Basis eines VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 So 20.11.2005 | | Autor: | Ernesto |
Hallo ihr eifriegen Köpfe
eine Frage.
Angenommen ich habe eine Familie von Vektoren. Z.B ein Gleichungssystem bestehend
aus 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten
I x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
II 2x1 + x2 + x3 + 0 = 0
Dieses System löse ich wie folgt :
II - 2 * I dann erhalte ich :
x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
0 - 5x2 + x3 - 4x4 = 0
da ich 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten habe kann ich doch 2 Unbekannte frei wählen. Ich wähle x3 = u , x4 = v mit u , v [mm] \in [/mm] R
dann löse ich das System auf. und bekomme dann eine Lösung so das x1 und x2 von u und v abhängen... ist dieses dann eine Basis , wenn x1 und x2 linear unabhängig sind ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 20.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ernesto,
> Hallo ihr eifriegen Köpfe
>
> eine Frage.
>
> Angenommen ich habe eine Familie von Vektoren. Z.B ein
> Gleichungssystem bestehend
> aus 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten
>
> I x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
> II 2x1 + x2 + x3 + 0 = 0
>
> Dieses System löse ich wie folgt :
>
> II - 2 * I dann erhalte ich :
>
> x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
> 0 - 5x2 + x3 - 4x4 = 0
>
> da ich 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten habe kann ich doch
> 2 Unbekannte frei wählen. Ich wähle x3 = u , x4 = v mit
> u , v [mm]\in[/mm] R
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann löse ich das System auf. und bekomme dann eine Lösung
> so das x1 und x2 von u und v abhängen... ist dieses dann
> eine Basis , wenn x1 und x2 linear unabhängig sind ???
Hier bin ich nicht ganz sicher, was du meinst. Die Basiselemente müssen ja Quadrupel sein.
Für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] habe ich heraus:
[mm] x_1 = -\ \bruch{3}{5}u + \bruch{2}{5}v [/mm]
[mm] x_2 = \bruch{1}{5}u - \bruch{4}{5}v [/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Jetzt setzt du z.B. u=5 und v=0, dann erhälst du als erstes Basiselement:
[mm] \vektor{-3 \\ 1\\5\\0} [/mm] .
Ein zweites Basiselement erhälst du z.B. wenn du u=0 und v=5 setzt.
Da du nur 2 Variable frei wählen kannst, ist die Dimension des Vektorraums 2.
Reicht dir das?
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 20.11.2005 | | Autor: | Ernesto |
hy nun das habe ich mir gedacht.. aber ich komme einfach nicht auf das zweite basis element... ich verrechne mich immer wieder .
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 20.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Thomas,
Wenn ich richtig gerechnet habe, gilt ja:
[mm] x_1 = -\ \bruch{3}{5}u + \bruch{2}{5}v [/mm]
[mm] x_2 = \bruch{1}{5}u - \bruch{4}{5}v [/mm]
Ich hoffe, du hast es nachgeprüft. Im Prinzip kannst du u und v beliebig wählen. Deine beiden Basisvektoren müssen halt nur linear unabhängig sein. Am einfachsten ist es aber, wenn du immer einen Parametr 0 setzt (einmal u und einmal v). Für den 2. Basisvektor hatte ich vorgeschlagen: u=0 und v=5. Dann erhälst du
[mm] x_1 [/mm] = 2 und [mm] x_2 [/mm] = -4.
Der 2. Basisvektor ist also:
[mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 0 \\ 5}
[/mm]
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 22.11.2005 | | Autor: | thommy |
Hallo zusammen.
ich habe eine frage zum anfang :)
die gleichungen
I x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
II 2x1 + x2 + x3 + 0 = 0
werden nach x1 und x2 aufgelöst. warum kann man nicht einfach die gleichung I nach x4 auflösen (x4=- 1/2 x1 - 3/2 x2) und II nach x3 auflösen (x3=-2 x1 - x2). Dies wäre doch eine viel einfachere Rechnung als erst die beiden gleichungen miteinander zu verknüpfen, sofern es möglich und erlaubt ist :)
Da 2 variablen frei zu wählen sind, wurde gesagt das dies ein 2 dimensionaler raum ist. warum kann man das daraus folgern?
vielen dank für alle antworten :)
thommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 22.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich bin auf andere Art und Weise an diese Aufgabe herangegangen. Bin mir aber nicht sicher, ob meine Idee nicht völliger Schwachsinn ist. Deshalb wärs nett, wenn jemand mal drüber sieht.
