Basis eines Lösungsraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mi 15.03.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hi Leute gesucht ist die Basis zu folgendem LGS:
I. 2x + y = 1
II. 5y - 2z = 3
habe dann nach einigen rechnen rausgefungen (hoffentlich richtig) dass alle Elemente des Lösungsraums, aus folgener Gleichung entstehen:
[mm] x*\vektor{1 \\ 0 \\ -5} [/mm] + y [mm] *\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
(wobei dann hier jeweils die erste komponente das x wäre, die zweite das y und die 3. das z. der Lösung)
Nun ist ja eine Basis gesucht, was mir jetzt aber probleme macht ist der letzte Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Ich weiß nicht wie ich hier weiter machen muss.
Es wäre unglaublig nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
Gruß Ari =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 15.03.2006 | | Autor: | statler |
Hi Ari!
> Hi Leute gesucht ist die Basis zu folgendem LGS:
>
> I. 2x + y = 1
> II. 5y - 2z = 3
Gemeint ist wohl: eine Basis des Lösungsraumes
> habe dann nach einigen rechnen rausgefungen (hoffentlich
> richtig) dass alle Elemente des Lösungsraums, aus folgener
> Gleichung entstehen:
>
> [mm]x*\vektor{1 \\ 0 \\ -5}[/mm] + y [mm]*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das sehe ich anders. Die Lösungsmenge ist eine Gerade. In Schulschreibweise mit Stützvektor u Richtungsvektor ergibt sich
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ -2 \\ -5}
[/mm]
> (wobei dann hier jeweils die erste komponente das x wäre,
> die zweite das y und die 3. das z. der Lösung)
>
> Nun ist ja eine Basis gesucht, was mir jetzt aber probleme
> macht ist der letzte Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm] Ich weiß
> nicht wie ich hier weiter machen muss.
Das zugehörige homogene LGS hat einen Untervektorraum als Lösungsmenge, und der wird von [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -5} [/mm] aufgespannt, hat also diesen Vektor als Basis.
Gruß  aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mi 15.03.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal.. muss man denn den ortsvektor nicht mitberücksichiten bei der Basisauswahl? die Elemente des Lösungsraums lassen sich ja nicht nur durch vielfache des Vektors [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -5} [/mm] schreiben oder?
hoffe du kannst diese Frage auch noch beantworten :) Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 15.03.2006 | | Autor: | statler |
> vielen dank schonmal.. muss man denn den ortsvektor nicht
> mitberücksichiten bei der Basisauswahl? die Elemente des
> Lösungsraums lassen sich ja nicht nur durch vielfache des
> Vektors [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ -5}[/mm] schreiben oder?
Das stimmt, die Lösungsmenge des vorliegenden inhomogenen GLS ist kein VR, sondern ein affiner Raum, da gehört der Ortsvektor dazu, OK?
> hoffe du kannst diese Frage auch noch beantworten :) Gruß
> Ari
Auch Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Mi 15.03.2006 | | Autor: | AriR |
das hatten wir mal in der schule aber in der vorlesung nicht besprochen, denke das wird dann in der nachklausur nicht drank kommen :)
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