Basis eines Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen ode widerlegen Sie:
Zu jedem endlich dimensionalen Vektorraum V existiert eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] : V [mm] \rightarrow [/mm] V, n aus N, und ein Vektor v [mm] \in [/mm] V so, dass [mm] v,\alpha(v),...,\alpha^n(v) [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo liebe Forenmitglieder,
leider fehlt mir ein Ansatz zum Beweis oder zur Widerlegung. Wäre der Nullvektorraum ein Gegenbeispiel (meine Idee) ? Erscheint mir aber ziemlich pathologisch, da dessen Basis ja mehr oder weniger per definitionem als leere Menge festgelegt ist.
Vielen Dank für eure Ratschläge,
hilbert-traum
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 29.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Zeigen ode widerlegen Sie:
> Zu jedem endlich dimensionalen Vektorraum V existiert eine
> lineare Abbildung [mm]\alpha[/mm] : V [mm]\rightarrow[/mm] V, n aus N, und
> ein Vektor v [mm]\in[/mm] V so, dass [mm]v,\alpha(v),...,\alpha^n(v)[/mm]
> eine Basis von V ist.
> Hallo liebe Forenmitglieder,
>
> leider fehlt mir ein Ansatz zum Beweis oder zur
> Widerlegung. Wäre der Nullvektorraum ein Gegenbeispiel
> (meine Idee) ? Erscheint mir aber ziemlich pathologisch, da
> dessen Basis ja mehr oder weniger per definitionem als
> leere Menge festgelegt ist.
Der Nullvektorraum ist kein Gegenbeispiel, da seine Basis, wie du bemerkt hast, leer ist. Also hat die Basis die gewünschte Form für $n=0$.
Die Aussage gilt also für den Nullraum.
Ist nun $V$ nicht der Nullraum. Setze [mm] $n:=dim\;V$. [/mm] Dies ist möglich, da $V$ endlichdimensional. Wähle dir $v [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash\{0\}$ [/mm] beliebig, dann ist $(v)$ ein linear unabhängiges System von Vektoren aus $V$. Dieses kannst du zu einer Basis von $V$ erweitern: [mm] $(v,v_2,v_3,\ldots,v_n)$
[/mm]
Nun betrachte die Abbildung [mm] $\alpha$, [/mm] welche $v$ auf [mm] $v_2$, $v_i$ [/mm] auf [mm] $v_{i+1}$ [/mm] für $i [mm] \in \{2,\ldots,n-1\}$ [/mm] und [mm] $v_n$ [/mm] auf $v$ abbildet. Alle anderen Bilder erhälst du durch lineare Fortsetzung. Diese Abbildung hat die gewünschten Eigenschaften.
Überlege dir, warum das so definierte [mm] $\alpha$ [/mm] wohldefiniert ist und linear.
LG, Lippel
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Hallo Lippel,
danke für deine Hilfe, jetzt verstehe ich aber nicht, wieso ich davon ausgehen darf, dass so eine Abbildung [mm] \alpha [/mm] in jedem Fall exisitiert (meinst du das, wenn du von wohldefiniert sprichst?) und wenn ja, wie zeigt man Wohldefiniertheit ?
Lg,
hilbert-traum
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
ihr hattet sicher in der Vorlesung den sehr wichtigen Satz: Seien $V, W$ endl.dim. Vektorräume und [mm] $(v_1,\ldots,v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$, und seien [mm] $w_1,\ldots,w_n \in [/mm] W$ beliebig, dann existiert genau eine lineare Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$, sodass [mm] $f(v_i)=w_i$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,\ldots,n\}$.
[/mm]
Anschaulich gesprochen: man kann eine lineare Abbildung eindeutig konstruieren, indem mal beliebige Bilder für die Basis des Urbildraums angibt. Nichts anderes habe ich gemacht. Schau dir nochmal den Beweis zu diesem Satz an.
LG Lippel
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Vielen Dank, diesen Satz werde ich jetzt nicht mehr vergessen!
lg,
hilbert-traum
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