X ist per Definition = [mm] \{ ( x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} ) | I , II \}
[/mm]
Außerdem ist X nach Df Erzeugendensystem (ES) von X, denn:
[mm] span_{ \IR } [/mm] (X) = X
Es bleibt also die Frage, ob X linear unabhängig
Ich habe dann I und II zunächst gleichgesetzt und einmal nach jedem x, also nach [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] aufgelöst.
dann sei a,b [mm] \in \IR [/mm] , x = ( [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4} [/mm] ) mit ax + bx = o gegeben, woraus sich ein lineares Gleichungssystem aufstellen lässt mit:
a) a [mm] x_{1} [/mm] + b [mm] x_{1} [/mm] = 0
b) a [mm] x_{2} [/mm] + b [mm] x_{2} [/mm] = 0
c) a [mm] x_{3} [/mm] + b [mm] x_{3} [/mm] = 0
d) a [mm] x_{4} [/mm] + b [mm] x_{4} [/mm] = 0
hier habe ich dann die eben errechneten x eingesetzt und dann aus:
a) - c) und b) - d) erhalten, dass [mm] x_{1} [/mm] = - [mm] x_{3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = - [mm] x_{4} [/mm] erhalten
d.h. (für mich):
[mm] \{ - x_{3} , - x_{4} , x_{3} , x_{4} | - x_{3} - x_{4} = 0 \} [/mm] ist ebenfalls ES von X, da sie ja eigentlich gleich X ist
aus - [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] = 0 folgt: [mm] x_{3} [/mm] = - [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] = - [mm] x_{3}
[/mm]
d.h. (wieder für mich  ):
[mm] \{ - x_{3} , x_{3} , x_{3} , - x_{3} \} [/mm] ist wiederum ES von X, da es ebenfalls prinzipiell gleich X ist (oder!?)
sei [mm] x_{3} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = -1
dann wäre [mm] \{ -1 , 1 , 1 , -1 \} [/mm] ES von X und offensichtlich l.u., also Basis von X
Wie abwägig ist dieser Weg? Irgendwas richtiges dabei?
Außerdem würde ich gerne zu eurem Lösungsweg wissen, wie ihr schließlich auf die Vektoren kommt. Also das mit den gewählten Variablen etc. hab ich verstanden, aber wenn dann z.B. u = 5 und v = 0 wie kommt ihr dann auf die entsprechenden Vektoren?
DANKE schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo oeli1985,
> Hallo zusammen,
>
> ich bin auf andere Art und Weise an diese Aufgabe
> herangegangen. Bin mir aber nicht sicher, ob meine Idee
> nicht völliger Schwachsinn ist. Deshalb wärs nett, wenn
> jemand mal drüber sieht.
>
> X ist per Definition = [mm]\{ ( x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} ) | I , II \}[/mm]
>
> Außerdem ist X nach Df Erzeugendensystem (ES) von X, denn:
> [mm]span_{ \IR }[/mm] (X) = X
>
> Es bleibt also die Frage, ob X linear unabhängig
>
> Ich habe dann I und II zunächst gleichgesetzt und einmal
> nach jedem x, also nach [mm]x_{1}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] , [mm]x_{3}[/mm] und [mm]x_{4}[/mm]
> aufgelöst.
>
> dann sei a,b [mm]\in \IR[/mm] , x = ( [mm]x_{1}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] , [mm]x_{3}[/mm] , [mm]x_{4}[/mm]
> ) mit ax + bx = o gegeben, woraus sich ein lineares
> Gleichungssystem aufstellen lässt mit:
>
> a) a [mm]x_{1}[/mm] + b [mm]x_{1}[/mm] = 0
> b) a [mm]x_{2}[/mm] + b [mm]x_{2}[/mm] = 0
> c) a [mm]x_{3}[/mm] + b [mm]x_{3}[/mm] = 0
> d) a [mm]x_{4}[/mm] + b [mm]x_{4}[/mm] = 0
>
> hier habe ich dann die eben errechneten x eingesetzt und
> dann aus:
>
> a) - c) und b) - d) erhalten, dass [mm]x_{1}[/mm] = - [mm]x_{3}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] = - [mm]x_{4}[/mm] erhalten
>
> d.h. (für mich):
> [mm]\{ - x_{3} , - x_{4} , x_{3} , x_{4} | - x_{3} - x_{4} = 0 \}[/mm]
> ist ebenfalls ES von X, da sie ja eigentlich gleich X ist
>
> aus - [mm]x_{3}[/mm] - [mm]x_{4}[/mm] = 0 folgt: [mm]x_{3}[/mm] = - [mm]x_{4}[/mm] und [mm]x_{4}[/mm] =
> - [mm]x_{3}[/mm]
>
> d.h. (wieder für mich ):
> [mm]\{ - x_{3} , x_{3} , x_{3} , - x_{3} \}[/mm] ist wiederum ES
> von X, da es ebenfalls prinzipiell gleich X ist (oder!?)
Deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen.
>
> sei [mm]x_{3}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = -1
>
> dann wäre [mm]\{ -1 , 1 , 1 , -1 \}[/mm] ES von X und offensichtlich
> l.u., also Basis von X
Das kann nicht stimmen, denn (2;0;-4;-1) ist eine Lösung des Gleichungssystems, aber kein Vielfaches deines Basiselementes.
>
> Wie abwägig ist dieser Weg? Irgendwas richtiges dabei?
