Basis Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] v_1=\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 }, [/mm]
[mm] v_2=\vektor{-1 \\ 1 \\-2 \\0 \\ 3}, v_3=\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ -1}, v_4=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 1}, v_5=\vektor{4 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ 0}, v_6=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
a) [mm] U_1=Lin(v_1,v_2,v_3)
[/mm]
[mm] U_2=Lin(v_4,v_5,v_6)
[/mm]
Bestimme die Basen der Unterräume [mm] U_1, U_2, U_1\cap U_2 [/mm] und [mm] U_1+U_2
[/mm]
b) Ergänze die Basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^5 [/mm] indem man vektoren aus der Familie [mm] (v_1,..,v_6) [/mm] hinzufügt. |
Da ich immer noch nicht richtig verstanden habe wie man eine Basis bestimmt hoffe ich, dass ich es nun an dem Beispiel endlich mal verstehe.
Könnt ihr mir nochmal erklären, was ich machen muss um die Basis zu ermitteln?
Mathegirl
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> [mm]v_1=\vektor{1 \\
1 \\
-1 \\
1 \\
1 },[/mm]
> [mm]v_2=\vektor{-1 \\
1 \\
-2 \\
0 \\
3}, v_3=\vektor{3 \\
1 \\
0 \\
2 \\
-1}, v_4=\vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
3 \\
1}, v_5=\vektor{4 \\
2 \\
-1 \\
3 \\
0}, v_6=\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
2 \\
3}[/mm]
>
> a) [mm]U_1=Lin(v_1,v_2,v_3)[/mm]
> [mm]U_2=Lin(v_4,v_5,v_6)[/mm]
> Bestimme die Basen der Unterräume [mm]U_1, U_2, U_1\cap U_2[/mm]
> und [mm]U_1+U_2[/mm]
>
> b) Ergänze die Basen von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] zu einer Basis des
> [mm]\IR^5[/mm] indem man vektoren aus der Familie [mm](v_1,..,v_6)[/mm]
> hinzufügt.
> Da ich immer noch nicht richtig verstanden habe wie man
> eine Basis bestimmt hoffe ich, dass ich es nun an dem
> Beispiel endlich mal verstehe.
> Könnt ihr mir nochmal erklären, was ich machen muss um
> die Basis zu ermitteln?
Hallo,
wenn Du einen Raum [mm] \subseteq \IR^n [/mm] hast, der von den Vektoren [mm] u_1,...,u_k [/mm] aufgespannt wird, kannst Du eine Basis wie folgt finden:
stelle die Vektoren als Spalten in eine Matrix, bringe diese auf Zeilenstufenform.
markiere die führenden Elemente der Nichtnullzeilen und notiere, in welchen Spalten sie stehen. Die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix sind eine Basis des aufgespannten Raumes.
Mit dieser Anleitung kannst Du in a) alles bis auf den Schnitt lösen.
Evtl. Rückfragen hierzu bitte mit vollständiger, nachvollziehbarer Rechnung von A-Z. So, daß man nicht raten, klicken und suchen muß.
Gruß v. Angela
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okay...das ahbe ich gemacht, dann erhalte ich für [mm] U_1 [/mm] mit [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] in Zeilenstufenform umgewandelt:
[mm] U_1= \pmat{ 1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] U_2 [/mm] mit [mm] (v_4,v_5,v_6)
[/mm]
[mm] U_2=\pmat{ 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] U_{1+2} [/mm] da habe ich die Vektoren addiert, z.B. [mm] v_1+v_4, v_2+v_5, v_3+v_6
[/mm]
[mm] U_{1+2}=\pmat{ 1 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Stimmt das soweit? Verstanden habe ich bloß nicht welches nun meine Basen sind, wie ich die aus dem Gleichungssystem bestimme bzw an welcher Stelle die stehen. Kannst du mir das nochmal erklären?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
1.Worum hat Angels Dich gebeten ?
"bitte mit vollständiger, nachvollziehbarer Rechnung von A-Z"
Wo sind diese Rechnungen ?
2. Was ich oben sehe, sind Matrizen und keine Unterräume. Ich kann mir zwar denken, was Du meinst, habe aber keine Lust im Nebel zu stochern, das tust Du ja schon.
3. mach Dich schlau, was die Summe von 2 Unterräumen ist. So wie Du es oben gemacht hast, ist es Blödsinn.
Beispiel (gaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaanz einfach):
Zwei eindimensionale Unterräume des [mm] \IR^2:
[/mm]
[mm] U_1 [/mm] = lineare Hülle von [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] U_2 [/mm] = lineare Hülle von [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Dann ist [mm] U_1+U_2= \IR^2. [/mm] Ist Dir das klar ?
Wenn man es so macht wie Du, käme die lineare Hülle von [mm] \vektor{1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] heraus. Das ist aber Quatsch
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
ja, habe es selbst gemerkt, werde meine Rechnung korrigieren und ausführlich posten!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 30.11.2011 | | Autor: | davux |
Also ich habe es jetzt so gemacht, - denke, da bist du auch schon angelangt - habe mir die Spaltenvektoren in eine Matrix in Form der Zeilen geschrieben.
Für [mm] $U_1$:
[/mm]
[mm] $\pmat{1&1&-1&1&1\\-1&1&-2&0&3\\3&1&0&2&-1}$ $\sim [/mm] >$ [mm] $\pmat{1&1&-1&1&1\\0&2&-3&1&4\\0&-2&3&-1&-4}$ $\sim [/mm] >$ [mm] $\pmat{1&1&-1&1&1\\0&2&-3&1&4\\0&0&0&0&0}$
[/mm]
Die nicht-Nullzeilen schreibe ich wieder um in Vektoren in Spaltenform, die einer Basis von [mm] $U_1$ [/mm] entsprechen:
[mm] $B_{U_1}=\{\pmat{1\\1\\-1\\1\\1},\pmat{0\\2\\-3\\1\\4}\}$.
[/mm]
Somit ist die Dimension von [mm] $U_1$ [/mm] also dim [mm] $U_1=2$.
[/mm]
Für [mm] U_2 [/mm] kann man das genauso handhaben. Für [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] steckt man alle Vektoren zusammen in eine Matrix und für [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] kann man erstmal für [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] homogene Gleichungssysteme finden, diese dann zusammenstecken, oder auch etwas direkter arbeiten. Dazu geht man von
[mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3 [/mm] = [mm] \mu_1 v_4 [/mm] + [mm] \mu_2 v_5 [/mm] + [mm] \mu_3 v_6
[/mm]
aus und drückt dieses in einer erweiterten Koeffizientenmatrix (mit den Spaltenvektoren als Spalten) aus. Die Lösungsmenge kann man dazu verwenden sich eine Basis zusammenzusetzen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Do 01.12.2011 | | Autor: | davux |
Hallo,
gestern habe ich mich nun mit dem wohl interessantesten Teil der Aufgabenstellung beschäftigt. Und zwar die Ermittlung einer Basis von [mm] $U_1\cap U_2$. [/mm] Die Dimension von [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] lässt sich ja noch mit der Dimensionsformel berechnen, wenn man die Basisvektoren später nicht zählen will.
