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Hallo, ich habe gerade ein paar alte LA Klausuren durchgerechnet und bei einer Aufgabe habe ich ein kleines Problem. Es wäre nett, wenn mir jemand meine Fragen beantworten könnte. Falls ihr noch irgendwas braucht, sagt bescheid :)
Gegeben sind die folgendenden Untervektorräume von [mm] \IR^4
[/mm]
[mm] U_{1} [/mm] = [mm] \{ \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\1}, \vektor{2 \\ 1 \\2 \\1} \}
[/mm]
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{2 \\ 3 \\ 2 \\ 3}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \}
[/mm]
Aufgabe war es unter anderem, eine Basis für den Schnittraum [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] zu berechnen.
Ich würde euch gerne meine Vorgehensweise zeigen. Es wäre nett, wenn Ihr mir sagen könntet, ob die Vorgehensweise richtig ist. Ich habe mit Absicht alle Rechenwege weggelassen, da ich nur wissen möchte ob die Vorgehensweise stimmt.
[mm] U_{1}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 &1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 } \Rightarrow B_{U_{1}} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1} \}
[/mm]
Diese Basis stimmt auch mit der Lösung überein.
[mm] U_{2}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 } \to \pmat{ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \Rightarrow B_{U_{2}} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 1 } \}
[/mm]
In der Lösung steht als Basis für [mm] U_{2}:
[/mm]
[mm] \{ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2 } \}
[/mm]
Ich habe trotzdem mal weitergemacht und mit dem Ansatz
[mm] a*b_{1}+b*b_{2}+c*b_{3} [/mm] = [mm] d*b_{4} [/mm] + [mm] e*b_{5} \Leftrightarrow
[/mm]
[mm] a*b_{1}+b*b_{2}+c*b_{3} [/mm] - [mm] d*b_{4} [/mm] - [mm] e*b_{5} [/mm] = 0 Das folgende LGS aufgestellt. (Ich habe die Vorzeichen der Vektoren aus [mm] U_2 [/mm] nicht geändert, sondern mir gemerkt, dass ich später -d und -e rechnen muss).
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1} \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1}
[/mm]
Daraus habe ich geschlossen:
a = -e
b = -e
c = -e
d = e
e = frei wählbar
für e = (-1) erhalte ich also die Summe aller Basisvektoren (da a = b = c = 1 und d und e ja subtrahiert werden) , was [mm] v_{1}= \vektor{2 \\ 2 \\ 4 \\ 2} [/mm] ist. Dieser Vektor stimmt auch mit der Lösung überein.
für e = 1 erhalte ich aber erhalte ich die Differenz von allen Basisvektoren (wobei der erste basisvektor noch negatives Vorzeichen hat, da a = b = c = -1 und d=e=1 aber subtrahiert werden) also [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Das die beiden Vektoren nicht den selben Raum aufspannen ist natürlich klar, aber warum stimmt der zweite Vektor nicht?
Falls es sich um einen Rechenfehler handelt, werde ich es nochmal rechnen und posten.
Vielen Dank und freundliche Grüße :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sind die folgendenden Untervektorräume von [mm]\IR^4[/mm]
> [mm]U_{1}[/mm] = [mm]\{ \vektor{3 \\ 2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{3 \\ 3 \\ 2 \\1}, \vektor{2 \\ 1 \\2 \\1} \}[/mm]
>
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{2 \\ 3 \\ 2 \\ 3}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2} \}[/mm]
>
> Aufgabe war es unter anderem, eine Basis für den
> Schnittraum [mm]U_1 \cap U_2[/mm] zu berechnen.
>
> Ich würde euch gerne meine Vorgehensweise zeigen. Es wäre
> nett, wenn Ihr mir sagen könntet, ob die Vorgehensweise
> richtig ist. Ich habe mit Absicht alle Rechenwege
> weggelassen, da ich nur wissen möchte ob die
> Vorgehensweise stimmt.
>
> [mm]U_{1}:[/mm]
> [mm]\pmat{ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 &1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 } \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 } \Rightarrow B_{U_{1}}[/mm]
> = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1} \}[/mm]
>
> Diese Basis stimmt auch mit der Lösung überein.
>
> [mm]U_%257B2%257D%253A[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & 2 } \to \pmat{ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } \Rightarrow B_{U_{2}}[/mm]
> = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0 \\ 4 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 1 } \}[/mm]
>
> In der Lösung steht als Basis für [mm]U_%257B2%257D%253A[/mm]
> [mm]%255C%257B%2520%255Cvektor%257B1%2520%255C%255C%25200%2520%255C%255C%25204%2520%255C%255C%25200%257D%252C%2520%255Cvektor%257B1%2520%255C%255C%25202%2520%255C%255C%25200%2520%255C%255C%25202%2520%257D%2520%255C%257D[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Basis ist auch richtig.
>
> Ich habe trotzdem mal weitergemacht und mit dem Ansatz
> [mm]a*b_{1}+b*b_{2}+c*b_{3}[/mm] = [mm]d*b_{4}[/mm] + [mm]e*b_{5} \Leftrightarrow[/mm]
>
> [mm]a*b_{1}+b*b_{2}+c*b_{3}[/mm] - [mm]d*b_{4}[/mm] - [mm]e*b_{5}[/mm] = 0 Das
> folgende LGS aufgestellt. (Ich habe die Vorzeichen der
> Vektoren aus [mm]U_2[/mm] nicht geändert, sondern mir gemerkt, dass
> ich später -d und -e rechnen muss).
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1} \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1}[/mm]
>
> Daraus habe ich geschlossen:
> a = -e
> b = -e
> c = -e
> d = e
> e= frei wählbar.
Also sind alle Vektoren von [mm] U_1, [/mm] die gleichzeitig im Schnitt liegen, von der Bauart [mm] -eb_1-eb_2-eb_3=e(-b_1-b_2-b_3) [/mm] .
Es ist also der Vektor [mm] (-b_1-b_2-b_3) [/mm] eine Basis des Schnittes. (Genauso könnte man auch [mm] b_1+b_2+b_3 [/mm] nehmen oder das 34-fache davon)
Ausgedrückt mit den Basisvektoren von [mm] U_2 [/mm] bekommt man, daß die Vektoren des Schnittes von der Bauart [mm] -eb_4-eb_5=e(-b_4-b_5) [/mm] sind, daß also etwa [mm] -b_4-b_5 [/mm] eine Basis des Schnittes ist.
LG Angela
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