Basis eines UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Do 14.01.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine Basis von [mm] U=span(v_1,v_2,v_3,v_4) [/mm] mit [mm] v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, v_2=\vektor{2 \\ -5 \\ -3 \\ -2 \\ 6}, v_3=\vektor{0 \\ 5 \\ 15 \\ 10 \\ 0} v_4=\vektor{2 \\ 6 \\ 18 \\ 8 \\ 6}. [/mm] |
Hallo.
Meine Frage nun: Kann ich auf verschiedene Weise vorgehen? Muss ich die Vektoren nun in Spalten oder in Zeilen in eine Matrix schreiben?
Schreibe ich die Vektoren in Zeilen, komme ich auf eine Basis mit [mm] u_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, u_2=\vektor{0 \\ -1 \\ -3 \\ -2 \\ 0}, u_3=\vektor{0 \\ 0 \\ -12 \\ -12 \\ 0}. [/mm] Ich hab die Matrix auf ZSF gebracht und dann stehen doch in den Zeilen mit Pivot-Elementen die Basisvektoren von [mm] U=span(v_1,...,v_4).
[/mm]
Schreibe ich die Vektoren in die Spalten der Matrix erhalte ich als Basis [mm] v_1,v_2,v_4. [/mm] Ich habe die Matrix auf ZSF gebracht. Dann sind die Spalten der umgeformten Matrix mit Pivot-Elementen Basis vom Spaltenraum der umgeformten Matrix (Pivot-Elemente stehen hier in 1.,2. und 4. Spalte). Aber damit sind dann [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] Basis von U?!
Was mach ich falsch? Oder ist beides richtig oder gar nix davon?
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> Bestimmen Sie eine Basis von [mm]U=span(v_1,v_2,v_3,v_4)[/mm] mit
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, v_2=\vektor{2 \\ -5 \\ -3 \\ -2 \\ 6}, v_3=\vektor{0 \\ 5 \\ 15 \\ 10 \\ 0} v_4=\vektor{2 \\ 6 \\ 18 \\ 8 \\ 6}.[/mm]
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> Hallo.
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> Meine Frage nun: Kann ich auf verschiedene Weise vorgehen?
> Muss ich die Vektoren nun in Spalten oder in Zeilen in eine
> Matrix schreiben?
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> Schreibe ich die Vektoren in Zeilen, komme ich auf eine
> Basis mit [mm]u_1=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 3}, u_2=\vektor{0 \\ -1 \\ -3 \\ -2 \\ 0}, u_3=\vektor{0 \\ 0 \\ -12 \\ -12 \\ 0}.[/mm]
> Ich hab die Matrix auf ZSF gebracht und dann stehen doch in
> den Zeilen mit Pivot-Elementen die Basisvektoren von
> [mm]U=span(v_1,...,v_4).[/mm]
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> Schreibe ich die Vektoren in die Spalten der Matrix erhalte
> ich als Basis [mm]v_1,v_2,v_4.[/mm] Ich habe die Matrix auf ZSF
> gebracht. Dann sind die Spalten der umgeformten Matrix mit
> Pivot-Elementen Basis vom Spaltenraum der umgeformten
> Matrix (Pivot-Elemente stehen hier in 1.,2. und 4. Spalte).
> Aber damit sind dann [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_4[/mm] Basis von U?!
>
> Was mach ich falsch? Oder ist beides richtig
Hallo,
ob Du richtig gerechnet hast, habe ich nicht geprüft.
Die Wege beiden Wege, die Du schilderst, sind richtig.
Daß Du zwei verschiedene Basen herausbekommst, ist kein Grund zur Aufregung.
Gruß v. Angela
oder gar nix
> davon?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 14.01.2010 | | Autor: | lubalu |
OK. Also kann beides richtig sein. Dass ich richtig gerechnet habe, bin ich ziemlich sicher. Gibt es bei irgendeinem Weg einen Vor- oder Nachteil für z.B. weiterführende Fragestelungen? Oder kann man das so allgemein nicht sagen?
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> OK. Also kann beides richtig sein. Dass ich richtig
> gerechnet habe, bin ich ziemlich sicher. Gibt es bei
> irgendeinem Weg einen Vor- oder Nachteil für z.B.
> weiterführende Fragestelungen? Oder kann man das so
> allgemein nicht sagen?
Hallo,
prinzipiell bevorzuge ich den Spaltenweg, weil man, wenn es um Bild und Kern geht, in einem Aufwasch den Kern mit ablesen kann.
Auch für die Frage, welche der erzeugenden Vektoren eine Basis bilden, ist dieser Weg natürlich ideal.
Der Zeilenweg ist praktisch, wenn man irgendwie zu einer Basis des [mm] \IR^n [/mm] ergänzen soll, weil man sofort sieht, welche Einheitsvektoren man nehmen kann.
Gruß v. Angela
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