Betrachte für [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R}$ [/mm] folgende Gleichung
[mm] $\lambda_1\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}3\\1\\0\\2\\-1\end{pmatrix}=\mu_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}4\\2\\-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mu_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\\3\end{pmatrix}$
[/mm]
Diese führt zu folgender erweiterter Koeffizientenmatrix
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\1&1&1&1&2&0&0\\-1&-2&0&0&-1&1&0\\1&0&2&3&3&2&0\\1&3&-1&1&0&3&0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\sim [/mm] >$ II': II-I, III': III+I, IV': IV-I, V': V-I
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&2&-2&3&-2&-1&0\\0&-3&3&-2&3&2&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&4&-4&3&-4&2&0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\sim [/mm] >$ IV'<>II'
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&-3&3&-2&3&2&0\\0&2&-2&3&-2&-1&0\\0&4&-4&3&-4&2&0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\sim [/mm] >$ III'': III'+3II', IV'': IV'-2II', V'': V'-4II'
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&13&0&5&0\\0&0&0&-7&0&-3&0\\0&0&0&-17&0&-2&0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\sim [/mm] >$ III''<> [mm] (-\bruch{1}{7}) [/mm] IV'', V''': $(-1)$ V''
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\0&0&0&13&0&5&0\\0&0&0&17&0&2&0\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\sim [/mm] >$ IV''': IV'' -13 III'', V'''': V''' -17 III''
[mm] $\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\0&0&0&0&0&-\bruch{39}{7}&0\\0&0&0&0&0&-\bruch{51}{2}&0\end{array}\right)$
[/mm]
Aus Zeile 4 und 5 [mm] $\Rightarrow \mu_3=0$
[/mm]
Aus Zeile 3 [mm] $\Rightarrow \mu_1=0$
[/mm]
Zeile 2 ergibt: [mm] $\lambda_2=\lambda_3+\mu_2
[/mm]
Zeile 1 ergibt: [mm] $\lambda_1=\lambda_2-3\lambda_3-4\mu_2=2\lambda_3-3\mu_2
[/mm]
So erhalte ich folgende Lösungsmenge:
[mm] $\IL=\{(2\lambda_3-3\mu_2,\lambda_3+\mu_2,\lambda_3,0,\mu_2,0)\}$
[/mm]
Jetzt kann ich [mm] \lambda_3=1 [/mm] und [mm] \mu_2=0, [/mm] sowie [mm] \lambda_3=0 [/mm] und [mm] \mu_2=1 [/mm] wählen und erhalte so zwei Vektoren aus dem Schnitt:
[mm] $\pmat{3\\1\\0\\2\\-1},\pmat{4\\2\\-1\\3\\0}$,
[/mm]
die linear unabhängig sind und somit eine Basis von [mm] U_1\cap U_2 [/mm] darstellen.
Mein Problem, weshalb ich es als Frage formulieren will. Ich habe mit der Dimensionsformel erhalten, dass [mm] $dim\,U_1\cap U_2=1$ [/mm] sein soll. Wenn man sich die Ausgangsvektoren anschaut, sieht man schon, wenn ihr mich fragt, dass das Ergebnis der Dimensionsformel stimmt, also muss in der Rechnung oben ein Fehler liegen. Wo?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> gestern habe ich mich nun mit dem wohl interessantesten
> Teil der Aufgabenstellung beschäftigt. Und zwar die
> Ermittlung einer Basis von [mm]U_1\cap U_2[/mm]. Die Dimension von
> [mm]U_1\cap U_2[/mm] lässt sich ja noch mit der Dimensionsformel
> berechnen, wenn man die Basisvektoren später nicht zählen
> will.
>
> Betrachte für
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R}[/mm]
> folgende Gleichung
>
> [mm]\lambda_1\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}3\\1\\0\\2\\-1\end{pmatrix}=\mu_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}4\\2\\-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mu_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\\3\end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese führt zu folgender erweiterter Koeffizientenmatrix
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\1&1&1&1&2&0&0\\-1&-2&0&0&-1&1&0\\1&0&2&3&3&2&0\\1&3&-1&1&0&3&0\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\sim >[/mm] II': II-I, III': III+I, IV': IV-I, V': V-I
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&2&-2&3&-2&-1&0\\0&-3&3&-2&3&2&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&4&-4&3&-4&2&0\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\sim >[/mm] IV'<>II'
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&-3&3&-2&3&2&0\\0&2&-2&3&-2&-1&0\\0&4&-4&3&-4&2&0\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\sim >[/mm] III'': III'+3II', IV'': IV'-2II', V'': V'-4II'
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&13&0&5&0\\0&0&0&-7&0&-3&0\\0&0&0&-17&0&-2&0\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\sim >[/mm] III''<> [mm](-\bruch{1}{7})[/mm] IV'', V''': [mm](-1)[/mm] V''
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\0&0&0&13&0&5&0\\0&0&0&17&0&2&0\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\sim >[/mm] IV''': IV'' -13 III'', V'''': V''' -17 III''
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\0&1&-1&5&-1&1&0\\0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\0&0&0&0&0&-\bruch{39}{7}&0\\0&0&0&0&0&-\bruch{51}{2}&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Aus Zeile 4 und 5 [mm]\Rightarrow \mu_3=0[/mm]
> Aus Zeile 3
> [mm]\Rightarrow \mu_1=0[/mm]
> Zeile 2 ergibt:
> [mm]$\lambda_2=\lambda_3+\mu_2[/mm]
> Zeile 1 ergibt:
> [mm]$\lambda_1=\lambda_2-3\lambda_3-4\mu_2=2\lambda_3-3\mu_2[/mm]
>
> So erhalte ich folgende Lösungsmenge:
>
> [mm]\IL=\{(2\lambda_3-3\mu_2,\lambda_3+\mu_2,\lambda_3,0,\mu_2,0)\}[/mm]
>
> Jetzt kann ich [mm]\lambda_3=1[/mm] und [mm]\mu_2=0,[/mm] sowie [mm]\lambda_3=0[/mm]
> und [mm]\mu_2=1[/mm] wählen und erhalte so zwei Vektoren aus dem
> Schnitt:
>
> [mm]\pmat{3\\1\\0\\2\\-1},\pmat{4\\2\\-1\\3\\0}[/mm],
>
> die linear unabhängig sind und somit eine Basis von
> [mm]U_1\cap U_2[/mm] darstellen.
Was für ein Aufwand ! Ich rechne obiges nicht nach. Hat sonst jemand Lust dazu ?
Warum bestimmt Du nicht zuerst eine Basis von [mm] U_1 [/mm] und eine von [mm] U_2 [/mm] ?
Dann ist die bestimmung einer Basis von [mm] U_1\cap U_2 [/mm] wesentlich weniger aufwändig !!
>
> Mein Problem, weshalb ich es als Frage formulieren will.
> Ich habe mit der Dimensionsformel erhalten, dass
> [mm]dim\,U_1\cap U_2=1[/mm] sein soll. Wenn man sich die
> Ausgangsvektoren anschaut, sieht man schon, wenn ihr mich
> fragt, dass das Ergebnis der Dimensionsformel stimmt,
Welche Formel meinst Du denn ?
FRED
> also
> muss in der Rechnung oben ein Fehler liegen. Wo?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:54 Do 01.12.2011 | | Autor: | davux |
Die Basis von [mm] U_1 [/mm] hatte ich in der vorhergehenden Antwort berechnet. Ich werde dir in der nächsten Stunde noch die Berechnung der Basen von [mm] U_2 [/mm] und [mm] $U_1+U_2$ [/mm] posten.
Du meinst also, ich könnte die Koeffizientenmatrix auch mit den Basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] bilden?
