Basis finden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 29.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, angenommen man hat folgen Aufgabe:
Sei f: V [mm] \to [/mm] W, [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] eine Basis von V
Gesucht: Basis von W
Kann man das nicht so machen, dass man f auf die einzelnen Vektoren der Basis von V mit Hilfe von f abbildet, und die daraus enstehenden n Vektoren die Basis von W bilden? falls dies richtig ist, warum war das nochmal so?
hoffe einer von euch hat einen moment zeit, um sich mit diese Frage zu beschäftigen. Vielen Dank im Voraus.. Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 29.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo AriR
1. Nur wenn f injektiv ist, sind die Bilder von linear unabhängigen Vektoren selber wieder linear unabhängig.
2. Der Raum W könnte eine höhere Dimension aufweisen, als der Vektorraum V. Selbst wenn f injektiv ist, können die linear unabhängigen Vektoren [mm] $f(v_1), \dots f(v_n)$ [/mm] noch nicht ausreichend sein für eine Basis.
Aber eine Basis von W hat ja im allgemeinen nichts zu tun mit einer linearen Abbildung f von V nach W.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 29.01.2006 | | Autor: | AriR |
Nur wenn f injektiv ist, sind die Bilder von linear unabhängigen Vektoren selber wieder linear unabhängig.
Warum ist das denn so? gibts da vieleicht einen logischen beweis zu??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 29.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Naja probiers doch mal zu beweisen:
Wie war linear abhängig definiert ?
[mm] $v_1,\dots,v_n$ [/mm] sind linear abhängig <==> es gibt [mm] $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ [/mm] nicht alle $0$ mit:
[mm] $v_1 \lambda_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] v_n \lambda_n [/mm] = 0$.
Jezt nimmst du an [mm] $f(v_1),\dots,f(v_n)$ [/mm] wären linear abhängig und folgerst (unter Ausnutzung der Injektivität) das [mm] $v_1,\dots,v_n$ [/mm] linear abhänig waren.
Es ist wirklich ganz einfach.
mfg Heinrich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 So 29.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
schreib dir doch mal hin, was nicht injektiv sagt! Dann brauchst du keinen Satz mehr!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 29.01.2006 | | Autor: | AriR |
mir ist injektiv schon klar, aber kann es nicht so einen fall geben, wo dies nicht so ist?
kann es nicht sein, dass die n vektoren auf n linear abhängige vektoren abgebildet werden oder sowas in der art??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 30.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Wir gehen die ganze Zeit (implizit) immer davon aus, dass unsere
Abb Strukturerhaltend, d.h. in dem Falle linear ist:
f:V--->W, f(av)=af(v), f(v+v')=f(v)+f(v')
wobei V,W k-Vektorräume, [mm] a$\in$k, [/mm] v,v' [mm] $\in$ [/mm] V
In disesm Falle ist das nicht möglich.
Nimmt man für f eine belibeige Abb von Mengen f:V--->W, so
kann man sowas leicht konstruieren:
sei f: [mm] (Z/2Z)^2 [/mm] -----> [mm] (Z/2Z)^2,
[/mm]
f(1,0):=(1,0), f(0,1):=(0,0)
f(0,0):=(1,1), f(1,1):=(0,1)
ist bijektiv und bildet die Basis (1,0) und (0,1) auf die linear abhängigen Vektoren (1,0) und (0,0) ab. f respektiert natürlich keinerlei lineare Struktur.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mo 30.01.2006 | | Autor: | AriR |
also geht das doch nicht, oder habe ich das jetzt falsch verstanden??
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Hallo und guten Morgen,
also zusammenfassend auch das, was Dir andere im Strang schon geschrieben haben:
Seien V und W Vektorräume ueber demselben Koerper. Sei [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] eine Basis von V.
Wenn [mm] f\colon V\to [/mm] W eine beliebige Abbildung ist - also nicht notwendig linear- ,
so kann man ueber die Bilder [mm] f(v_i),1\leq i\leq [/mm] n gar nichts sagen, ausser dass sie in W sind.
Wenn f linear ist - also ein Vektorraumhomomorphismus -, so bilden [mm] f(v_1),\ldots f(v_n) [/mm] ein Erzeugendensystem des Bildes f(V) = im f [mm] =\{w\in W\: |\: \exists v\in V\: : \: f(v)=w\}, [/mm] aber
im allgemeinen muessen sie nicht lin. unabh. sein.
Wenn f linear ist, so sind [mm] f(v_1),\ldots [/mm] , [mm] f(v_n) [/mm] lin. unabh. genau dann, wenn f injektiv ist.
In dem Fall biden dann diese Vektoren eine Basis des Untervektorraumes f(V) von W.
Falls f linear und surjektiv ist, so erzeugen demnach [mm] f(v_1),\ldots f(v_n) [/mm] den Raum W.
[mm] f(v_1),\ldots f(v_n) [/mm] bilden eine Basis von W genau dann (Linearitaet von f vorausgesetzt),
wenn f bijektiv ist, was genau dann der Fall ist, wenn f ein Vektorraumisomorphismus ist
(per def.), aequivalent: im f = W und kern [mm] f=\{0\}.
[/mm]
Klaert das die Situation abschliessend ?
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mo 30.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank
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