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| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0\\ 2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 0}
[/mm]
a) Bestimmen der Eigenwerte
b) Finden Sie eine Basis für jeden Eigenvektorraum, sowie eine Matrix T so das [mm] D=T^{-1}*AT [/mm] eine Diagonalmatrix ist |
Den Punkt a hab ich schon erledigt.
Krieg hier für die Eigenwerte -2 bzw 4 raus.
Gut für b hab ich dann das mit der Basis mal gemacht für die zwei Eigenwerte
Für Eigenwert -2
A= [mm] \pmat{ 2 & 2 & 0\\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 2}A= \pmat{ 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2}A= \pmat{ 2 & 2 & 0\\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
z=t 2y-2t=0 2y=2t y=t
2x+2t=0 2x=-2t x=-t
Der Eigenvektor sieht also folgend aus:
[mm] Ev=t\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Für Eigenwert 4
A= [mm] \pmat{ -4 & 2 & 0\\ 2 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -4}A= \pmat{ -2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & 4}A= \pmat{ -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
z=t y-2t=0 y=2t
-2x+t=0 2x=t [mm] x=\bruch{t}{2}
[/mm]
Der Eigenvektor sieht also folgend aus:
[mm] Ev=t\vektor{\bruch{1}{2} \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] Ev=t\vektor{1 \\ 4 \\ 2}
[/mm]
Ok aber wie ist das mit dieser Matrix?
Blicke da nicht ganz durch...
Danke
Lg
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Ok
hab das ausgebessert, danke für den Hinweis!
Hab jetzt folgende Eigenvektoren:
für EW=-2
[mm] Ev=t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für EW=4
[mm] Ev=t*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
für EW=0
[mm] Ev=t*\vektor{1\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Gut wenn ich die dann in eine Matrix packe sieht das folgend aus:
[mm] T=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Und [mm] T^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{detT} [/mm] * [mm] \pmat{ 2& 0 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -3 }
[/mm]
wobei detT=-4 ist...
und jetzt?
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Hallo rawberrie,
> Ok
> hab das ausgebessert, danke für den Hinweis!
>
> Hab jetzt folgende Eigenvektoren:
> für EW=-2
> [mm]Ev=t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> für EW=4
> [mm]Ev=t*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Dieser Eigenvektor stimmt nicht.
[mm]Ev=t*\vektor{\red{1} \\ \red{2} \\ 1}[/mm]
> für EW=0
> [mm]Ev=t*\vektor{1\\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Gut wenn ich die dann in eine Matrix packe sieht das
> folgend aus:
> [mm]T=\pmat{ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Und [mm]T^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{detT}[/mm] * [mm]\pmat{ 2& 0 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -3 }[/mm]
>
> wobei detT=-4 ist...
> und jetzt?
Berechne dann [mm]T^{-1}AT[/mm]
Gruss
MathePower
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Ok habe die eine Basis jetzt noch auf [mm] t*\vektor{-1 \\ -2\\ 1}
[/mm]
ausgebessert.
Gibt es jetzt eine bestimmte Reihenfolge wie ich die Basen der Eigenvektorräume in die Matrix eintragen muss?
Denn ich bekommen ja immer ein anderes Ergebnis für die Diagonalmatrix wenn ich die Spalten in T verschieden eintrage oder?
Danke
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Hallo rawberry,
> Ok habe die eine Basis jetzt noch auf [mm]t*\vektor{-1 \\ -2\\ 1}[/mm]
>
> ausgebessert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gibt es jetzt eine bestimmte Reihenfolge wie ich die Basen
> der Eigenvektorräume in die Matrix eintragen muss?
> Denn ich bekommen ja immer ein anderes Ergebnis für die
> Diagonalmatrix wenn ich die Spalten in T verschieden
> eintrage oder?
Das ist richtig. Der i. Hauptdiagonaleneintrag [mm] D_{ii} [/mm] der Diagonalmatrix D ist der Eigenwert zum Eigenvektor in der i. Spalte der diagonalisierenden Matrix T.
Die Reihenfolge, wie du die Eigenvektoren in die Matrix T packst, ist egal. Es kommt eben möglichweise eine andere Diagonalmatrix raus.
> Dank
LG
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