Als Dimensionsformel bezeichne ich die Gleichung
[mm] $dim\,(U_1\cap U_2)=dim\, U_1+dim\, U_2-dim\, (U_1+U_2)$.
[/mm]
#1: Die Frage hat sich wohl erledigt. Ich bin zu dem Schluß gelangt, dass ich nur einen der beiden Vektoren als Basis wählen brauche, aber überzeugende Argumente dafür habe ich nicht.
#2: Na gut, wie wäre es damit, die beiden Vektoren scheinen doch linear abhängig. Deshalb kann ich einen auswählen, der der Basis des Schnitts entspricht.
#3: Ich hab den Fehler jetzt doch gefunden. Und zwar ist die Koeffizientenmatrix falsch. Man muss die Vektoren auf der rechten Seite ja auf die linke bringen, so ändert sich für [mm] $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ [/mm] das Vorzeichen, und somit das Vorzeichen der Komponenten der Vektoren in der erweiterten Koeffizientenmatrix.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 01.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi Fred
> Warum bestimmt Du nicht zuerst eine Basis von [mm]U_1[/mm] und eine
> von [mm]U_2[/mm] ?
>
> Dann ist die bestimmung einer Basis von [mm]U_1\cap U_2[/mm]
> wesentlich weniger aufwändig !!
>
Die Basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind berechnet. Und wie komm ich damit jetzt auf die Basis vom Schnitt?
LG
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Hallo Fincayra,
> Hi Fred
>
> > Warum bestimmt Du nicht zuerst eine Basis von [mm]U_1[/mm] und eine
> > von [mm]U_2[/mm] ?
> >
> > Dann ist die bestimmung einer Basis von [mm]U_1\cap U_2[/mm]
> > wesentlich weniger aufwändig !!
> >
>
> Die Basen von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] sind berechnet. Und wie komm ich
> damit jetzt auf die Basis vom Schnitt?
>
Bestimme zunächst die Menge der Vektoren, die in beiden Unterräumen liegen.
Dazu setze so an wie hier.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe auch noch eine Frage zum schnitt:
Die Basis von U1 und die basis von U2 musste ja im vorherigen Schritt schon bestimmt werden.
Wie kann man nun fortfahren?
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> Ich habe auch noch eine Frage zum schnitt:
>
> Die Basis von U1 und die basis von U2 musste ja im
> vorherigen Schritt schon bestimmt werden.
> Wie kann man nun fortfahren?
Hallo,
mit den Überlegungen, wie es davoux ursprünglich tat - bloß daß man es nun mit einer etwas abgespeckten Matrix zu tun hat.
Sag die basen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2, [/mm]
stelle die Gleichung auf, deren Lösung zur Beantwortung der Frage nach dem Schnitt beiträgt,
anschließend die zugehörige Koeffizientenmatrix.
Bringe diese auf ZSF und laß Dir dann weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
für U2
$ [mm] \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix} [/mm] $ , $ [mm] \begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix} [/mm] $ , $ [mm] \begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix} [/mm] $
und für U1
$ [mm] \begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix} [/mm] $ , $ [mm] \begin{pmatrix}0\\2\\-3\\1\\4\end{pmatrix} [/mm] $
Nächster Schritt in Matrix und mit Gauß umgeformt:
$ [mm] \left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&0&2&0\\0&1&0&0&-8&0\\0&0&1&0&-1&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right) [/mm] $
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Hallo yangwar1,
> für U2
> [mm]\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}[/mm]
>
> und für U1
> [mm]\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\2\\-3\\1\\4\end{pmatrix}[/mm]
>
> Den nächsten Schritt verstehe ich schon nicht mehr.
Der Schnitt zweier Untervektorräume sind hier Vektoren v,
die sowohl in [mm]U_{1}[/mm] als auch in [mm]U_{2}[/mm] liegen.
Daher lautet die maßgebliche Gleichung:
[mm]\lambda_{1}*\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}0\\2\\-3\\1\\4\end{pmatrix}= \mu_{1}*\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_{2}*\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}+\mu_{3}*\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}[/mm]
Gesucht sind hier [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}, \mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3} \in \IR[/mm]., so daß obige Gleichung erfüllt wird.
Um die Koeffizientenmatrix zu erhalten, wird diese Gleichung etwas umgeschrieben:
[mm]\lambda_{1}*\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}0\\2\\-3\\1\\4\end{pmatrix}- \mu_{1}*\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_{2}*\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}+\mu_{3}*\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
In der Koeffiizientematrix stehen die Basen von [mm]U_[1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm].
Bringe nun diese Koeffientenmatrix auf ZeilenStufenForm (ZSF).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Wie in der vorherigen Frage schon hinzugefügt:
mit Gauß aufgelöse Matrix:
$ [mm] \left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&0&2&0\\0&1&0&0&-8&0\\0&0&1&0&-1&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right) [/mm] $
Leider kann ich hieraus nun nicht die Variablen bestimmen.
Oder ist gar Zeile 1-4 jeweils schon die Basis?
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Hallo yangwar1,
> Wie in der vorherigen Frage schon hinzugefügt:
> mit Gauß aufgelöse Matrix:
>
> [mm]\left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&0&2&0\\0&1&0&0&-8&0\\0&0&1&0&-1&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Leider kann ich hieraus nun nicht die Variablen bestimmen.
>
> Oder ist gar Zeile 1-4 jeweils schon die Basis?
Nun, da Du hier eine Nullzeile erhalten hast,
gibt es nur einen Vektor und deren Vielfache,
der im Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] liegt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Kann man diesen dann beliebig wählen?
Ist dann genau ein Vektor (und deren Vielfaches) Basis von U1 geschnitten U2?
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Hallo yangwar1,
> Kann man diesen dann beliebig wählen?
>
Nein.
Um diesen Vektor zu bestimmen, müssen wie hier, 4 Variablen
in Abhängigkeit von der letzten Variable, bestimmt werden.
> Ist dann genau ein Vektor (und deren Vielfaches) Basis von
> U1 geschnitten U2?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 02.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Was genau meinst du?
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Hallo yangwar1,
> Was genau meinst du?
Nun, Du hast die ZSF so errechnet:
[mm] \left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&0&2&0\\0&1&0&0&-8&0\\0&0&1&0&-1&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
Schreibe ich jetzt über den Spalten irgendwelche Variablennamen:
[mm]\begin{matrix}{x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & \\ 1&0&0&0&2&0\\0&1&0&0&-8&0\\0&0&1&0&-1&0\\0&0&0&1&4&0\\0&0&0&0&0&0\end{matrix}[/mm]
Dann ist [mm]x_{5}[/mm] frei wählbar.
Damit ergibt sich: [mm]x_{4}=-x_{5}, \ x_{3}=x_{5}, \ x_{2}=8x_{5}, \ x_{1}=-2x_{5}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 02.12.2011 | | Autor: | davux |
Irgendwelche Variablennamen oder stehen diese durch den Ansatz nicht schon fest? Als freien Parameter hätte er doch dann [mm] \mu_2.
[/mm]
Meine Frage wäre jetzt, die Lösungsmenge des LGS sagt nun was aus?
