\in [/mm] A [mm] \green{\wedge} [/mm] e [mm] \not\in [/mm] B }
= {e| [mm] \green{e \in X} \wedge [/mm] e [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] e [mm] \not\in [/mm] A [mm] \green{\wedge} [/mm] e [mm] \not\in [/mm] B } (wegen A [mm] \wedge [/mm] A = A, "Idempotenz")
= {e| (e [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] e [mm] \not\in A)\wedge (\green{e \in X}\wedge [/mm] e [mm] \not\in [/mm] B) } (Kommutativität von [mm] \wedge, [/mm] Umordnen)
= (X \ A) [mm] \cap [/mm] (X \ B)
Dein Fehler war dass du das DeMorgan falsch angewendet hast:
[mm]\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B [/mm], also sowohl die Literale, als auch der Junktor wird "umgedreht"
Dieser Beweis geht in der Aussagenlogik wieder über die Wahrheitstabelle.
Hoffe das stimmt alles,
Grüße Murmel
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