Basis Ermittlung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Di 28.12.2004 | | Autor: | Lara1985 |
Hallo!
Also mein Problem ist eine Aufgabe auf meinem Übungszettel:
Prüfen Sie, ob B={e1, e1+e2, e3,...,en} eine Basis des K-Vektorraumes K"hoch"n ist.
Jetzt weiß ich, dass für eine Basis gilt:
1. freies System, also lineare Unabhängigkeit
2. Es muss ein Erzeugendensystem sein
Zu 1 hab ich herausgefunden, dass es linear unabhängig ist, indem ich ein lineares Gleichungssystem aufgelöst habe B= a1e1 + a2b2 + ... + anen , wobei a2b2 bei mir a2(e1+e2) ist.
Zu 2 ist nun mein Problem, da ich es so verstanden habe, dass ein Erzeugendensystem dann besteht, wenn B z.B. eine Teilmenge von G ist, aber in diesem Fall habe ich ja nur B gegeben... Das verwirrt mich nun!
Außerdem wurde uns als Hilfe von unserem Tutoren der Austauschsatz von Steinitz gegeben, da habe ich jetzt allerdings das Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich den nun anwenden soll.
Wäre nett, wenn mir darauf jemand eine Antwort oder Hilfe geben könnte, danke schöön! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Zu 2 ist nun mein Problem, da ich es so verstanden habe,
> dass ein Erzeugendensystem dann besteht, wenn B z.B. eine
> Teilmenge von G ist, aber in diesem Fall habe ich ja nur B
> gegeben... Das verwirrt mich nun!
Du musst zeigen, dass B eine Basis von [mm] K^{n} [/mm] ist, und damit ein Erzeugendensystem von [mm] K^{n}. [/mm] (Die lineare Unabhängigkeit hast du ja schon gezeigt). Also muss für jedes v [mm] \in K^{n} [/mm] ein Linearkombination der Vektoren in B existieren. Jedes v kann aber geschrieben werden als:
v = [mm] v_{1}*e_{1} [/mm] + ... + [mm] v_n*e_{n} [/mm] mit [mm] v_{i} [/mm] aus K
und dann muss es Koeffizienten [mm] v_{1}', [/mm] ..., [mm] v_{n}' [/mm] geben mit:
[mm] v_{1}*e_{1} [/mm] + ... + [mm] v_n*e_{n} [/mm] = [mm] v_{1}'*e_{1} [/mm] + [mm] v_{2}'*(e_{1}+e_{2}) [/mm] + [mm] v_{3}'*e_{3} [/mm] + ... + [mm] v_{n}'*e_{n}
[/mm]
Und das ist der Fall, wenn:
[mm] v_{i}' [/mm] = [mm] v_{i} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] 1
[mm] v_{1}' [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}
[/mm]
Gruß Clemens
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