Ging es nicht darum zu ermitteln, welcher der gegebenen Vektoren der Erzeugnisse von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] bzw. welcher Basisvektor von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] im Schnitt liegt? Was sagt einem denn jetzt die Lösungsmenge der erweiterten Koeffizientenmatrix, die man mithilfe der Basisvektoren bzw. der linearen Hüllen gebildet hat? Es ist ein freier Parameter darin. Die Lösungsmenge entspricht doch nicht der Basis, oder? Sondern der freie Parameter gibt Aussage darüber, welcher der Vektoren die Basis des Schnitts darstellt.
Ich würde auf jeden Fall gerne die Übergänge besser verstehen und ich versuche mich auch nochmal von einer anderen Seite aus hinein zu denken, aber bisher sind das bei mir noch offene Fragen.
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Hallo,
wir suchten die [mm] \lambda [/mm] bzw. [mm] \mu, [/mm] für welche
[mm] \lambda_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\
1\\
-1\\
1\\
1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}0\\
2\\
-3\\
1\\
4\end{pmatrix}= \mu_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0\\
3\\
1\end{pmatrix}+\mu_{2}\cdot{}\begin{pmatrix}0\\
0,5\\
1\\
3,5\\
3,5\end{pmatrix}+\mu_{3}\cdot{}\begin{pmatrix}0\\
0\\
-9\\
-19\\
-26\end{pmatrix} [/mm]
richtig ist.
Daraus erhielten wir die ZSF
[mm] \left(\begin{array}{ccccc|c}1&0&0&0&2&0\\
0&1&0&0&-8&0\\
0&0&1&0&-1&0\\
0&0&0&1&4&0\\
0&0&0&0&0&0\end{array}\right) [/mm].
(nicht nachgerechnet!)
Die ersten beiden Spalten sind [mm] \lambda-Spalten, [/mm] die nächsten drei [mm] \mu-Spalten.
[/mm]
Wir sehen:
alle Vektoren der Bauart
[mm] \vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\\mu_1\\\mu_2\\\mu_3}=t*\vektor{-2\\8\\1\\-4\\1} [/mm] lösen das System.
Demzufolge sind die Vektoren x der Machart
x=[mm]-2t\cdot{}\begin{pmatrix}1\\
1\\
-1\\
1\\
1\end{pmatrix}+8t \begin{pmatrix}0\\
2\\
-3\\
1\\
4\end{pmatrix}[/mm] bzw
x= [mm]t\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0\\
3\\
1\end{pmatrix}-4t\cdot{}\begin{pmatrix}0\\
0,5\\
1\\
3,5\\
3,5\end{pmatrix}+t\cdot{}\begin{pmatrix}0\\
0\\
-9\\
-19\\
-26\end{pmatrix} [/mm]
das GS.
Was etwas traurig ist, ist, daß diese "Lösung" nicht paßt:
immerhin sollte man erwarten, daß sich rechts und links Vielfache desselben Vektors ergeben.
Möglicherweise sollte man nochmal prüfen, ob die ZSF wirklich stimmt.
Dazu hab' ich aber keine Lust.
Wenn das Prinzip klargeworden ist, ist mein Ziel erreicht.
Ach, und gerade sehe ich einen winzigen Fehler in Mathepowers die Matrix vorbereitendem Beitrag:
es muß dort natürlich heißen
$ [mm] \lambda_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}0\\ 2\\ -3\\ 1\\ 4\end{pmatrix}- \mu_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\\ 3\\ 1\end{pmatrix}\red{-}\mu_{2}\cdot{}\begin{pmatrix}0\\ 0,5\\ 1\\ 3,5\\ 3,5\end{pmatrix}\red{-}\mu_{3}\cdot{}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -9\\ -19\\ -26\end{pmatrix} $=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
Vielleicht liegt's hieran.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Fr 02.12.2011 | | Autor: | davux |
Ich habe es noch nicht geschafft, es per Hand mit den Basisvektoren von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] durchzurechnen, könnte hier jetzt auch nur eine Lösungsmenge herausposaunen. Mein Ansatz sind immernoch die Erzeugnisse, die in der Aufgabenstellung gegeben sind - wohl etwas trotz gegenüber Freds, "viel zu aufwendig" -.
Ich danke dir auf jeden Fall dafür, dass du da nochmal etwas entwirrt, die Sachen auseinander gezogen hast. Das regt nochmal ordentlich an.
Aber ich habe ehrlich erwartet, dass man einen Vektor aus der Aufgabestellung als Vektor, der im Schnitt liegt bezeichnen kann, der dann eine Basis bildet. Wie ich wohl darauf komme?
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Muss ich die Basisvektoren nutzen oder kann ich auch alle 6 gegeben Vektoren so wie das davux gemacht hat in eine Matrix bringen?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Muss ich die Basisvektoren nutzen oder kann ich auch alle 6
> gegeben Vektoren so wie das davux gemacht hat in eine
> Matrix bringen?
>
Das kannst Du sowohl das eine als auch das andere machen.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MatehPower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 04.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
> Nun, da Du hier eine Nullzeile erhalten hast,
> gibt es nur einen Vektor und deren Vielfache,
> der im Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] liegt.
Warum ist das so? Und woher weiß ich welcher?
LG
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> > Nun, da Du hier eine Nullzeile erhalten hast,
> > gibt es nur einen Vektor und deren Vielfache,
> > der im Schnitt von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] liegt.
>
> Warum ist das so? Und woher weiß ich welcher?
Hallo,
wie man von der ZSF zum Schnitt kommt, hatte ich im Verlaufe des Threads bereits vorgemacht.
Gruß v. Angela
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> Betrachte für
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R}[/mm]
> folgende Gleichung
>
> [mm]\lambda_1\begin{pmatrix}1\\
1\\
-1\\
1\\
1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\
1\\
-2\\
0\\
3\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}3\\
1\\
0\\
2\\
-1\end{pmatrix}=\mu_1\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0\\
3\\
1\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}4\\
2\\
-1\\
3\\
0\end{pmatrix}+\mu_3\begin{pmatrix}1\\
0\\
1\\
2\\
3\end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese führt zu folgender erweiterter Koeffizientenmatrix
>
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
1&1&1&1&2&0&0\\
-1&-2&0&0&-1&1&0\\
1&0&2&3&3&2&0\\
1&3&-1&1&0&3&0\end{array}\right)[/mm]
> [...]
> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{39}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{51}{2}&0\end{array}\right)[/mm]
Hallo,
--> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
Aus dieser Matrix können wir ablesen, daß [mm] (v_1,v_2, v_4, v_6) [/mm] eine Basis von [mm] U_1+U_2 [/mm] ist.
Man sieht auch, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] eine Basis von [mm] U_1 [/mm] ist.
Man kann also auf die dritte Spalte verzichten, was die Angelegenheit etwas übersichtlicher macht.
[mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&&-2&4&1&0\\
0&1&&5&-1&1&0\\
0&0&&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&&0&0&1&0\\
0&0&&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm] --> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&&-2&4&0&0\\
0&1&&5&-1&0&0\\
0&0&&1&0&0&0\\
0&0&&0&0&1&0\\
0&0&&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm] --> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&&0&4&0&0\\
0&1&&0&-1&0&0\\
0&0&&1&0&0&0\\
0&0&&0&0&1&0\\
0&0&&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
--> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&0&&0&3&0&0\\
0&1&&0&-1&0&0\\
0&0&&1&0&0&0\\
0&0&&0&0&1&0\\
0&0&&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
Man liest ab:
es ist jeder Vektor [mm] \vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\-\mu_1\\-\mu_2\\-\mu_3}=t*\vektor{-3\\1\\0\\1\\0} [/mm] eine Lösung von
[mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2=\mu_1v_4+\mu_2v_5+\mu_3v_6.
