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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mo 07.10.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine Basis für den von [mm] v_1=(1,-2,0,1), v_2=(0,0,2,5), v_3=(-2,4,2,3) [/mm] erzeugten Untervektorraum von [mm] IR^4 [/mm] und ergänzen Sie diesen dann zu einer Basis von [mm] IR^4 [/mm] |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu dieser Aufgabe,
undzwar habe ich [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_3 [/mm] als Matrix dargestellt und gemerkt dass die linear abhängig sind, anschließend habe ich den Basisergänzungssatz angewendet.
Der Prof. hat mir keine Punkte gegeben, da ich es als Matrix aufgeschrieben habe. Er meinte, dass darf man nicht. Nun zu meiner Frage. wie kann ich denn sonst zeigen, dass die linear abhängig sind, sodass ich Basiser. anwenden kann?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:12 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo capri,
> Konstruieren Sie eine Basis für den von [mm]v_1=(1,-2,0,1), v_2=(0,0,2,5), v_3=(-2,4,2,3)[/mm]
> erzeugten Untervektorraum von [mm]IR^4[/mm] und ergänzen Sie diesen
> dann zu einer Basis von [mm]IR^4[/mm]
> undzwar habe ich [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_3[/mm] als Matrix dargestellt und
> gemerkt dass die linear abhängig sind, anschließend habe
> ich den Basisergänzungssatz angewendet.
Die Aufgabe verlangt von dir, eine Basis des Unterraums aus der Aufgabenstellung sowie eine daraus ergänzte Basis von [mm] $\IR^4$ [/mm] anzugeben (und zu beweisen, dass es sich tatsächlich um Basen handelt). Anscheinend hast du beides nicht getan.
Der Basisergänzungssatz sagt dir, dass sich jedes linear UNabhängige System zu einer Basis ergänzen lässt. Du kannst ihn also auf linear unabhängige, nicht auf linear abhängige Systeme anwenden.
Der Basisergänzungssatz liefert dir leider nur die Existenz einer "ergänzten Basis", nicht aber eine konkrete solche, wie in der Aufgabe gefordert.
> Der Prof. hat mir keine Punkte gegeben, da ich es als
> Matrix aufgeschrieben habe. Er meinte, dass darf man nicht.
Hattet ihr denn schon Matrizen? Falls ja, ist es sicherlich nicht grundsätzlich verboten Matrizen zu verwenden. Sonderlich hilfreich dürfte das allerdings nicht sein, da du immer begründen müsstest, wie sich Aussagen über die betrachtete Matrix in Aussagen über die Vektoren übersetzen lassen.
> Nun zu meiner Frage. wie kann ich denn sonst zeigen, dass
> die linear abhängig sind, sodass ich Basiser. anwenden
> kann?
Siehe oben.
Wenn du zeigen wolltest, dass die Vektoren aus der Aufgabenstellung linear abhängig sind, müsstest du die Definition der linearen Abhängigkeit verwenden:
[mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] sind linear abhängig, wenn [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR$ [/mm] existieren, die nicht alle 0 sind und [mm] $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0$ [/mm] erfüllen.
Du müsstest zum Nachweis der linearen Abhängigkeit also konkrete [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR$ [/mm] mit den gewünschten Eigenschaften angeben.
(Um solche [mm] $a_1,a_2,a_3$ [/mm] zu finden, kann es hilfreich sein, das lineare Gleichungssystem, das aus der Gleichung [mm] $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=0$ [/mm] entsteht, auf einem Schmierzettel zu lösen. Für den Nachweis der linearen Abhängigkeit genügt jedoch die Angabe von einem Beispiel von Zahlen [mm] $a_1,a_2,a_3\in\IR$, [/mm] die nicht alle 0 sind und die Gleichung erfüllen.)
Zum ersten Teil der Aufgabe, also dem Finden einer Basis des von [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] erzeugten Unterraums (nennen wir ihn $U$):
Der wohl einfachste Weg ist Folgender:
Die Vektoren [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] bilden ein Erzeugendensystem von $U$. Streiche solange Vektoren aus diesem System, bis die verbleibenden Vektoren ein minimales Erzeugendensystem (also eine Basis) von $U$ bilden. Dabei ist natürlich zu beachten, dass nur solche Vektoren gestrichen werden, für die die verbleibenden Vektoren immer noch ein Erzeugendensystem von $U$ bilden.
Das komplette System [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] ist, wie du korrekt festgestellt hast, noch linear abhängig, also kann noch keine Basis (also kein minimales Erzeugendensystem) von $U$ sein.
Somit kann mindestens einer der drei Vektoren aus dem System gestrichen werden, ohne dass die Eigenschaft, ein Erzeugendensystem von $U$ zu bilden, verloren geht.
Nun gilt es also, einen solchen "überflüssigen" Vektor zu finden. Wenn etwa [mm] $v_3\in\langle v_1,v_2\rangle$ [/mm] gilt, so bilden [mm] $v_1,v_2$ [/mm] immer noch ein Erzeugendensystem von $U$.
Dann wäre zu prüfen, ob [mm] $v_1,v_2$ [/mm] schon eine Basis von $U$ bilden, oder ob auch darin noch ein "überflüssiger" Vektor enthalten ist.
Usw.
Viele Grüße
Tobias
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