Basis eines Untervektorraumes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Fr 07.01.2011 | | Autor: | bobbert |
| Aufgabe | Es sei U der von den Vektoren [mm] u_1= \vektor{ 0\\-1\\0\\1}, \vektor{ 3\\2\\3\\4}, \vektor{ 1\\1\\1\\1} [/mm] erzeugte Untervektorraum in [mm] \IR^4
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Basis von U
b) Geben Sie die Dimension von U an
c) Liegt der Vektor u = (1,2,3,4) in U ? |
Hi,
Habe eine Frage ob ich hier richtig vorgegangen bin.
habe eine Matrix gebildet und daß Gaußverfahren angewendet bis ich eine Dreiecksform erhalte:
zu a & b)
[mm] \pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1\\ 1&3&0&-I\\1&4&1}
[/mm]
= [mm] \pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0&0&0\\1&4&1}
[/mm]
= [mm] \pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1&-I \\1&4&1 &-I}
[/mm]
= [mm] \pmat{1 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -1\\0&1&1 &+II}
[/mm]
= [mm] \pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1}
[/mm]
Es ist U= Lim ((1,3,0);(0,-1,-1)) und Dim U=2
zu c) [mm] \pmat{1 & 3 & 0 &1\\ 1 & 2 & -1&2\\ 1&3&0&3\\1&4&1&4}
[/mm]
Fragen : 1) Sind a) & b) richtig
2) wie gehe ich bei c vor ? Setze das GFleichungssystem auf 0 ? Und dann ?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Es sei U der von den Vektoren [mm]u_1= \vektor{ 0\\-1\\0\\1}, \vektor{ 3\\2\\3\\4}, \vektor{ 1\\1\\1\\1}[/mm]
> erzeugte Untervektorraum in [mm]\IR^4[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie eine Basis von U
> b) Geben Sie die Dimension von U an
> c) Liegt der Vektor u = (1,2,3,4) in U ?
> Hi,
> Habe eine Frage ob ich hier richtig vorgegangen bin.
> habe eine Matrix gebildet und daß Gaußverfahren
> angewendet bis ich eine Dreiecksform erhalte:
>
> zu a & b)
>
> [mm]\pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1\\ 1&3&0&-I\\1&4&1}[/mm]
> = [mm]\pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0&0&0\\1&4&1}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1&-I \\1&4&1 &-I}[/mm]
> = [mm]\pmat{1 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & -1\\0&1&1 &+II}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1}[/mm]
>
> Es ist U= Lim ((1,3,0);(0,-1,-1)) und Dim U=2
Überlege dir mal, ob das überhaupt Sinn macht. Du betrachtest einen Untervektorraum des [mm] $\IR^4$. [/mm] Dieser muss dann natürlich auch von Vektoren aus dem [mm] $\IR^4$ [/mm] erzeugt werden. Willst du eine Basis des Unterraums bestimmen, musst du die drei Vektoren in die Zeilen einer Matrix schreiben, und dann Zeilenumformungen durchführen. So erhälst du deine Basis.
Was allerdings stimmt ist die von dir errechnete Dimension. Das liegt daran, dass Spaltenraum=Zeilenraum, d.h. du hast zwar die richtige Dimension, aber eine Falsche Basis.
>
> zu c) [mm]\pmat{1 & 3 & 0 &1\\ 1 & 2 & -1&2\\ 1&3&0&3\\1&4&1&4}[/mm]
>
>
>
>
> Fragen : 1) Sind a) & b) richtig
> 2) wie gehe ich bei c vor ? Setze das GFleichungssystem auf
> 0 ? Und dann ?
Bestimme erstmal die Basis, wahrscheinlich sieht man dann direkt, ob $u$ in dem Unterraum liegt oder nicht. Andernfalls musst du ein Gleichungssystem aufstellen und lösen.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Fr 07.01.2011 | | Autor: | bobbert |
dann hab ich das hier heraus :
[mm] \pmat{1 & 1&1&1 \\ 3 & 2&3&4\\ 0 & -1&0&1 }=
[/mm]
[mm] =\pmat{1 & 1&1&1 \\ 3 & 2&3&4&-3I\\ 0 & -1&0&1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{1 & 1&1&1 \\ 0 & -1&0&1\\ 0 & -1&0&1 }
[/mm]
[mm] =\pmat{1 & 1&1&1 \\ 0 & -0&0&0\\ 0 & -0&0&0 }
[/mm]
U= Lim((1,1,1,1)) und U = dim U=1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Guten Abend,
> dann hab ich das hier heraus :
>
> [mm]\pmat{1 & 1&1&1 \\ 3 & 2&3&4\\ 0 & -1&0&1 }=[/mm]
>
> [mm]=\pmat{1 & 1&1&1 \\ 3 & 2&3&4&-3I\\ 0 & -1&0&1 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{1 & 1&1&1 \\ 0 & -1&0&1\\ 0 & -1&0&1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=\pmat{1 & 1&1&1 \\ 0 & -0&0&0\\ 0 & -0&0&0 }[/mm]
Im letzten Schritt ist ein Fehler. Du kannst die dritte Zeile mithilfe der zweiten zu einer Nullzeile machen. Danach aber die zweite nicht auch zu einer Nullzeile, du kannst ja nicht mehr die dritte davon abziehen, bzw. die ist ja schon Nullzeile.
Es ist immer wichtig zu beachten, in welcher Reihenfolge die Operationen durchgeführt werden.
Du erhälst also:
[mm]=\pmat{1 & 1&1&1 \\ 0 & -1&0&1\\ 0&0&0&0 }[/mm]
In den zwei ersten Zeilen steht die Basis. Du erhälst also wie schon vorhin [mm] $dim\:U=2$!
[/mm]
Kannst du jetzt schon sagen, ohne groß rechnen, ob der Vektor [mm] $\vektor{1\\2\\3\\4}$ [/mm] darin liegt?
Viele Grüße, Lippel
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