Basis eines Kerns < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute,
habe Probleme beim nachvollziehen folgender Aufgabe:
Gegeben sei eine 1 [mm] \times [/mm] 4 Matrix [mm] \cal{A}= [/mm] (1 -1 1 -1). Zeigen Sie, daß der Vektor [mm] \nu [/mm] = (1, 1, 1, 1) in [mm] Ker(\cal{A}) [/mm] liegt und bestimmen Sie eine Basis von Ker( [mm] \cal{A}), [/mm] der [mm] \nu [/mm] enthält.
(Hinweis: Steinitz'scher Austauschsatz)
Wie ich zeige das der Vektor im Kern liegt verstehe ich. Nun wurde bei der Lösung dieser Aufgabe beschrieben, daß [mm] \cal{A} [/mm] schon in Treppennormalform ist und wird wie folgt dargestellt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
Ker( [mm] \cal{A}) [/mm] = <(-1,-1,0,0),(1,0,-1,0),(-1,0,0,-1)>
Frage 1) Wieso wird der Kern durch die Vektoren, die erst entstanden sind durch hinzufügen von Zeilen aufgespannt?
Frage 2) Warum durch -1 in der Diagonalen erweitert?
Frage 3) Warum ausgerechnet zusätzliche drei Zeilen? Vermutlich wegen vier Unbekannten!?
Zu allem Überfluss wird auch noch eine scheinbar transponierte Matrix gebildet und die erste Zeile durch den Vektor getauscht!
Frage 4) Warum wird die Matrix erst transponiert, warum rechne ich nicht mit der angeblich bereits existierenden Matrix in Treppennormalform?
Frage 5) Wieso kann ich einfach so eine Zeile durch einen Vektor ersetzen?
Hier wurde vermutlich der Austauschsatz angewendet, nur muss ich so etwas vorher nicht irgendwie prüfen ob ich ihn ersetzen kann oder nicht?
Die anschließende Berechnung der Basis ist mir wieder einleuchtend.
Ich habe diese Aufgabe gewählt, weil in ihr gleich mehrere für mich nicht nachvollziehbare Rechenschritte auftauchen.
Schon im Vorraus ein fettes Danke!
Marc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc!
Ich glaube dir ist gar nicht klar, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt, oder?
Das geht so:
1) Schreibe die Matrix $A$ hin.
2) Schreibe darunter die Einheitsmatrix.
3) Versuche durch elementare Spaltenumformungen an der Matrix $A$ Nullspalten zu erzeugen, so viele wie möglich.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Die Anzahl der Nullspalten ist die Dimension des Kerns.
4) Führe die gleichen elementaren Spaltenumformungen an der Einheitsmatrix durch.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Die Spalten der manipulierten Einheitsmatrix, die unter den Nullspalten stehen, bilden eine Basis des Kerns!
Und genau das wurde hier gemacht!
Wir schreiben die Matrix $A$ hin:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1}$
[/mm]
und darunter die Einheitsmatrix
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$.
[/mm]
Jetzt lassen wir die erste Spalte so, ersetzen die zweite Spalte durch das Negative der ersten Spalte minus die zweite Spalte, ersetzen die dritte Spalte durch die erste Spalte minus die dritte Spalte und schließlich die vierte Spalte durch das Negative der ersten Spalte minus die vierte Spalte.
Dann erhalten wir
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
und
[mm] $\pmat{1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}$,
[/mm]
also die Behauptung.
Das sind aber ganz elementare Sachverhalte, die du dir wirklich ganz dringend noch einmal anschauen solltest! 
Naja, jetzt hast du vielleicht wieder was dazugelernt.
Ist es denn jetzt klar, wie es weitergeht?
Du musst jetzt den Austauschsatz anwenden...
In diesem Fall hätte man den Kern natürlich auch direkt ablesen oder aber mit dem obigen Verfahren etwas eleganter bestimmen können, nämlich mit weniger Minuszeichen.
Liebe Grüße
Stefan
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und wie lese ich nun die dimension des kernes ab ?!?!? du hast doch gesagt man sollte die nullspallten zaehlen, mit meinem weniger als bescheidenem wissen komme ich zu dem schluss das diese matrix GARKEINE nullspalten besitz ... dimension 0 ??!? kann aber doch nicht sein, denn einen kern haben wir doch schon .... :(
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Erst einmal Danke für deine schnelle Antwort.
Eigentlich weiss ich schon wie man den Kern einer linearen Abbildung errechnet, jedoch unter Anwendung beschriebener Rechnungen auf den Zeilenraum, nicht auf den Spaltenraum. Den Zusammenhang zwischen beiden muss ich erst mal rausfiltern!
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