[/mm]
Also haben alle Vektoren des Schnittes die Gestalt
[mm] x=-3tv_1+tv_2 [/mm] bzw. [mm] x=0v_4+1v_5+0v_6,
[/mm]
womit dann eine Basis gefunden sein sollte.
(Daß es rechts und links paßt, trägt zur Beruhigung bei.)
Trotzdem sollten wir jetzt noch gucken, was hier schiefläuft.
>
> Aus Zeile 4 und 5 [mm]\Rightarrow \mu_3=0[/mm]
> Aus Zeile 3
> [mm]\Rightarrow \mu_1=0[/mm]
> Zeile 2 ergibt:
> [mm]$\lambda_2=\lambda_3+\mu_2[/mm]
> Zeile 1 ergibt:
> [mm]$\lambda_1=\lambda_2-3\lambda_3-4\mu_2=\red{-}2\lambda_3-3\mu_2[/mm]
>
> So erhalte ich folgende Lösungsmenge:
>
> [mm]\IL=\{(\red{-}2\lambda_3-3\mu_2,\lambda_3+\mu_2,\lambda_3,0,\mu_2,0)\}[/mm]
Mit dem Minuszeichen solltest Du Passendes bekommen, aber es ist sicher weniger aufwendig, von vornherein mit dem beiden Basen zu arbeiten.
Gruß v. Angela
>
> Jetzt kann ich [mm]\lambda_3=1[/mm] und [mm]\mu_2=0,[/mm] sowie [mm]\lambda_3=0[/mm]
> und [mm]\mu_2=1[/mm] wählen und erhalte so zwei Vektoren aus dem
> Schnitt:
>
> [mm]\pmat{3\\
1\\
0\\
2\\
-1},\pmat{4\\
2\\
-1\\
3\\
0}[/mm],
>
> die linear unabhängig sind und somit eine Basis von
> [mm]U_1\cap U_2[/mm] darstellen.
>
> Mein Problem, weshalb ich es als Frage formulieren will.
> Ich habe mit der Dimensionsformel erhalten, dass
> [mm]dim\,U_1\cap U_2=1[/mm] sein soll. Wenn man sich die
> Ausgangsvektoren anschaut, sieht man schon, wenn ihr mich
> fragt, dass das Ergebnis der Dimensionsformel stimmt, also
> muss in der Rechnung oben ein Fehler liegen. Wo?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 03.12.2011 | | Autor: | davux |
Der Fehler lag direkt am Anfang. Also in meiner Korrekturversion habe ich die Vorzeichen vor den Komponenten in den Vektoren zu [mm] \mu_1, \mu_2 [/mm] und [mm] \mu_3 [/mm] umgedreht. Als Endergebnis hatte ich dann auch nur einen freien Parameter.
Vielen Dank, Angela.
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>
> > Betrachte für
> >
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R}[/mm]
> > folgende Gleichung
> >
> > [mm]\lambda_1\begin{pmatrix}1\\
1\\
-1\\
1\\
1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\
1\\
-2\\
0\\
3\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}3\\
1\\
0\\
2\\
-1\end{pmatrix}=\mu_1\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0\\
3\\
1\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}4\\
2\\
-1\\
3\\
0\end{pmatrix}+\mu_3\begin{pmatrix}1\\
0\\
1\\
2\\
3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Diese führt zu folgender erweiterter Koeffizientenmatrix
> >
> > [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
1&1&1&1&2&0&0\\
-1&-2&0&0&-1&1&0\\
1&0&2&3&3&2&0\\
1&3&-1&1&0&3&0\end{array}\right)[/mm]
>
> > [...]
>
> > [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{39}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{51}{2}&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Hallo,
>
> --> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Aus dieser Matrix können wir ablesen, daß [mm](v_1,v_2, v_4, v_6)[/mm]
> eine Basis von [mm]U_1+U_2[/mm] ist.
Du meinst mit [mm] (v_1,v_2,v_4,v_6 [/mm] die Ausgangsvektoren?
Es können doch auch
[mm] {\vektor{1 \\ -1 \\ 3 \\ -2 \\ 4 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 5 \\ -1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3/7}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}} [/mm] eine Basis von [mm] U_1+U_2 [/mm] sein?
Und warum kann man auch die Ausgangsvektoren als Basis nehmen wo im LGS führende Einsen stehen? Die begründung dafür ist mir noch nicht klar.
MfG
Mathegirl
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> >
> > > Betrachte für
> > >
> >
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R}[/mm]
> > > folgende Gleichung
> > >
> > > [mm]\lambda_1\begin{pmatrix}1\\
1\\
-1\\
1\\
1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}-1\\
1\\
-2\\
0\\
3\end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}3\\
1\\
0\\
2\\
-1\end{pmatrix}=\mu_1\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0\\
3\\
1\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}4\\
2\\
-1\\
3\\
0\end{pmatrix}+\mu_3\begin{pmatrix}1\\
0\\
1\\
2\\
3\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Diese führt zu folgender erweiterter Koeffizientenmatrix
> > >
> > > [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
1&1&1&1&2&0&0\\
-1&-2&0&0&-1&1&0\\
1&0&2&3&3&2&0\\
1&3&-1&1&0&3&0\end{array}\right)[/mm]
>
> >
> > > [...]
> >
> > > [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{39}{7}&0\\
0&0&0&0&0&-\bruch{51}{2}&0\end{array}\right)[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > --> [mm]\left(\begin{array}{cccccc|c}1&-1&3&-2&4&1&0\\
0&1&-1&5&-1&1&0\\
0&0&0&1&0&\bruch{3}{7}&0\\
0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
>
> >
> > Aus dieser Matrix können wir ablesen, daß [mm](v_1,v_2, v_4, v_6)[/mm]
> > eine Basis von [mm]U_1+U_2[/mm] ist.
>
> Du meinst mit [mm](v_1,v_2,v_4,v_6[/mm] die Ausgangsvektoren?
> Es können doch auch
>
> [mm]{\vektor{1 \\
-1 \\
3 \\
-2 \\
4 \\
1}, \vektor{0 \\
1 \\
-1 \\
5 \\
-1 \\
1}, \vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
3/7}, \vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1}}[/mm]
> eine Basis von [mm]U_1+U_2[/mm] sein?
Hallo,
ganz sicher nicht. Das sind doch Vektoren des [mm] \IR^6!
[/mm]
> Und warum kann man auch die Ausgangsvektoren als Basis
> nehmen wo im LGS führende Einsen stehen? Die begründung
> dafür ist mir noch nicht klar.
Die Anzahl der Nichtnullzeilen sagt einem die Dimension des aufgespannten Raumes, man weiß also wieviele Vektoren des Erzeugendensystems man als Basis auswählen muß.
Wenn Du nun die Spalten ohne führende Zeilenelemente wegstreichst, bekmmst Du eine Matrix, deren Rang= Spaltenanzahl ist.
Gruß v. Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 01.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ich erhalte dann bei U2 folgende Matrix:
$ [mm] \pmat{-2&1&0&3&1\\0&0,5&1&3,5&3,5\\0&0&-9&-19&-26} [/mm] $
Die führenden Elemente der Zeilen sind somit -2, 0,5 und -9. Daher ist bilden der Vektor aus Zeile 1,2 und 3 eine Basis mit
$ [mm] \begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix} [/mm] $ , $ [mm] \begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix} [/mm] $ , $ [mm] \begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix} [/mm] $
Ist das nun richtig?
