Basis(Bild(A)) bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax=b mit
A= [mm] \begin{pmatrix}
8 & -2 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 1 & -4 & 1 & -2 \\
2 & 1 & 0 & -4 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
b= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -10 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
1) geben Sie jeweils eine Basis für das Bild und für den Kern von A an. Geben sie die Dimension dieser Unterräume an.
2) Berechnen sie die allgemeine lösung des gleichungssystems |
hallo!
meine einzige frage zu diesem beispiel lautet: wie kann ich die basis für das Bild eindeutig bestimmen?
dimensionen von kern und des bildes sind kein problem, genauso wenig wie die bestimmung des kerns und der allgemeinen lösung.
nach dem Gaußalgorithmus komme ich auf folgende Matrix:
(1/20)* [mm] \begin{pmatrix}
20 & 0 & 0 & 0 & -2 & ; -14 \\
0 & 20 & 0 & -80 & 4 & ; 48 \\
0 & 0 & 20 & -25 & 11 & ; 62
\end{pmatrix}
[/mm]
da dim(Kern(A))=2 -> dim(Bild(A))=3 (Matrix ist unterbestimmt)
laut Uni-Skript besteht die Basis des Bildes nun aus 3 linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. srich:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
oder sind es doch die spaltenvektoren der Ausgangsmatrix A?
also: [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Gibt es eine genauere Methode die Basis des Bildes von A genauer zu bestimmen ? Im Skript finde ich leider nichts.
LG Scherzkrapferl
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ps: allgemeine lösung besteht aus der partikulärlösung + 2parametrige lösungsschar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax=b mit
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}
8 & -2 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 1 & -4 & 1 & -2 \\
2 & 1 & 0 & -4 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> b= [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -10 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> 1) geben Sie jeweils eine Basis für das Bild und für den
> Kern von A an. Geben sie die Dimension dieser Unterräume
> an.
> 2) Berechnen sie die allgemeine lösung des
> gleichungssystems
> hallo!
>
> meine einzige frage zu diesem beispiel lautet: wie kann ich
> die basis für das Bild eindeutig bestimmen?
Gar nicht. Der Bildraum ist ein Untervektorraum. Und in einem Vektorraum [mm] \ne [/mm] { 0 } gibt es keine eindeutig bestimmte Basis !
FRED
>
> dimensionen von kern und des bildes sind kein problem,
> genauso wenig wie die bestimmung des kerns und der
> allgemeinen lösung.
>
> nach dem Gaußalgorithmus komme ich auf folgende Matrix:
>
> (1/20)* [mm]\begin{pmatrix}
20 & 0 & 0 & 0 & -2 & ; -14 \\
0 & 20 & 0 & -80 & 4 & ; 48 \\
0 & 0 & 20 & -25 & 11 & ; 62
\end{pmatrix}[/mm]
>
> da dim(Kern(A))=2 -> dim(Bild(A))=3 (Matrix ist
> unterbestimmt)
>
> laut Uni-Skript besteht die Basis des Bildes nun aus 3
> linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. srich:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] , [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> oder sind es doch die spaltenvektoren der Ausgangsmatrix
> A?
> also: [mm]\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Gibt es eine genauere Methode die Basis des Bildes von A
> genauer zu bestimmen ? Im Skript finde ich leider nichts.
>
> LG Scherzkrapferl
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also wären beide Möglichkeiten richtig?!
vielen vielen dank :DDDD war schon sehr verunsichert, da ich mich eigentlich sehr ausführlich mit linearer algebra beschäftige.
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> also wären beide Möglichkeiten richtig?!
Hallo,
ja.
Das kannst Du Dir auch leicht selbst überlegen:
Du hast je drei linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] - also 2 verschiedene Basen des [mm] \IR^3.
[/mm]
Deine Methode, eine Basis des Bildes zu bestimmen, ist gut und richtig - Deine Chefs haben sich halt, da das Bild der ganze [mm] \IR^3 [/mm] ist, für die Angabe einer gemütlichen Basis entschieden.
Gruß v. Angela
>
> vielen vielen dank :DDDD war schon sehr verunsichert, da
> ich mich eigentlich sehr ausführlich mit linearer algebra
> beschäftige.
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vielen Dank :)
LG Scherzkrapferl
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