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| Aufgabe | Gegeben ist A := [mm] \pmat{ \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\ \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} } \in \IF_{5}^{2 x 3}.
[/mm]
Es sei [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IF_{5}^{3} \to \IF_{5}^{2} [/mm] die von A induzierte Standardabbildung. Bestimme eine Basis von [mm] \IF_{5}^{2 x 3} [/mm] / [mm] Kern(\alpha). [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich habe eine Frage zu der oben genannten Aufgabe. Zunächst sei an dieser Stelle erwähnt, dass der Strich über den Elementen der Matrix bei uns Repräsentanten der Restklassen bedeuten. Sprich [mm] \overline{0} [/mm] sind alle Elemente aus [mm] \IF_{5} [/mm] die den Rest 0 haben, also a (mod 5) = 0.
Ich weiß nicht so richtig wie ich das hier nun machen muss. Der Kern von [mm] \alpha [/mm] ist (wenn ich es richtig gemacht habe) [mm] LH{\{\vektor{1 \\ 2 \\ 1}\}}.
[/mm]
Aber was bedeutet diese Notation von [mm] \IF_{5}^{2 x 3} [/mm] / [mm] Kern(\alpha)? [/mm] Im Skript habe ich folgendes gefunden: Für U Teilraum von V ist V/U der Faktorraum/Restklassenraum und man liest U modulo V. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich [mm] Kern(\alpha) [/mm] Modulo [mm] \IF_{5}^{3} [/mm] rechnen soll...geschweige denn mir das vorstellen kann.
Über Tipps würde ich mich sehr freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Di 26.04.2016 | | Autor: | Ladon |
Hallo mathelernender,
es sind mehrere Fehler in deinem Kommentar zu finden.
1.) Du möchtest nicht [mm] $\mathbb {F}_5^{2\times3}/\ker (\alpha)$ [/mm] berechnen, sondern [mm] $\mathbb{F}_5^3/\ker(\alpha) [/mm] $.
2.) $V/U $ heißt $V $ modulo $U $. Es ist [mm] $V/U:=\{vU|v\in V\} [/mm] $. Dementsprechend ist [mm] $\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha) =\{a+\ker (\alpha)|a\in \mathbb {F}_5^3\} [/mm] $, wobei $a+ker [mm] (\alpha)=\{a+k|k\in \ker (\alpha)\} [/mm] $.
3.) [mm] $\ker (\alpha)=\{x\in\mathbb {F}_5^3|Ax=0\}=span (\vektor {1\\3\\1})\neq [/mm] span [mm] (\vektor {1\\2\\1}) [/mm] $
Allerdings musst du den [mm] $\ker (\alpha) [/mm] $ gar nicht berechnen. Du musst nur wissen, dass er nicht trivial ist.
Wir wissen, dass [mm] $\alpha\colon \mathbb {F}_5^3\to\mathbb {F}_5^2$ [/mm] surjektiv ist. Schließlich wird
[mm] $$\vektor {0\\3\\0}\mapsto\vektor{1\\0}\qquad\mbox [/mm] { und [mm] }\qquad \vektor {0\\1\\1}\mapsto\vektor {0\\1} [/mm] $$ abgebildet. Jetzt betrachten wir die eindeutige Abbildung [mm] $a\colon\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha)\to\mathbb {F}_5^2$ [/mm] gegeben durch [mm] $\alpha=a\circ\pi [/mm] $, wobei [mm] $\pi [/mm] $ die natürliche Projektion [mm] $\pi\colon \mathbb {F}_5^3\to \mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha) [/mm] $. Male dir am besten zur Illustration das zugehörige kommutative Diagramm auf (universelle Eigenschaft der Faktorgruppe).
[mm] $\alpha [/mm] $ und [mm] $\pi [/mm] $ sind offenbar surjektiv. Also ist auch $a $ surjektiv. $a $ ist aber auch injektiv, denn [mm] $\ker (a)=\ker (\alpha)/\ker (\alpha)=\{0\} [/mm] $.
Also ist $a $ ein Isomorphisms und [mm] $\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha)\cong \mathbb {F}_5^2$.
[/mm]
OK. Wir wissen jetzt, wie wir uns [mm] $\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha)$ [/mm] vorzustellen haben. Wie sieht die Basis aus. Du identifizierst alle Punkte, die auf der Geraden [mm] $\{x+v|v\in\ker (\alpha)=span (1,3,1)\}$ [/mm] liegen für beliebige aber feste [mm] $x\in \mathbb {F}_5^3$. [/mm] Wenn du $x $ als die [mm] $x_1,x_2$-Ebene [/mm] von [mm] $\mathbb {F}_5^3$, [/mm] erreichst du jeden beliebigen Punkt mit Hilfe deines Vektors [mm] $v\in\ker (\alpha) [/mm] $. Also ist [mm] $\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha)=\{a+\ker (\alpha)|a\in \mathbb {F}_5^3\}$ [/mm] quasi als [mm] $x_1,x_2$-Ebene [/mm] anzusehen, was uns nicht wundern sollte, da die [mm] $x_1,x_2$-Ebene [/mm] schließlich isomorph zu [mm] $\mathbb {F}_5^2$ [/mm] ist. Das haben wir oben gezeigt. Lange Rede kurzer Sinn:
Wähle als Basis $$ [mm] \left\{\vektor {1\\0\\0}+\ker (\alpha), \vektor {0\\1\\0}+\ker (\alpha)\right\} [/mm] $$ Begründing: Die Vektoren sind linear unabhängig und [mm] $\dim (\mathbb {F}_5^3/\ker (\alpha)) =\dim (\mathbb {F}_5^3)-\dim (\ker (\alpha))=3-1=2$.
[/mm]
VG
Ladon
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Großen Dank für die Korrektur und Erleuchtung!
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