Und überhaupt verstehe ich noch nicht recht, warum ich denn die Vektoren in die Matrix schreiben darf? Bzw. hat das nur den Grund, dass ich die linear unabhängigen Vektoren mit der Nullzeile entferne?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 01.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> Ich erhalte dann bei U2 folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{-2&1&0&3&1\\0&0,5&1&3,5&3,5\\0&0&-9&-19&-26}[/mm]
>
> Die führenden Elemente der Zeilen sind somit -2, 0,5 und
> -9. Daher ist bilden der Vektor aus Zeile 1,2 und 3 eine
> Basis mit
>
> [mm]\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}[/mm]
>
Für mein [mm] U_2 [/mm] kommt folgendes raus:
[mm]\pmat{4&0&4&8&12\\0&4&-1&9&2\\0&0&-9&-19&-26}[/mm]
*EDIT* Also ich habe [mm] U_2 [/mm] jetzt insgesamt 3 mal ausgerechnet. Für Zeile 2 und 3 erhalte ich jeweils das selbe, aber für Zeile 1 habe ich bei 3 Rechnungen, 3 Ergebnisse, die definitiv keine Vielfachen voneinander sind. Ich wär WIRKLICH dankbar für Hilfe. /*EDIT*
> Ist das nun richtig?
>
> Und überhaupt verstehe ich noch nicht recht, warum ich
> denn die Vektoren in die Matrix schreiben darf? Bzw. hat
> das nur den Grund, dass ich die linear unabhängigen
> Vektoren mit der Nullzeile entferne?
Würd ich auch gern wissen. Wär schön, wenn jemand weiterhelfen kann.
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> > Ich erhalte dann bei U2 folgende Matrix:
> >
> > [mm]\pmat{-2&1&0&3&1\\0&0,5&1&3,5&3,5\\0&0&-9&-19&-26}[/mm]
> >
> > Die führenden Elemente der Zeilen sind somit -2, 0,5 und
> > -9. Daher ist bilden der Vektor aus Zeile 1,2 und 3 eine
> > Basis mit
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}[/mm] ,
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}[/mm] ,
> > [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> Für mein [mm]U_2[/mm] kommt folgendes raus:
>
> [mm]\pmat{4&0&4&8&12\\0&4&-1&9&2\\0&0&-9&-19&-26}[/mm]
>
Das stimmt auch.
> *EDIT* Also ich habe [mm]U_2[/mm] jetzt insgesamt 3 mal
> ausgerechnet. Für Zeile 2 und 3 erhalte ich jeweils das
> selbe, aber für Zeile 1 habe ich bei 3 Rechnungen, 3
> Ergebnisse, die definitiv keine Vielfachen voneinander
> sind. Ich wär WIRKLICH dankbar für Hilfe. /*EDIT*
>
Nun, dann poste doch Deine bisherigen Rechnungen.
> > Ist das nun richtig?
> >
> > Und überhaupt verstehe ich noch nicht recht, warum ich
> > denn die Vektoren in die Matrix schreiben darf? Bzw. hat
> > das nur den Grund, dass ich die linear unabhängigen
> > Vektoren mit der Nullzeile entferne?
>
> Würd ich auch gern wissen. Wär schön, wenn jemand
> weiterhelfen kann.
>
Siehe dazu diesen Artikel.
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 01.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi Mathepower
Danke für die Antwort : )
Meine 3 Rechnungen für [mm] U_2 [/mm] :
Version 1)
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
I*2 | I +II
[mm] \pmat{ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
III*4 | I-II
[mm] \pmat{ 0 & 2 & -5 & -5 & -12 \\ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 }
[/mm]
I*2 | II-III
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }
[/mm]
Version 2)
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
I*2 | III*4
[mm] \pmat{ -4 & 2 & 0 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 }
[/mm]
I+II | III+II
[mm] \pmat{ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & -2 & 5 & 5 & 12 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 }
[/mm]
II*2 | II+III
[mm] \pmat{ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }
[/mm]
Version 3)
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
I-II
[mm] \pmat{ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
I-II
[mm] \pmat{ -8 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
III*8 | I-III
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ -8 & 0 & 1 & 3 & 2 }
[/mm]
II*4 | III*3
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 24 & 4 & -4 & 0 & -4 \\ -24 & 0 & 3 & 9 & 6 }
[/mm]
II+III
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ -24 & 4 & -4 & 0 & -4 }
[/mm]
III:4
[mm] \pmat{ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }
[/mm]
So, ich hoffe ich hab mcih nirgends vertippt.
LG
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Hallo Fincayra,
> Hi Mathepower
>
> Danke für die Antwort : )
>
> Meine 3 Rechnungen für [mm]U_2[/mm] :
> Version 1)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> I*2 | I +II
> [mm]\pmat{ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> III*4 | I-II
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & -5 & -5 & -12 \\ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 }[/mm]
>
> I*2 | II-III
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }[/mm]
>
> Version 2)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> I*2 | III*4
> [mm]\pmat{ -4 & 2 & 0 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 8 & 12 }[/mm]
>
> I+II | III+II
> [mm]\pmat{ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & -2 & 5 & 5 & 12 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 }[/mm]
>
> II*2 | II+III
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }[/mm]
>
> Version 3)
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> I-II
> [mm]\pmat{ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> I-II
> [mm]\pmat{ -8 & 0 & 1 & 3 & 2 \\ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> III*8 | I-III
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ -8 & 0 & 1 & 3 & 2 }[/mm]
>
> II*4 | III*3
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 24 & 4 & -4 & 0 & -4 \\ -24 & 0 & 3 & 9 & 6 }[/mm]
>
> II+III
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 9 & 19 & 26 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ -24 & 4 & -4 & 0 & -4 }[/mm]
>
> III:4
> [mm]\pmat{ 6 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }[/mm]
>
> So, ich hoffe ich hab mcih nirgends vertippt.
>
Um die erste Zeile aus Version 1) zu erhalten,
mußt Du die Zeilen aus Version 2) bzw. Version 3)
geeignet kombinieren.
In Version 2) beispielsweise addierst Du
geeignete Vielfache der Zeilen 2 und 3 zur Zeile 1.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Do 01.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Oh gut, endlich mal kein Rechenfehler ^^ Dann rechne ich mal damit weiter. danke : )
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Kann es nur eine "richtige" Basis für [mm] U_2 [/mm] geben oder sind da mehrer Varianten richtig?
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 }
[/mm]
2*I+II und 2*III+I
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 7 & 7 }
[/mm]
(-4)*III*II
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & -9 & -19 & -26 }
[/mm]
[mm] B_{U_2}=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\ 1}, \vektor{0 \\ 4 \\ -1 \\ 9 \\ 2}, \vektor{0 \\ 0 \\ -9 \\ -19 \\ -26},
[/mm]
Mathegirl
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> Kann es nur eine "richtige" Basis für [mm]U_2[/mm] geben oder sind
> da mehrer Varianten richtig?
Hallo,
i.a. haben Vektorräume sehr viele Basen.
So gibt es auch bei dieser Aufgabenstellung viele richtige Antworten.
Insofern ist auch die Formulierung der Aufgabe, in welcher steht, daß man "die" Basis angeben soll, nicht ganz richtig. Eigentlich sollte dort "eine Basis" stehen.
