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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Di 09.01.2007 | | Autor: | WiWi |
Hey,
ich habe da gerade folgendes zwei Probleme:
Geg. sind 3 Vektoren u, v, w. Es soll lineare Unabhängig gezeigt werden.
Soweit, so gut. Ich schreib also die Vektoren in eine Matrix und löse das LGS. Mein Gedanke: Wenn die Vektoren abhängig sind, dann hat das LGS eine Lösung außerhalb der Triviallösung 0.
Nun stelle ich fest, dass es in der Übung ein wenig anders gemacht wurde. Vornehmlich wurden dort die Vektoren NICHT jeweils als Spalten, sondern als ZEILEN in die Matrix eingetragen - und dann das LGS gelöst.
Wie kann das Sinn machen? Meines Wissens müsste man sie doch als Spalten übertragen, da nur so ein Vektor einem Koeffizienten zugeordnet wird.
Am Ende müsste dann doch etwas da stehen ala:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * u + [mm] \lambda_{2} [/mm] * v + [mm] \lambda_{3} [/mm] * w = 0
Ausgeschrieben lautete dann die erste Zeile des LGS:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] u_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * [mm] w_{1} [/mm] = 0
Wenn man nun aber die Matrix transponiert ergäbe sich doch aber für die erste Zeile:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] u_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] u_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] u_{3} [/mm] = 0
Und da sind elementare Zeilenumformungen in der Matrix doch nicht mehr sinnvoll.
Also: Warum muss man transponieren? Und wie kann man dann noch sinnvoll Zeilenumformungen durchführen?
Irgendetwas muss ich wohl übersehen haben.
LG,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
das hast Du gut bemerkt. Dein Lösungsweg ist der naheliegende und richtig. Die Verwendung der transponierten Matrix ist aber auch sinnvoll, denn es gilt
Spaltenrang=Zeilenrang (einer Matrix),
d.h. das Ergebnis ist in beiden Fällen dasselbe. Das kannst Du ja an Deinem Beispiel mal ausprobieren. Gruß, Volker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 09.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen !
Die beiden Vorgehensweisen sind recht aehnlich von der schreibweise, aber was tatsaechlich gemacht wird ist eigentlich recht verschieden.
wenn du die Vektoren als spalten schreibst und das LGS Ax=0 loest, dann versuchst du wirklich eine nicht-triviale LinKombi der 0 zu errechnen.
wenn du allerdings die Vektoren als Zeilen schreibst und dann mittels Zeilenoperationen ein Nullzeile erzeugen kannst, hast du nur gezeigt, dass das Erzeugnis des Zeilenraumes einen kleineres Rang (also kleinere Basis) hat als die urspruengliechen Vektoren.
(durch die Zeilenoperationen bleibt man immer im selben Erzeugnis)
Man berechnet also wirklich eine Basis des Erzeugendensystems (, man will hier also kein Gleichungssystem loesen, sondern nur explizit durch einfache Operationen an der Matrix eine Basis berechnen)
(die Umformungen der Zeilen, die man dabei vornimmt, wuerden zum schluss zusammen die nicht triviale LinKombi ergeben, die man beim ersten Vorgehen explizit berechnet hat)
ehrlich gesagt finde ich letzteres Vorgehen auch sinnvoller, denn den Gauss-algo muss(/sollte) man auch beim ersten vorgehen anwenden, nur dass man hier eben nicht den Loesungsvektor berechnen muss und zusaetzlich sogar eine Basis des Erzeugnisses bekommt.
(das erste Vorgehen ist aber sinnvoll, wenn man auch den Kern bestimmen soll)
viele Gruesse
DaMenge
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