>
> Außerdem würde ich gerne zu eurem Lösungsweg wissen, wie
> ihr schließlich auf die Vektoren kommt. Also das mit den
> gewählten Variablen etc. hab ich verstanden, aber wenn dann
> z.B. u = 5 und v = 0 wie kommt ihr dann auf die
> entsprechenden Vektoren?
Du setzt für [mm] x_3 [/mm] den Wert für u und für [mm] x_3 [/mm] den Wert für v ein. Dann errechnest du die zugehörigen Werte für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
Gruß
Sigrid
>
> DANKE schon mal
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Thommy,
> Hallo zusammen.
>
> ich habe eine frage zum anfang :)
>
> die gleichungen
>
> I x1 + 3x2 + 0 + 2x4 = 0
> II 2x1 + x2 + x3 + 0 = 0
>
> werden nach x1 und x2 aufgelöst. warum kann man nicht
> einfach die gleichung I nach x4 auflösen (x4=- 1/2 x1 - 3/2
> x2) und II nach x3 auflösen (x3=-2 x1 - x2). Dies wäre doch
> eine viel einfachere Rechnung als erst die beiden
> gleichungen miteinander zu verknüpfen, sofern es möglich
> und erlaubt ist :)
Das ist richtig ( du hast ja [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] durch dieselben Variablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ausgedrückt) und auf jeden Fall einfacher. Da aber Ernestos Rechnung auch richtig ist, habe ich daran nichts geändert. Zwei konkrete Lösungen sind z.B.
[mm] \vec{l_1} = \vektor{2 \\ 0 \\ -4 \\ -1} [/mm] und [mm] \vec{l_2} = \vektor{0 \\ 2 \\ -2 \\ -3} [/mm]
[mm] \vec{l_1} [/mm] und [mm] \vec{l_2} [/mm] sind linear unabhängig und du kannst zeigen, dass sich jede Lösung des Gleichungssystems als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen lässt. Versuch's mal.
>
> Da 2 variablen frei zu wählen sind, wurde gesagt das dies
> ein 2 dimensionaler raum ist. warum kann man das daraus
> folgern?
Du kannst das obengesagte verallgemeinern. Setzt du z.B. einmal die eine frei wählbare Variable gleich 1 und die andere gleich 0, erhälst du eine Lösung. Eine 2. davon unabhängige Lösung erhälst du, wenn du z.B. die erste Varaible gleich 0 und die zweite gleich 1 setzt. Alle anderen lassen sich als Linearkombination dieser beiden darstellen.
>
Gruß
Sigrid
> vielen dank für alle antworten :)
>
> thommy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 23.11.2005 | | Autor: | thommy |
Vielen dank für deine antwort sigrid :)
zum glück habe ich euren eintrag hier im forum gefunden, sonst hätte ich vielleicht nie erfahren das es ein [mm] R^2 [/mm] ist. ich hab die ganze zeit vier linear unabhängige vektoren gesucht... da hätt ich wohl noch lang suchen können :)
viele grüße
thommy> Hallo Thommy,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 23.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
ist { (-3, 1, 5, 0) } also eine Basis? Normalerweise doch schon oder? Denn diese Menge ist ja offensichtlich l.u. und erfüllt die Bedingungen der "Ausgangsmenge", also I und II.
Es gilt also außerdem: [mm] span_{ \IR } [/mm] ( { (-3, 1, 5, 0) } ) = "Ausgangsmenge"
Somit müsste es sich um eine Basis handeln!?
Mich verwirrt der Begriff des Basiselements. Ist damit gemeint, dass
{ (-3, 1, 5, 0) } ein Element der Menge aller Basen ist?
DANKE schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 24.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo oeli1985,
> Hallo nochmal,
>
> ist { (-3, 1, 5, 0) } also eine Basis? Normalerweise doch
> schon oder? Denn diese Menge ist ja offensichtlich l.u. und
> erfüllt die Bedingungen der "Ausgangsmenge", also I und II.
> Es gilt also außerdem: [mm]span_{ \IR }[/mm] ( { (-3, 1, 5, 0) } ) =
> "Ausgangsmenge"
Das eben gilt nicht. Denn (2;-4;0;5) ist eine Lösung des Gleichungssystems, wird aber vobn deiner Basis nicht erzeugt.
Die Basis muss zwei Elemente enthalten. Wenn du zwei linear unabhängige Lösungen des Gleichungssystems hast, bilden diese beiden ein Basis.
>
> Somit müsste es sich um eine Basis handeln!?
>
> Mich verwirrt der Begriff des Basiselements. Ist damit
> gemeint, dass
> { (-3, 1, 5, 0) } ein Element der Menge aller Basen ist?
Nein. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, eine Basis zu bilden. Eine ist z.B.
[mm] B = \{(-3;1;5;0), ((2;-4;0;5)\} [/mm]
Hier ist z.B. (-3;1;5;0) ein Basiselement. Aber es gibt auch Basen mit völlig anderen Elementen. Der Begriff Basiselement bezieht sich einfach auf die jeweils gewählte Basis.
Ist die Sache jetzt klarer?
Gruß
Sigrid
>
> DANKE schon mal.
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