Deine Basis sieht (grob drübergeschaut) richtig aus.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
4 & 2 & -1 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 3 }[/mm]
>
> 2*I+II und 2*III+I
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 7 & 7 }[/mm]
>
> (-4)*III*II
> [mm]\pmat{ -2 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 4 & -1 & 9 & 2 \\
0 & 0 & -9 & -19 & -26 }[/mm]
>
> [mm]B_{U_2}=\vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
3 \\
1}, \vektor{0 \\
4 \\
-1 \\
9 \\
2}, \vektor{0 \\
0 \\
-9 \\
-19 \\
-26},[/mm]
>
> Mathegirl
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Hallo yangwar1,
> Ich erhalte dann bei U2 folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{-2&1&0&3&1\\0&0,5&1&3,5&3,5\\0&0&-9&-19&-26}[/mm]
>
> Die führenden Elemente der Zeilen sind somit -2, 0,5 und
> -9. Daher ist bilden der Vektor aus Zeile 1,2 und 3 eine
> Basis mit
>
> [mm]\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0,5\\1\\3,5\\3,5\end{pmatrix}[/mm] ,
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\-9\\-19\\-26\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das nun richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und überhaupt verstehe ich noch nicht recht, warum ich
> denn die Vektoren in die Matrix schreiben darf? Bzw. hat
> das nur den Grund, dass ich die linear unabhängigen
> Vektoren mit der Nullzeile entferne?
Nun, die Gleichung für die lineare Unabhängigkeit besagt doch:
[mm]a*\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \\1\end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix}4\\ 2\\ -1\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}+c*\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}= \ \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}[/mm]
Das kann auch so geschrieben werden:
[mm]\begin{pmatrix}-2 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 3 & 3 & 2\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}*\[\begin{pmatrix}a\\b\\ c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}[/mm]
Damit hast Du die Vektoren in eine Matrix geschrieben.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 01.12.2011 | | Autor: | davux |
Hallo Mathepower,
könnte man nicht auch die Vektoren so wie sie gegeben sind in Form der linearen Hülle übernehmen? Schließlich sieht man doch mit etwas Erfahrung, dass Vektoren von denen jeweils unterschiedliche Komponenten Null enthalten, dass sie linear unabhängig sind. Dann könnte man doch auch sagen, dass man mit den drei Vektoren ein minimales Erzeugendensystem hat, und folglich eine Basis von [mm] U_2.
[/mm]
Außerdem stecke ich viel mehr noch an einem anderen Problem fest.
Wenn ich mit [mm] $dim\,(U_1\cap U_2)=dim\,U_1+dim\,U_2-dim\,(U_1+U_2) [/mm] die Dimension von [mm] U_1\cap U_2 [/mm] ausrechne, erhalte ich als Ergebnis 1, aber bei der Berechnung der Basis zwei linear unabhängige Vektoren.
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Hallo davux,
> Hallo Mathepower,
> könnte man nicht auch die Vektoren so wie sie gegeben
> sind in Form der linearen Hülle übernehmen? Schließlich
> sieht man doch mit etwas Erfahrung, dass Vektoren von denen
> jeweils unterschiedliche Komponenten Null enthalten, dass
> sie linear unabhängig sind. Dann könnte man doch auch
> sagen, dass man mit den drei Vektoren ein minimales
> Erzeugendensystem hat, und folglich eine Basis von [mm]U_2.[/mm]
>
Natürlich kann man das.
> Außerdem stecke ich viel mehr noch an einem anderen
> Problem fest.
> Wenn ich mit [mm]$dim\,(U_1\cap U_2)=dim\,U_1+dim\,U_2-dim\,(U_1+U_2)[/mm]
> die Dimension von [mm]U_1\cap U_2[/mm] ausrechne, erhalte ich als
> Ergebnis 1, aber bei der Berechnung der Basis zwei linear
> unabhängige Vektoren.
Gruss
MathePower
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> [mm]v_1=\vektor{1 \\
1 \\
-1 \\
1 \\
1 },[/mm]
> [mm]v_2=\vektor{-1 \\
1 \\
-2 \\
0 \\
3}, v_3=\vektor{3 \\
1 \\
0 \\
2 \\
-1}, v_4=\vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
3 \\
1}, v_5=\vektor{4 \\
2 \\
-1 \\
3 \\
0}, v_6=\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
2 \\
3}[/mm]
>
> a) [mm]U_1=Lin(v_1,v_2,v_3)[/mm]
> [mm]U_2=Lin(v_4,v_5,v_6)[/mm]
> Bestimme die Basen der Unterräume [mm]U_1, U_2, U_1\cap U_2[/mm]
> und [mm]U_1+U_2[/mm]
Hallo,
nochmal zum Schnitt:
es war ja recht schnell (und vor allem mit recht behaglicher Rechnung) klar, daß [mm] dimU_1=2, dimU_2=3.
[/mm]
Durch Draufgucken sieht man ja,
daß [mm] (v_1, v_2) [/mm] eine Basis von [mm] U_1 [/mm] ist,
und wenn man die Dimension von [mm] U_2 [/mm] weiß, dann kann es ja nicht anders sein, als daß [mm] (v_4, v_5, v_6) [/mm] eine Basis von [mm] U_3 [/mm] ist.
[mm] dim(U_1+U_2)=4 [/mm] und daher [mm] dim(U_1\cap U_2)=1 [/mm] war auch schnell berechnet.
Mit etwas Geschick und gutem Hingucken läßt sich bei dieser Aufgabe die ganze Rechnerei zur Bestimmung einer Basis von [mm] U_1\cap U_2 [/mm] vermeiden: man sieht, daß [mm] v_5 [/mm] eine Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] ist.
Damit ist Frage nach einer Basis des Schnittes hier gelöst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 04.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich brauch das nochmal erklärt.
Die Basen müssen ja linear unabhängig sein, also könnte ich für [mm] U_1 [/mm] doch auch schreiben:
$ [mm] \left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&3&0\\1&1&1&0\\-1&-2&0&0\\1&0&2&0\\1&3&-1&0\end{array}\right) [/mm] $
Dafür bekomm ich eine Lösungsmenge raus, aber was bringt mir das? Wie komm ich davon dann auf die Basen?
LG
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> Hi
>
> Ich brauch das nochmal erklärt.
Hallo,
Du meinst jetzt, wie man aus einem Erzeugendensystem durch stumpfes Rechnen eine Basis raussuchen kann?
>
> Die Basen müssen ja linear unabhängig sein,
Nein. Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein.
> also könnte
> ich für [mm]U_1[/mm] doch auch schreiben:
>
> [mm]\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&3&0\\
1&1&1&0\\
-1&-2&0&0\\
1&0&2&0\\
1&3&-1&0\end{array}\right)[/mm]
Ist das die Matrix, die die drei erzeugenden Vektoren in den Spalten hat?
Bring sie auf ZSF, dann kann ich Dir zeigen, wie man weitermacht.
(Diese Matrix unbedingt mitposten, nicht nur das Ergebnis. Poste bitte auch meine Anleitung zum Finden der Basisvektoren mit und erkläre, was Du damit machst, bzw. was Du nicht verstehst.)
>
> Dafür bekomm ich eine Lösungsmenge raus, aber was bringt
> mir das? Wie komm ich davon dann auf die Basen?
Du willst keine Basen. Eine Basis reicht für Deine Zwecke, und deren Basisvektoren möchtest Du wissen.
Achte auf präzise Ausdrucksweise und genaue Kenntnis der Definitionen, sonst bringst Du Dich am ende noch selbst durcheinander, und das ist das letzte, was man gebrauchen kann.
Gruß v. Angela
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 04.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Die Aufgabe lautet aber doch "Bestimmen Sie die Basen von [mm] U_1,... [/mm] "
Eine Basis ist es, wenn die Vektoren linear unabhängig sind und diese ein Erzeugendensystem sind. Letzteres sind sie per Vorgabe ja schon: [mm] U_1 [/mm] = [mm] Lin(v_1, v_2, v_3) [/mm] und linear unabhängig sind sie, wenn [mm] x_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] x_2 \cdot v_2 [/mm] + [mm] x_3 \cdot v_3 [/mm] = 0. Und das habe ich dann in die Matrix geschrieben.
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&3&0\\
1&1&1&0\\
-1&-2&0&0\\
1&0&2&0\\
1&3&-1&0\end{array}\right)[/mm]
Als Lösung habe ich:
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c}-1&-2&0&0\\
0&-1&1&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
Also [mm] \IL [/mm] = { [mm] -2x_3, x_3, x_3 [/mm] }
Was ja bedeutet, dass die drei Vektoren linear abhängig sind.
Aber wie komme ich denn nun darauf, dass ausgerechnet [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] die Basisvektoren sind? Alle möglichkeiten durchrechnen ist ja irgendwie blöd, vorallem falls mal mehr als 3 Vektoren gegeben sind. Das "scharfe hinsehen" hilft mir leider auch nicht weiter.
LG
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> Hi
>
> Die Aufgabe lautet aber doch "Bestimmen Sie die Basen von
> [mm]U_1,...[/mm] "
>
> Eine Basis ist es, wenn die Vektoren linear unabhängig
> sind und diese ein Erzeugendensystem sind.
Hallo,
ja.
> Letzteres sind
> sie per Vorgabe ja schon: [mm]U_1[/mm] = [mm]Lin(v_1, v_2, v_3)[/mm]
Genau.
> und
> linear unabhängig sind sie, wenn [mm]x_1 \cdot v_1[/mm] + [mm]x_2 \cdot v_2[/mm]
> + [mm]x_3 \cdot v_3[/mm] = 0.
Nein. Sondern wenn daraus folgt, daß [mm] x_1=x_2=x_3=0.
[/mm]
> Und das habe ich dann in die Matrix
> geschrieben.
>
> [mm]\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&3&0\\
1&1&1&0\\
-1&-2&0&0\\
1&0&2&0\\
1&3&-1&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Als Lösung habe ich:
>
> [mm]\left(\begin{array}{ccc|c}-1&-2&0&0\\
0&-1&1&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\end{array}\right)[/mm]
>
> Also [mm]\IL[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]-2x_3, x_3, x_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Ja. Die oben von Dir aufgestellte gleichung hat also eine nichttriviale Lösung,
> Was ja bedeutet, dass die drei Vektoren linear abhängig
> sind.
Ja.
Weiter siehst Du: die Matrix hat den Rang 2, also ist die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes =2. Die von Dir gesuchte Basis besteht also aus zwei Vektoren.
>
> Aber wie komme ich denn nun darauf, dass ausgerechnet [mm]v_1[/mm]
> und [mm]v_2[/mm] die Basisvektoren sind?
Es sind nicht "die" Basisvektoren. [mm] (v_1, v_2) [/mm] ist eine (!) Basis von [mm] U_1, [/mm] und zwar eine, die man halt per Kochrezept schnell ablesen kann.
Es ist aber [mm] (v_1, v_3) [/mm] ebenso eine Basis, auch [mm] (v_2, v_3).
[/mm]
Und es gibt noch ganz, ganz viele andere Basen!
> Alle möglichkeiten
> durchrechnen ist ja irgendwie blöd, vorallem falls mal
> mehr als 3 Vektoren gegeben sind. Das "scharfe hinsehen"
> hilft mir leider auch nicht weiter.
Naja, deshalb hatte ich ja auch ein Kochrezept zum Finden einer Basis aus einem Erzeugendensystem hier im Thread aufgeschrieben.
Eine Basis reicht!
Bei vielen Vektoren findet man eine Basis meist wirklich nicht mehr durch Hingucken.
Wichtig ist noch, daß Du siehst, daß die beiden linear uabhängig sind:
streiche in der Ursprungsmatrix die dritte Spalte, in der Endmatrix dann auch.
Du siehst: die Gleichung [mm] x_1v_1+x_2v_2=0 [/mm] hat nur die triviale Lösung, also linear unabhängig.
Gruß v. Angela
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 04.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay, ich glaub für U_1, U_2 und U_1 + U_2 hab ich das verstanden. Aber beim Schnitt hängt es noch...
Ich habe mich nach dieser
$ \lambda_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}- \mu_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_{2}\cdot{}\begin{pmatrix}4\\2\\-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mu_{3}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\\3\end{pmatrix}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} $
Gleichung gerichtet, so wie Mathepower beschrieben hatte. Allerdings kommt da bei mir raus, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Es sollte aber doch nur ein Basisvektor rauskommen.
Ist die Matrix so richtig aufgestellt?
$ \left(\begin{array}{ccccc|c}{1&-1&2&-4&-1&0\\1&1&-1&-2&0&0\\-1&-2&0&1&-1&0\\1&0&-3&-3&-2&0\\1&3&-1&0&-3&0\end{array}\right) $
LG
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Hallo Fincayra,
> Okay, ich glaub für [mm]U_1, U_2[/mm] und [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] hab ich das
> verstanden. Aber beim Schnitt hängt es noch...
>
> Ich habe mich nach dieser
>
> [mm]\lambda_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}- \mu_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}+\mu_{2}\cdot{}\begin{pmatrix}4\\2\\-1\\3\\0\end{pmatrix}+\mu_{3}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\\3\end{pmatrix}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
Hier muss es doch heissen:
[mm]\lambda_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_{2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}- \mu_{1}\cdot{}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\3\\1\end{pmatrix}\blue{-}\mu_{2}\cdot{}\begin{pmatrix}4\\2\\-1\\3\\0\end{pmatrix}\blue{-}\mu_{3}\cdot{}\begin{pmatrix}1\\0\\1\\2\\3\end{pmatrix}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Gleichung gerichtet, so wie Mathepower beschrieben hatte.
> Allerdings kommt da bei mir raus, dass die Vektoren linear
> unabhängig sind. Es sollte aber doch nur ein Basisvektor
> rauskommen.
>
Rechne das mal vor.
> Ist die Matrix so richtig aufgestellt?
>
> [mm]\left(\begin{array}{ccccc|c}{1&-1&2&-4&-1&0\\1&1&-1&-2&0&0\\-1&-2&0&1&-1&0\\1&0&-3&-3&-2&0\\1&3&-1&0&-3&0\end{array}\right)[/mm]
>
Ja.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 So 04.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ja, die - hab ich nur hier im Forentext vergessen zu korrigieren (hatte die Formel aus deinem Beitrag kopiert).
Ich hab das ganze eben nochmal durchgerechnet und hab jetzt nach einigem Vorzeichengefummel doch das richtige raus : )
Vielen Dank für eure Hilfe : )
LG
Fin
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